函数极限与连续习题加答案.docx

1、函数极限与连续习题加答案第一章 函数、极限与连续第一讲：函数、是非题 21.y二x与y = x相同；2.y =(2x 2)1 n(x .1 x2)是奇函数；3凡是分段表示的函数都不是初等函数；24. y = x (x 0)是偶函数；5两个单调增函数之和仍为单调增函数；6实数域上的周期函数的周期有无穷多个；7复合函数fg(x)的定义域即g(x)的定义域；8.y二f(x)在(a,b)内处处有定义，则f (x)在(a, b)内一定有界。二、 填空题1函数y二f (x)与其反函数y二(x)的图形关于 对称；2若f(x)的定义域是0,1，贝U f(x2 1)的定义域是 ；2x3.y x 的反函数是 ；2

2、+114.f (x) = x 1, (x) 2，贝U f (x) 1 = ,1+xf(x) 1= ；5.y = log2(sinx 2)是由简单函数 和 复合而成;6.f(x)=x2+1, (x)=sin2x，贝U f (0) = ,仁丄)=_af (x)H 三、 选择题1下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是( )A、sin3xB、x33C、 x x3X -X22.设 f (x) =4x bx 5，f (x 1)-f (x) = 8x 3 ,则b应为（23. f(x) =sin(xX）是（A、有界函数 四、计算下列各题B、周期函数C、奇函数D、偶函数1求定义域 y.3 - X arcsin

3、_2x2.求下列函数的定义域2(1) y = 一 x -4x 3(2) y = J4 _ x2 + 1lx+1 y =lg(x 2) 1(4) y = lg sin x3.设 f(x) =x2，g(x) =ex，求 fg(x), gf(x), ff(x), gg(x)；4.判断下列函数的奇偶性 (1) f(x) =xJ5写出下列函数的复合过程(1) y =sin3(8x 5) y = tan&x? +5) y =lg(3 -x)1 1求：r）， 7-）， ：（-2），并作出函数y二（x）的图形。5第二讲：极限概念、是非题1在数列n 中任意去掉或增加有限项，不影响 a 的极限;2若数列Snbn?

4、的极限存在，则 玄的极限必存在;3若数列Xn 和为n都发散，则数列 X * 也发散;4.若 lim (Un Vn) =0，则必有 limun =0 或 limvn =0。nnnjpc5.若 lim f (x)二 A，则 f(x0) =A ；06.已知 f(X。) 不存在，但lim f (x)有可能存在;jx0JI8. lim arctan x =x匸： 29. lim ex =0 ；xt*10.非常小的数是无穷小；11.零是无穷小；12.无限变小的变量称为无穷小；13.无限个无穷小的和还是无穷小。 二、填空题1. lim ( . n 1. n)二n2. limn)：:n 二sin -2n (T

5、)n3. nim4 计5.lim (2x -1)=X16.lim 2xf1 x27 lim cosx 二x )0，lim cosxx8设 f (x) nxe, X，则 f(o+)= 、ax + b, x a 0,f(0时，Xmof(x)。10.设：(x)是无穷小量,E(x)是有界变量，则：(x)E(x)为11. lim f(x) =A的充分必要条件是当 Xr x0时，f (x) - A为1;lim xsin =X_i2Cx_012. lim xsin j0三、选择题1已知下列四数列:、xn = 2 ；、xn贝U其中收敛的数列为(A、 B 、2.已知下列四数列：23 n 1)C 、X十1)；、x

6、”1)刖、1 1 10 0 2 3 n 22 2、1 3 1 4 2,2,3,3,则其中发散的数列为A、 B、3. Xn =i n10 二n为奇数n为偶数n 2 .n 1)、，则必有(、1,2,n,D 、A、lim xnn.-0lim xn = 10 Jn )：:0, n为奇数10 7, n为偶数、nmxn不存在4.从lim f (x) =1不能推出(XrX：)f(Xo )=1A、 lim f(x) =1C、f(X。)=1X X0lim【f(x) 1 = 0X )Xo5设 f (x) = *x +1,2,0，则lim f (x)的值为( )二 0 x_QD、不存在6.当X. 1时，下列变量中是

7、无穷小的是( )C、2D、ln(x 1)A、 x3 -1B、sin x7下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是(2_x1 (x 1 nx / 、C、In x(x； 0 )D、一 cos (x )x 28.若 lim f(x)：X0lim g(x)二：，则下列极限成立的是(x 典0A、 lim f(x) g(x)=:x0B、lim f (x) g(x) = 0x )X0C、 lim xf f (x) +g(x)D、lim f (x)g(x)二：:x风09以下命题正确的是( )A、 无界变量一定是无穷大B、 无穷大一定是无界变量C、 趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增D、 不趋于无穷大

8、的变量必有界110. lim ex (x0B、等于-:c、等于1A、等于011下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是(2 . 1x sinA、lim -x 10 sin xx -sin xC、 lim xT xsin xD、不存在)；1 - xB、lim x-11 - sin xD、Jimx(2 - arctanx)四、设f(x)二，回答下列问题：1函数f (x)在x=0处的左、右极限是否存在？ 2函x五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大?1.1 啟(x；x2. y(x x0)；4.ex(x 0)3.ln x(xt 0)；六、当Xr Y时，下列哪个无穷小与无穷小1-是同阶无穷小?x1

9、哪个无穷小与无穷小 1是等x价无穷小?哪个无穷小是比无穷小-高阶的无穷小?x11.-2x第三讲：极限的求法、是非题1.在某过程中，f(X)有极限，g(x)无极限,则f(x) g(x)无极限;2.在某过程中，f (x)， g(x)均无极限，则f (x) g(x)无极限;3.在某过程中，f (x)有极限，g(x)无极限,则f (x)g(x)无极限;4.在某过程中，f (x)，g(x)均无极限，则f (x)g(x)无极限;必不存在;lim n2 = 0 ；n ：n5.若 lim f (x) = A， lim g( x) = 0，贝V lmxTo x0 g(x)1+2 +3 +n 1 26.lim 2

10、 lim p lim 2n： n n：n n：n1 17.lim xsin lim x lim sin 0;x0 x x j0 x0 x228.lim (x -3x) = lim x -3lim x = ： - ： = 0 ;x X ： x)：:sin x9.lim 1;x10.lim (1 - 2)x = e .x匸 x二、计算下列极限3x +11. lim 2 ;x x2 12. limx 1X2 -1 2x2 -x-122x +x+13. lim 厂x 匚 3x2 1x3 2x25. lim 2 ,x )2(X _2)26.匹(亠-f)；J1 1 一 x 1 - x7. lim (. x

11、2 x 1；x2x 1)x .1 + 2 +3+(n_1) 8.lim -n :9. limxJPC(2x-1)300(3x- 2)200(2x 1)50010. lim2xs inxx21 arctanx11. xim0sin x 3xtan x 2x x13. lim 2n sin n(x 0) n， 2= sinx)x15. limx0tan x sin xx3三、求函数的极限（1）xm空罟42x + cosxlim (2) x工：x sin x ；17tan 3xxsin 2x ;lim sin 5xcot3x(4) x 7：(5)11 2x - lim (-仝)x xQ 1 x ；申

12、1 * 5x 1 一 3xlim 2 (6) xq x2 2x四、求数列的极限:j1 + n2、n:n 1limlim nv 1n_jPCnn_CJ n十1:lim n(en -en)(3) n ，其中a,b为正的常数。五、用洛必达法则求下列函数的极限X3 -3x 2lim 3 2 ,x 1 x-x-x 12.sin 3x lim x 刃 tan 5x3.ln(1 1)xlim ,x arccotx4.1 );In x5.lim x(ex -1)；x_ :In x)x ;6.sin 3x7.lim ,xf ta n 3x8. limX2 -3x 2 .;x3 -19.lim sin x sin

13、 ax )a10. limIn x11.x2 1lim ,xx l n x12. lim xn In x(n 0)；x 0 专插本数学复习题（兰 星）11 3. l ixm公；x 114.lim(tan x)sinx ；tan x x15. limxt0 x sin x16. limingx t： ln(3 x4)xsinx-e +117. lim x 10 1-J-x218. lim xcot 2x ;19. lim (In x)x ；x 11X20. lim (sin cos2x)x ；XT 221.加-站；xt sin x22.sin xo-cosx专插本数学复习题（兰 星）六、求a,b

14、之值使協3-扯十+1）=2七、已知lim X ax b *，求常数a与b的值。x 1 1 -x八、已知lim ( x )x =2，求 c。xr ： x c1 2九、证明：当 Xr 0时，tan2x 2x , 1-cosx x2 。24二、填空题第四讲：函数的连续性、是非题1.若f(x)，g(x)在点x0处均不连续，则f(x) g(x)在点X。处亦不连续;2若f(x)在点Xo处连续，g(x)在点Xo处不连续，则f (x)g(x)在点x处必不连续;3.若f (x)与g(x)在点xo处均不连续，则f (x)g(x)在点x处亦不连续;4. y = x在x二0处不连续;5. f (x)在X。处连续当且仅

15、当f (x)在X。处既左连续又右连续;6.设y =f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内必有界;7.设y = f(x)在a,b上连续，且无零点，则 f(x)在a,b上恒为正或恒为负;i 3_ - 3 -8.tan ，tan 1 ： 0，所以 tan x = 0在(一，)内有根。4 42. x =0是函数型间断点;，则f (x)在x = 0处连续;3.设 f(x)=丄1 n(1 -x)，若定义 f(0)二x)an ax xH04.若函数f(x) x 在x = 0处连续，则a等于i 2, x=027.函数 y = x x - 2，当 x = 1, = 0.5 时，丄y 二；当 x =

16、 1, - -0.5 时,5.f(xR的连续区间是三、选择题五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。11. f(X)= 2 ,；x -12. f (x) = ex制题人：兰 星16第一章函数、极限与连续X, X3. f(X)1,X-1;=11X,、 14. f（X）二（X1）SFX ：: - 1,-1 _ X _ 1,X 1.六、求下列极限1. lim In(e* + x)；X12.lim X 卅 x-2 -，212X -14. lim x Q - 12X 1专插本数学复习题（兰 星）1七、证明方程4x _2x =0在（0,）内至少有一个实根。2八、设 f (x) = / 2x _1

17、 0 x 1 1 ，试判定f(x)在x = ,x = 1,x = 2处的连续性，并求出x+1, XA1 2连续区间。第一章：单元测试题、填空题2 1 sin 3x3.lim (x sin 2 ) 口4.lim (1 +k)x =x匚 x5.设 f (x)在 x=1 处连续，且 f(1)=3，贝y lim f (x)( 1间断点;6. x =0是函数 f(x)二xsin 的x二、选择题,跳跃间断点是C、 y = _ x _1,x 1,：)2.当*；:时，下列函数中有极限的是1xeA、sin xC、x -1X2 -1）；D、 arctan x3. f（x）二1 在点x =0不连续是因为）；f（0

18、-0）不存在B、f（0 0）不存在C、f (0 0) = f (0)D、f(0-0) = f(0)2 14.设 f （x）二 x arc cot ，则 x = 1 是 f （x）的（ ）；X -1A、可去间断点 B、跳跃间断点 C、无穷间断点 D、连续点COSX 1, X 05. 设 f（x）= ，贝y k=0是 lim f（x）存在的（ ）；k, x a0 7A、充分但非必要条件 B、必要但非充分条件C、充分必要条件 D、无关条件6.当X-； x0时，：和：（=0）都是无穷小。当X-； x0时，下列变量中可能不是无穷小的是（ ）;A、很亠卩 B- C、卅 F D、1 17. 当n “ 时，若

19、sin 与 匚是等价无穷小，则 k =（ ）；n n1A、2 B、一 C、1 D、328. 当x； 0时，下列函数中为 X的高阶无穷小的是（ ）；A、1 -cosx B、x x2 C、sinx D、. x19.当 nr 时，nsin 是（ ）；nA、无穷大量 B、无穷小量 C、无界变量 D、有界变量310.方程X px 0（p - 0）的实根个数是（ ）；A、一个 B、二个 C、三个 D、零个2 211.当 xr 0 时，（1-cosx）是 sin x 的（ ）；(x 1)95(ax 1)512.设他X 1严）；A、1 B、2 C、5 8 D、A、B、C 均不对三、求下列函数的极限1.lim

20、2x 3 ； x -22 x -1 x2 );x 1. 3sinx4. lim 3 ；x e (sin x)5.lim 1 /-x ；sin3xx +36. lim 2 (sin x 2)；x r -x7. limx )asin x -sina；x asin 兀x8. limx 4(x -1)呷丿厂一）；5n - (2)n104叭畀1 （一2厂1四、设 lim x ax - x = b (常数)，求 a,b。x 1五、证明下列方程在 （0,1）之间均有一实根。1.x5 x3 = 1 ；2.-xe x ；3.arctan x = 1 - x ；使 fO=。七、设3x,f(x) = 2,-1 ：

21、x ： 1,3x2,x7 求叫心）吧 f（x），xmj（x）。1 ： x 2.六、设f（x）在a, b上连续，且a f（x） ：b，证明在（a,b）内至少有一点In (1 - x)x八、设 f(x) = 1,sin xx 0,x=0,讨论f （x）在x=0处的连续性。x 0.九、证明方程 x =2sinx 1至少有一个小于 3的正根。第一章 函数、极限与连续第一讲：函数、1非；2是；3非；4非；5是；6是；7.非；8非。与二 ；5 y = log2U、1 x x 4x 5二、1. y 轴；2.0； 3. log 2 L(0：x ：1) ； 4.1 - x1 2u =sin x 2 ； 6.1,

22、 二 ,sin 2x 1。 a2 +1二、1.C ； 2.B ； 3.A。四、1.-1,3 ； 2.(1)(-：,1 3, ：) (2) (-1,2(-2, (4)(2k 二，(2k 1)二)(k Z)；3. fg(x) =e2x,gf (x) =e, ff (x)= x4,gg(x) =exp(ex) ； 4.(1)奇(2)非奇非u 3 y = 2 ,u =1 -x(4) y =lg u,u =3 -x ；1 16.520。偶(3)奇(4)偶；5.(1) y 二 u3,u = sinv,v = 8x 5 (2) y = tanu,u = 3 v,v = x2 5第二讲：极限概念一、 1.；是

23、 2.非;3.非; 4.非；5.非；6.是;7.非；8.非；9.是;10.非；11.是；12.非；13.非。二、 1.0； 2.0 ； 3.4； 4.0； 5.1 ； 6.0； 7.1，不存在；8.b， 1，1 ； 9. ：,1 ； 10.无穷小；11.无穷 小; 12.0。三、 1.D; 2.C; 3.D; 4.C; 5.B; 6.A; 7.D; 8.D; 9.B; 10.D。四、 1. f (0 -0) = -1, f(0 0) =1 ; 2.无极限，因 f (0 -0) = f (0 0); 3.lim f(x) =1。xT五、 1.无穷小；2.无穷大；3.无穷大(-旳)；4.既不是无穷

24、小也不是无穷大。六、 1.同阶无穷小；2.高阶无穷小；3.等价无穷小。第三讲：极限的求法一、 1.是；2.非；3.非；4.非；5.非; 6.非；7.非；8.非；9.非；10.非。22 1 3 4二、 1. 1; 2. ; 3. ; 4.0; 5.+处;6. 1 ; 7.1; 8. ; 9.()2 ； 10.0; 11. ； 12.e-6 ;33 2 2 31“ -413.x ; 14.1; 15. ； 16. e 。2七、 提示：由极限乘法运算法则及由分母极限为 0，可得分子极限必为 0,且分子、分母同时有x -1的公因式，a = -3,b = 2。八、 c = ln 2。九、 (略)第四讲：

25、函数的连续性一、 1.;非 2非；3.非；4.非；5.是；6非；7是；8非。7 5二、 1.第一类，跳跃型；2.第二类，无穷型；3.- 1； 4.2; 5.(1,2)U(2,畑)；6.无，0; 7. 。44三、 1.C ； 2.A ； 3.B。四、 a =1,b =1。五、 1.x二1是第二类间断点中的无穷间断点； 2.x = 0是第二类间断点中的无穷间断点；3. x -1为第一类间断点中的可去间断点； 4. X - -1为第二类间断点中的无穷间断点，X =1为第一类间断点中的跳跃间断点。2六、 1.1 n(e+1) ； 2. J2 ； 3.3loga e ； 4.- 1。3七、 (略)1八、

26、 在X ,2处连续，在X =1处间断，连续区间为0,1) (1/-)2第一章：单元测试题3一、 1.4,2 ； 2.0,3) ； 3.3； 4.ek ； 5. ； 6.第一类间断点且是可去间断点； 7. X =7 , 0,2X 1 , x=0, -1。二、 1.C ； 2.C； 3.B ； 4.B ； 5.C ； 6.D ； 7.A ； 8.A ； 9.D ； 10.A ； 11.A ； 12.C。.一 1 9 1 二 1 1三、 1.3 - . 3 ； 2. ； 3. e ； 4.1 ； 5. ； 6.0 ； 7. COSa ； 8.- ； 9. ； 10.。23 4 4 5四、 a =-4,b =10。五、 (略)六、 (略)七、 lim f(x) =0,lim f(x) =3, lim_ f(x) =6。xT x j xr 2八、 f (0 0) = f (0 -0) = f (0) = -1，故 f(x)在 x = 0 处连续。九、 (略)