即实数a的取值范围为（－3，－2）．
[题点发散4] 在本例（3）中，若函数g（x）在R上为单调函数，如何求解？
解：
∵g′（x）＝x2－ax＋2，
∴要使g（x）在R上为单调函数，则g′（x）≥0恒成立，
∴Δ＝a2－8≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
即实数a的取值范围为[－2，2]．
[点石成金] 1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f（x）含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”不能省略，否则可能会漏解.
已知函数f（x）＝x2＋alnx.
（1）当a＝－2时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数g（x）＝f（x）＋在[1，＋∞）上单调，求实数a的取值范围．
解：
（1）由题意知，函数的定义域为（0，＋∞），
当a＝－2时，f′（x）＝2x－＝，
由f′（x）＜0得0＜x＜1，
故f（x）的单调递减区间是（0,1）．
（2）由题意得g′（x）＝2x＋－，函数g（x）在[1，＋∞）上是单调函数．
①若g（x）为[1，＋∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞）上恒成立，设φ（x）＝－2x2，∵φ（x）在[1，＋∞）上单调递减，
∴φ（x）max＝φ
（1）＝0，∴a≥0.
②若g（x）为[1，＋∞）上的单调减函数，则g′（x）≤0在[1，＋∞）上恒成立，不可能．
∴实数a的取值范围为[0，＋∞）．
考点2 利用导数研究函数的极值
函数的极值
（1）函数的极小值：
函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．
（2）函数的极大值：
函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
答案：
（1）f′（x）＜0 f′（x）＞0
（2）f′（x）＞0 f′（x）＜0
[教材习题改编]若f（x）＝ax3＋3x＋2无极值，则a的取值范围为________．
答案：
[0，＋∞）
易混的一组概念：
极值点；极值；最值．
（1）函数y＝x＋（x>0）的极小值点为________；
（2）函数y＝x＋（x>0）的极小值为________；
（3）函数y＝x＋（x>0）的最小值为________．
答案：
（1）x＝
（2）2 （3）2
解析：
（1）y′＝1－，令y′＝0，得x＝或x＝－（舍去）．当x∈（0，）时，y′<0；当x∈（，＋∞）时，y′>0.所以x＝是函数的极小值点．极值点是函数取得极值时对应的x的值，而不是函数值．
（2）由
（1）知，当x＝时，函数取得极小值y＝＋＝2.
（3）由
（1）
（2）知，函数的极小值恰好是函数的最小值，即ymin＝2.极值是个“局部”概念，而最值是个“整体”概念．函数在开区间内只有一个极值时，那么极值是相应的最值．
[考情聚焦] 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．
主要有以下几个命题角度：
角度一
知图判断函数的极值
[典题2] 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数f（x）有极大值f
（2）和极小值f
（1）
B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f
（1）
C．函数f（x）有极大值f
（2）和极小值f（－2）
D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f
（2）
[答案] D
[解析] 由题图可知，当x＜－2时，f′（x）＞0；当－2＜x＜1时，f′（x）＜0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0.由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
角度二
求函数的极值
[典题3] [2017·山东济宁模拟节选]已知函数f（x）＝（k≠0），求函数f（x）的极值．
[解] f（x）＝，其定义域为（0，＋∞），则f′（x）＝－.
令f′（x）＝0，得x＝1，
当k>0时，若00；
若x>1，则f′（x）<0，
∴f（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，即当x＝1时，函数f（x）取得极大值.
当k<0时，若01，则f′（x）>0，
∴f（x）在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，即当x＝1时，函数f（x）取得极小值.
[点石成金] 1.求函数f（x）极值的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）解方程f′（x）＝0，求出函数定义域内的所有根；
（4）列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f（x）在x0处取极大值，如果左负右正，那么f（x）在x0处取极小值．
2．可导函数y＝f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0，且在x0左侧与右侧f′（x）的符号不同，应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．
角度三
已知极值求参数
[典题4]
（1）[2017·浙江金华十校联考]已知函数f（x）＝x（lnx－ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
[答案]
[解析] f′（x）＝（lnx－ax）＋x＝lnx＋1－2ax，令f′（x）＝0，得2a＝.
设φ（x）＝，则φ′（x）＝－，易知φ（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以φ（x）max＝φ
（1）＝1，则φ（x）的大致图象如图所示．
若函数f（x）有两个极值点，则直线y＝2a和y＝φ（x）的图象有两个交点，所以0<2a<1，得0（2）[2017·辽宁沈阳模拟]设函数f（x）＝lnx－ax2－bx，若x＝1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为________．
[答案] （－1，＋∞）
[解析] f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝－ax－b，由f′
（1）＝0，得b＝1－a.
∴f′（x）＝－ax＋a－1＝.
①若a≥0，当00，f（x）单调递增；当x>1时，f′（x）<0，f（x）单调递减，所以x＝1是f（x）的极大值点．
②若a<0，由f′（x）＝0，得x＝1或x＝－.因为x＝1是f（x）的极大值点，所以－>1，解得－1综合①②得，a的取值范围是（－1，＋∞）．
[点石成金] 1.可导函数y＝f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0，且在x0左侧与右侧f′（x）的符号不同．
2．若函数y＝f（x）在区间（a，b）上有极值，那么y＝f（x）在（a，b）上绝不是单调函数，即在某区间上单调的函数没有极值．
考点3 运用导数解决函数的最值问题
函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．
答案：
（2）f（a） f（b） f（a） f（b）
（1）[教材习题改编]将一条长为2的铁丝截成两段，分别弯成一个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，则两段铁丝的长度分别是________，________.
答案：
1 1
解析：
设两段铁丝的长分别为x（00.所以S在x＝1处取得极小值，也是最小值，所以两段铁丝的长都是1.
（2）[教材习题改编]已知f（x）＝x3－x2＋1，求f（x）在[－1,2]上的最大值，最小值．
解：
∵f（x）＝x3－x2＋1，
则f′（x）＝3x2－3x.
令f′（x）＝0得，3x2－3x＝0，
解得x＝0或x＝1.
当－1≤x<0时，f′（x）>0，f（x）单调递增；
当0当10，f（x）单调递增．
故f（x）在[－1,0）上递增，在（0,1）上递减，在（1,2]上递增．
比较端点值和极值得，
f（x）的最大值为f
（2）＝3，最小值为f（－1）＝－.
区间内的单峰函数．
函数f（x）在区间[a，b]内只有一个极大值点，则函数在该点处取得________；如果函数在区间[a，b]内只有一个极小值点，则函数在该点处取得________．
答案：
最大值 最小值
[典题5] 已知函数f（x）＝（ax2＋bx＋c）ex在[0,1]上单调递减且满足f（0）＝1，f
（1）＝0.
（1）求a的取值范围；
（2）设g（x）＝f（x）－f′（x），求g（x）在[0,1]上的最大值和最小值．
[解]
（1）由得
则f（x）＝[ax2－（a＋1）x＋1]ex，
f′（x）＝[ax2＋（a－1）x－a]ex，
依题意，对于任意x∈[0,1]，有f′（x）≤0.
当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋（a－1）x－a的图象开口向上，而f′（0）＝－a＜0，所以需f′
（1）＝（a－1）e＜0，即0＜a＜1；
当a＝1时，对于任意x∈[0,1]，有f′（x）＝（x2－1）ex≤0，且只在x＝1时f′（x）＝0，f（x）符合条件；
当a＝0时，对于任意x∈[0,1]，f′（x）＝－xex≤0，
且只在x＝0时，f′（x）＝0，f（x）符合条件；
当a＜0时，因为f′（0）＝－a＞0，f（x）不符合条件．
故a的取值范围为[0,1]．
（2）因为g（x）＝（－2ax＋1＋a）ex，
g′（x）＝（－2ax＋1－a）ex，
（ⅰ）当a＝0时，g′（x）＝ex＞0，
g（x）在x＝0处取得最小值g（0）＝1，
在x＝1处取得最大值g
（1）＝e.
（ⅱ）当a＝1时，对于任意x∈[0,1]有g′（x）＝－2xex≤0，
g（x）在x＝0处取得最大值g（0）＝2，
在x＝1处取得最小值g
（1）＝0.
（ⅲ）当0＜a＜1时，由g′（x）＝0得x＝＞0.0
①若≥1，即0＜a≤时，
g（x）在[0,1]上单调递增，
g（x）在x＝0处取得最小值g（0）＝1＋a，
在x＝1处取得最大值g
（1）＝（1－a）e.
②若＜1，即＜a＜1时，
g（x）在x＝处取得最大值g＝2ae，
在x＝0或x＝1处取得最小值，
而g（0）＝1＋a，g
（1）＝（1－a）e，
由g（0）－g
（1）＝1＋a－（1－a）e＝（1＋e）a＋1－e＝0，得a＝.
则当＜a≤时，g（0）－g
（1）≤0，
g（x）在x＝0处取得最小值g（0）＝1＋a；
当＜a＜1时，g（0）－g
（1）＞0，
g（x）在x＝1处取得最小值g
（1）＝（1－a）e.
[点石成金] 求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
（1）求函数在（a，b）上的极值；
（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；
（3）将函数f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
已知函数f（x）＝（x－k）ex.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[0,1]上的最小值．
解：
（1）由题意知f′（x）＝（x－k＋1）ex.
令f′（x）＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表.
x
（－∞，k－1）
k－1
（k－1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
－ek－1
所以，f（x）的单调递减区间是（－∞，k－1）；单调递增区间是（k－1，＋∞）．
（2）当k－1≤0，即k≤1时，f（x）在[0,1]上单调递增，
所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f（0）＝－k；
当0所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f（k－1）＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，f（x）在[0,1]上单调递减，
所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f
（1）＝（1－k）e.
综上，当k≤1时，f（x）在[0,1]上的最小值为f（0）＝－k；
当1当k≥2时，f（x）在[0,1]上的最小值为f
（1）＝（1－k）e.
[方法技巧] 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．
2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．
3．若函数f（x）的图象连续不断，则f（x）在[a，b]上一定有最值．
4．若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值．
5．若函数f（x）在开区间（a，b）上只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
[易错防范] 1.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．
2．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′（x）＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．
真题演练集训
1．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>0时，xf′（x）－f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）∪（0,1）
B．（－1,0）∪（1，＋∞）
C．（－∞，－1）∪（－1,0）
D．（0,1）∪（1，＋∞）
答案：
A
解析：
设y＝g（x）＝（x≠0），
则g′（x）＝，
当x>0时，xf′（x）－f（x）<0，
∴g′（x）<0，
∴g（x）在（0，＋∞）上为减函数，且g
（1）＝f
（1）＝－f（－1）＝0.
∵f（x）为奇函数，∴g（x）为偶函数，
∴g（x）的图象的示意图如图所示．
当x＞0，g（x）＞0时，f（x）＞0,0＜x＜1；
当x＜0，g（x）＜0时，f（x）>0，x＜－1.
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0,1），故选A.
2．[2015·福建卷]若定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝－1，其导函数f′（x）满足f′（x）>k>1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A．f
C．f
答案：
C
解析：
令g（x）＝f（x）－kx＋1，
则g（0）＝f（0）＋1＝0，
g＝f－k·＋1
＝f－.
∵g′（x）＝f′（x）－k>0，
∴g（x）在[0，＋∞）上为增函数．
又k>1，∴>0，
∴g>g（0）＝0.
∴f－>0，
即f>.
3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝ax3－3x2＋1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，－2）
C．（1，＋∞）D．（－∞，－1）
答案：
B
解析：
f′（x）＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′（x）＝9x2－6x＝3x（3x－2），
则当x∈（－∞，0）时，f′（x）>0；
当x∈时，f′（x）<0；
当x∈时，f′（x）>0.
注意f（0）＝1，f＝>0，则f（x）的大致图象如图所示．
不符合题意，排除A，C.
当a＝－时，f′（x）＝－4x2－6x＝－2x（2x＋3），
则当x∈时，f′（x）<0；
当x∈时，f′（x）>0，；
当∈（0，＋∞）时，f′（x）<0.注意f（0）＝1，f＝－，则f（x）的大致图象如图所示．
不符合题意，排除D.
4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f（x）＝sin.若存在f（x）的极值点x0满足x＋[f（x0）]2A．（－∞，－6）∪（6，＋∞）
B．（－∞，－4）∪（4，＋∞）
C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
答案：
C
解析：
由正弦型函数的图象可知，f（x）的极值点x0满足f（x0）＝±，则＝＋kπ（k∈Z），从而得x0＝m（k∈Z）．所以不等式x＋[f（x0）]23，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2>3成立．当k≠－1且k≠0时，必有2>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等式即为m2>3，解得m<－2或m>2.
5．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是（ ）
A.∃x0∈R，f（x0）＝0
B.函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C.若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）单调递减
D.若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
答案：
C
解析：
由三次函数的值域为R知f（x）＝0有解，所以A项正确；因为y＝x3的图象为中心对称图形，而f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c的图象可以由y＝x3的图象平移得到，故B项正确；若f（x）有极小值点，则f′（x）＝0有两个不等实根x1，x2（x16．[2016·新课标全国卷Ⅱ]
（1）讨论函数f（x）＝ex的单调性，并证明当x>0时，（x－2）ex＋x＋2>0；
（2）证明：
当a∈[0,1）时，函数g（x）＝（x>0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
（1）解：
f（x）的定义域为（－∞，－2）∪（－2，＋∞）．
f′（x）＝＝≥0，
当且仅当x＝0时，f′（x）＝0，
所以f（x）在（－∞，－2），（－2，＋∞）上单调递增．
因此当x∈（0，＋∞）时，f（x）>f（0）＝－1.
所以（x－2）ex>－（x＋2），（x－2）ex＋x＋2>0.
（2）证明：
g′（x）＝＝[f（x）＋a]．
由
（1）知f（x）＋a单调递增．对任意的a∈[0,1），f（0）＋a＝a－1<0，f
（2）＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈（0,2]，使得f（xa）＋a＝0，即g′（xa）＝0.
当0xa时，f（x）＋a>0，g′（x）>0，g（x）单调递增．
因此g（x）在x＝xa处取得最小值，最小值为
g（xa）＝＝＝.
于是h（a）＝，
由′＝>0，得y＝单调递增．
所以，由xa∈（0,2]，得＝因为y＝单调递增，对任意λ∈，
存在唯一的xa∈（0,2]，a＝－f（xa）∈[0,1），使得h（a）＝λ.
所以h（a）的值域是.
综上，当a∈[0,1）时，g（x）有最小值h（a），h（a）的值域是.
7．[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝ex－e－x－2x.
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