七年级数学下册培优新帮手专题02数的整除性试题新版新人教版.docx
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七年级数学下册培优新帮手专题02数的整除性试题新版新人教版
02数的整除性
阅读与思考
设
,
是整数,
≠0,如果一个整数
使得等式
=
成立,那么称
能被
整除,或称
整除
,记作
|
,又称
为
的约数,而
称为
的倍数.解与整数的整除相关问题常用到以
下知识:
1.数的整除性常见特征:
①若整数
的个位数是偶数,则2|
;
②若整数
的个位数是0或5,则5|
;
③若整数
的各位数字之和是3(或9)的倍数,则3|
(或9|
);
④若整数
的末二位数是4(或25)的倍数,则4|
(或25|
);
⑤若整数
的末三位数是8(或125)的倍数,则8|
(或125|
);
⑥若整数
的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数,则11|
.
2.整除的基本性质
设
,
,
都是整数,有:
①若
|
,
|
,则
|
;
②若
|
,
|
,则
|(
±
);
③若
|
,
|
,则[
,
]|
;
④若
|
,
|
,且
与
互质,则
|
;
⑤若
|
,且
与
互质,则
|
.特别地,若质数
|
,则必有
|
或
|
.
例题与求解
【例1】在1,2,3,…,2000这2000个自然数中,有_______个自然数能同时被2和3整除,而
且不能被5整除.
(“五羊杯”竞赛试题)
解题思想:
自然数
能同时被2和3整除,则
能被6整除,从中剔
除能被5整除的数,即为所求.
【例2】已知
,
是正整数(
>
),对于以下两个结论:
①在
+
,
,
-
这三个数中必有2的倍数;
②在
+
,
,
-
这三个数中必有3的倍数.其中()
A.只有①正确B.只有②正确
C.①,②都正确D
.①,②都不正确
(江苏省竞赛试题)
解题思想:
举
例验证,或按剩余类深入讨论证明.
【例3】已知整数
能被198整除,求
,
的值.
(江苏省竞赛试题)
解题思想:
198=2×9×11,整数
能被9,11整除,运用整除的相关特性建立
,
的等式,求出
,
的值.
【例4】已知
,
,
都是整数,当代数式7
+2
+3
的值能被13整除时,那么代数式5
+7
-22
的值是否一定能被13整除,为什么?
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
解题思想:
先把5
+7
-22
构造成均能被13整除的两个代数式的和,再进行判断.
【例5】如果将正整数M放在正整数
左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为
的“魔术数”(例如:
把86放在415左侧,得到86415能被7整除,所以称86为415的魔术数),求正整数
的最小值,使得
存在互不相同的正整数
,
,…,
,满足对任意一个正整数
,在
,
,…,
中都至少有一个为
的“魔术数”.
(2013年全国初中数学竞赛试题)
解题思想:
不妨设
(
=1,2,3,…,
;
=0,1,2,3,4,5,6)至少有一个为
的“魔
术数”.根据题中条件,利用
(
是
的位数)被7除所得余数,分析
的取值.
【例6】一只青蛙,位于数轴上的点
,跳动一次后到达
,已知
,
满足|
-
|=1,我们把青蛙从
开始,经
-1次跳动的位置依次记作
:
,
,
,…,
.
⑴写出一个
,使其
,且
+
+
+
+
>0;
⑵若
=13,
=2012,求
的值;
⑶对于整数
(
≥2),如果存在一个
能同时满足如下两个条件:
①
=0;②
+
+
+…+
=0.求整数
(
≥2)被4除的余数,并说理理由.
(2013年“创新杯”邀请赛试题)
解题思想:
⑴
.即从原点出发,经过4次跳动后回到原点,这就只能两次向右,两次向左.为保证
+
+
+
+
>0.只需将“向右”安排在前即可.
⑵若
=13,
=2012,从
经过1999步到
.不妨设向右跳了
步,向左跳了
步,则
,解得
可见,它一直向右跳,没有向左跳.
⑶设
同时满足两个条件:
①
=0;②
+
+
+…+
=0.由于
=0,故从原点出发,经过(
-1)步到达
,假定这(
-1)步中,向右跳了
步,向左跳了
步,于是
=
-
,
+
=
-1,则
+
+
+…+
=0+(
)+(
)+…(
)=2(
+
+…+
)-[(
)+(
)+…+(
)]=2(
+
+…+
)-
.由于
+
+
+…+
=0,所以
(
-1)=4(
+
+…+
).即4|
(
-1).
能力训练
A级
1.某班学生不到50人,在一次测验中,有
的学生得优,
的学生得良,
的学生得及格,则有________人不及格.
2.从1到10000这1万个自然数中,有_______个数能被5或能被7整除.
(上海市竞赛试题)
3.一个五位数
能被11与9整除,这个五位数是________.
4.在小于1997的自然数中,是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()
A.532B.665C.133D.798
5.能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()
A.1B.2C.3D.6
(江苏省竞赛试题)
6.用数字1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的三位数中,是9的倍数的数有()
A.12个B.18个C.
20个D.30个
(“希望杯”邀请赛试题)
7.五位数
是9的倍数,其中
是4的倍数,那么
的最小值为多少?
(黄冈市竞赛试题)
8.1,2,3,4,5,6每个使用一次组成一个六位数字
,使得三位数
,
,
,
能依次被4,5,3,11整除,求这个六位数.
(上海市竞赛试题)
9.173□是个四位数字,数学老师说:
“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9,11,6整除.”问:
数学老师先后填入的这3个数字的和是多少?
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
B级
1.若一个正整数
被2,3,…,9这八个自然数除,所得的余数都
为1,则
的最小值为_________,
的一般表达式为____________.
(“希望杯”邀请赛试题)
2.已知
,
都是正整数,若1≤
≤
≤30,且
能被21整除,则满足条件的数对(
,
)共有___________个.
(天津市竞赛试题)
3.一个六位数
能被33整除,这样的六位数中最大是__________.
4.有以下两个数串
同时出现在这两个数串中的数的个数共有()个.
A.333B.334C.335D.336
5.一个六位数
能被12整除,这样的六位数共有()个.
A.4B.6C.8D.12
6.若1059,1417,2312分别被自然数
除时,所得的余数都是
,则
-
的值为().
A.15B.1C.164D.174
7.有一种室内游戏,魔术师要求某参赛者相好一个三位数
,然后,魔术师再要求他记下五个数:
,
,
,
,
,并把这五个数加起来求出和N.只要讲出
的大小,魔术师就能说出原数
是什么.如果N=3194,请你确定
.
(美国数学邀请赛试题)
8.一个正整数N的各位数字不全相等,如果将N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N,则称N为“拷贝数”,试求所有的三位“拷贝数”.
(武汉市竞赛试题)
9.一个六位数,如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置,则所得的新六位数恰为原数的6倍,求这个三位数.
(“五羊杯”竞赛试题)
10.一个四位数,这个四位数与它的各位数字之和为1999,求这个四位数,并说明理由.
(重庆市竞赛试题)
11.从1,2,…,9中任取
个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求
的最小值.
(2013年全国初中数学竞赛试题)
专题02数的整除性
例1267提示:
333-66=267.
例2C提示:
关于②的证明:
对于a,b若至少有一个是3的倍数,则ab是3的倍数.若a,b都不是3的倍数,则有:
(1)当a=3m+1,b=3n+1时,a-b=3(m-n);
(2)当a=3m+1,b=3n+2时,a+b=3(m+n+1);(3)当a=3m+2,b=3n+1时,a+b=3(m+n+1);(4)当a=3m+2,b=3n+2时,a-b=3(m-n).
例3a=8.b=0提示:
由9|(19+a+b)得a+
b=8或17;由11|(3+a-b)得a-b=8或-3.
例4设x,y,z,t是整数,并且假设5a+7b-22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+tc).比较上式a,b,c的系数,应当有
,取x=-3,可以得到y=2,z=1,t=-1,
则有13(2a+b-c)-3(7a+2b+3c)=5a+7b-22c.既然3(7a+2b+3c)和13(2a+b-c)都能被13整除,则5a+7b-22c就能被13整除.
例5考虑到“魔术数”均为7的倍数,又a1,a2,…,an互不相等,不妨设a1<a2<…<an,余数必为1,2,3,4,5,6,0,
设ai=ki+t(i=1,2,3,…,n;t=0,1,2,3,4,5,6),至少有一个为m的“魔术数”,因为ai·10k+m(k是m的位数),是7的倍数,当i≤b时,而ai·t除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6中的6个;当i=7时,而ai·10k除以7的余数都是0,1,2,3,4,5,6这7个数字循环出现,
当i=7时,依抽屉原理,ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7,此时ai·10k+m被7整除,即n=7.
例6
(1)A5:
0,1,2,1,0.(或A5:
0,1,0,1,0)
(2)a1000=13+999=1012.(3)n被4除余数为0或1.
A级
1.12.31433.397984.A5.C6.B
7.五位数
=10×
+e.又∵
为4的倍数.故最值为1000,又因为
为9的倍数.故1+0+0+0+e能被9整除,所以e只能取8.因此
最小值为10008.
8.324561提示:
d+f-e是11的倍数,但6≤d+f≤5+6=11,1≤e≤6,故0≤d+f-e≤10,因此d+f-e=0,即5+f=e,又e≤d,f≥1,故f=l,e=6,
9.19提示:
1+7+3+□的和能被9整除,故□里只能填7,同理,得到后两个数为8,4.
B级
1.2521a=2520n+1(n∈N+)
2.57
3.719895提示:
这个数能被33整除,故也能被3整除.于是,各位数字之和(x+1+9+8+9+y)也能被3整除,故x+y能被3整除.
4.B
5.B
6.A提
示:
两两差能被n整除,n=179,m=164.
7.由题意得
+
+
+
+
=3194,两边加上
.得222(a+b+c
)=3194+
∴222(a