概率论与数理统计公式汇总.docx

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概率论与数理统计公式汇总

第一章随机事件和概率

（1）排列组合公式

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用

来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用

表示。

一个事件就是由

中的部分点（基本事件

）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是

的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有

，

，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：

A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：

A

B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者

，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：

A

B，或者AB。

A

B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为

。

它表示A不发生的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C

分配率：

（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根率：

，

（7）概率的公理化定义

设

为样本空间，

为事件，对每一个事件

都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°0≤P（A）≤1，

2°P（Ω）=1

3°对于两两互不相容的事件

，

，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件

的概率。

（8）古典概型

1°

，

2°

。

设任一事件

，它是由

组成的，则有

P（A）=

=

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。

对任一事件A，

。

其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当B

A时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Ω时，P（

）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称

为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为

。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1

P（

/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>0，则有

…

……

…

。

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件

、

满足

，则称事件

、

是相互独立的。

若事件

、

相互独立，且

，则有

若事件

、

相互独立，则可得到

与

、

与

、

与

也都相互独立。

必然事件

和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件

满足

1°

两两互不相容，

，

2°

，

则有

。

（16）贝叶斯公式

设事件

，

，…，

及

满足

1°

，

，…，

两两互不相容，

>0，

1，2，…，

，

2°

，

，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（

，

，…，

），通常叫先验概率。

，（

，

，…，

），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了

次试验，且满足

◆每次试验只有两种可能结果，

发生或

不发生；

◆

次试验是重复进行的，即

发生的概率每次均一样；

◆每次试验是独立的，即每次试验

发生与否与其他次试验

发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为

重伯努利试验。

用

表示每次试验

发生的概率，则

发生的概率为

，用

表示

重伯努利试验中

出现

次的概率，

，

。

第二章随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量

的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=xk）=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量

的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

。

显然分布律应满足下列条件：

（1）

，

，

（2）

。

（2）连续型随机变量的分布密度

设

是随机变量

的分布函数，若存在非负函数

，对任意实数

，有

，

则称

为连续型随机变量。

称为

的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°

。

2°

。

（3）离散与连续型随机变量的关系

积分元

在连续型随机变量理论中所起的作用与

在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设

为随机变量，

是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间

的概率。

分布函数

表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°

；

2°

是单调不减的函数，即

时，有

；

3°

，

；

4°

，即

是右连续的；

5°

。

对于离散型随机变量，

；

对于连续型随机变量，

。

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在

重贝努里试验中，设事件

发生的概率为

。

事件

发生的次数是随机变量，设为

，则

可能取值为

。

，其中

，

则称随机变量

服从参数为

，

的二项分布。

记为

。

当

时，

，

，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量

的分布律为

，

，

，

则称随机变量

服从参数为

的泊松分布，记为

或者P（

）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。

几何分布

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。

均匀分布

设随机变量

的值只落在[a，b]内，其密度函数

在[a，b]上为常数

，即

a≤x≤b

其他，

则称随机变量

在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，b）。

分布函数为

a≤x≤b

0，x

1，x>b。

当a≤x1

）内的概率为

。

指数分布

0,

 其中

，则称随机变量X服从参数为

的指数分布。

X的分布函数为

x<0。

 记住积分公式：

正态分布

设随机变量

的密度函数为

，

，

其中

、

为常数，则称随机变量

服从参数为

、

的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为

。

具有如下性质：

1°

的图形是关于

对称的；

2°当

时，

为最大值；

若

，则

的分布函数为

。

。

参数

、

时的正态分布称为标准正态分布，记为

，其密度函数记为

，

，

分布函数为

。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ（-x）＝1-Φ（x）且Φ（0）＝

。

如果

~

，则

~

。

。

（6）分位数

下分位数：

；

上分位数：

。

（7）函数分布

离散型

已知

的分布列为

，

的分布列（

互不相等）如下：

，

若有某些

相等，则应将对应的

相加作为

的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）＝P（g（X）≤y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。

第三章二维随机变量及其分布

（1）联合分布

离散型

如果二维随机向量

（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称

为离散型随机量。

设

=（X，Y）的所有可能取值为

，且事件{

=

}的概率为pij,,称

为

=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

Y

X

y1

y2

…

yj

…

x1

p11

p12

…

p1j

…

x2

p21

p22

…

p2j

…

xi

pi1

…

…

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）

连续型

对于二维随机向量

，如果存在非负函数

，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a

则称

为连续型随机向量；并称f（x,y）为

=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）≥0;

（2）

（2）二维随机变量的本质

（3）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,