中考数学283 三角函数与圆.docx

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中考数学283三角函数与圆

一、选择题

二、填空题

1.如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F,

DB交AC于点G，若=,则=

答案：

，解析：

∵=,设EF=，AE=，∴AF=，连结AD、OD、BC，设OD与AC交于点H，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴∠ABD=90°-∠DAE，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠DAE，∴∠ADE=∠ABD，∵D是弧AC的中点，∴∠CAD=∠ABD，∴∠CAD=∠ADF，∴AF=DF，∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠FHD=90°，∴∠FHD=∠AEF=90°，又∵∠DFH=∠AFE，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF=，DH=AE=，∴AH=AF+FH=+=，∴，∴，∵∠DAH=∠DBC，∴，在Rt△BCG中，=.

三、解答题

1.（2018·绵阳，23，11分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E．

（1）求证：

BE＝CE；

（2）若DE∥AB，求sin∠ACO的值．

思路分析：

（1）已知EB和ED都是⊙O的切线，则EB＝ED，要证BE＝CE，只需证明CE＝DE即可．

连接BD，利用AB是直径，得到∠CDB＝90°，在Rt△CDB中利用角的转化可以得到∠EDC＝∠ECD．

（2）过点O作OG⊥AD，将∠ACO置于直角Rt△COG中；若DE‖AB，则四边形DEBO为正方形，

设出正方形的边长，将OC和OG用边长表示，即可求出sin∠ACO的值．

解答过程：

（1）证明：

连接BD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴∠CDE＋∠BDE＝90°，

∠DBC＋∠DCE＝90°，

∵EB和ED都是⊙O的切线，∴ED＝EB，∴∠BDE＝∠DBC，

∴∠CDE＝∠DCE，∴EC＝ED，∴BE＝CE．

（2）连接OD，过点O作OG⊥AD，垂足为G．

∵EB和ED都是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∵DE‖AB，∴∠DEB＝90°，

∴四边形DEBO为矩形，∵OB＝OD，∴四边形ODEB为正方形．

设正方形的边长为a，则OA＝OB＝OD＝BE＝a，BC＝2a，

∴OC＝a，OG＝AD＝a．

在Rt△COG中，sin∠ACO＝．

2.（2018·金华市，21，8分）

如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E，连结AD.已知∠CAD=∠B.

（1）求证：

AD是⊙O的切线.

（2）若BC=8，tanB=,求⊙O的半径.

第21题图

E

O

A

B

D

C

思路分析：

（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；

（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．

解答过程：

（1）证明：

连接OD，

∵OB=OD，

∴∠3=∠B，

∵∠B=∠1，

∴∠1=∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，

∴∠4=180°-（∠2+∠3）=180°-90°=90°，

∴OD⊥AD.

则AD为O的切线.

（2）设O的半径为r，

在Rt△ABC中，AC===4，

∴AB===，

∴OA=﹣r，

在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，

∴CD===2，

∴AD2=AC2+CD2=42+22=20，

在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（-r）2=r2+20，

解得：

r=．

3．（2018·广安，25，9分）如图12，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．

（1）求证：

∠PCA＝∠ABC；

（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连结BE，若cos∠P＝，CP＝10，求BE的长．

思路分析：

（1）利用切线的性质、“直径所对的圆周角是直角”等进行证明；

（2）①利用余弦的定义求OP；②利用勾股定理求⊙O的半径；③在Rt△ABE中，再次利用余弦的定义和勾股定理依次求AE和BE的长（也可利用△ABE∽△POC求BE）．

证明：

（1）∵PC与⊙O相切点C，∴∠PCA＋∠OCA＝90°．

∵AB是⊙O的直径，∴∠OCB＋∠OCA＝90°．

∴∠PCA＝∠OCB．

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC．

∴∠PCA＝∠ABC．

解：

（2）∵cos∠P＝＝，CP＝10，∴OP＝．

∴OC＝＝．∴AB＝15．

∵AE∥PC，∴∠BAE＝∠P．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠E＝90°．

∴AE＝AB·cos∠BAE＝15×＝12．

∴BE＝＝9．

4.（2018·成都，20，10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G.

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）设AB=x，AF=y，试用x，y的代数式表示线段AD的长；

（3）若BE=8，sinB=，求DG的长.

5（2018·无锡市，24，8）如图，四边形ABCD内接于圆心O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．

第24题图

思路分析：

延长AD、BC交于点E．先利用余角的性质证明∠B=∠EDC，然后在Rt△ECD中借助余弦函数求ED的长；最后在Rt△EAB中借助余弦函数与勾股定理求出BE、EA的长，从而求得AD的长．

解答过程：

解：

延长AD、BC交于点E．⊙O中，∵∠A=90°，∠A+∠DCB=180°，∴∠DCB=90°，∴∠DCE=180°-∠DCB=90°，∴∠E+∠EDC=90°，又∠E+∠B=90°，∴∠B=∠EDC．在Rt△ECD中，cosB=cos∠EDC==，∴ED=CD=，在Rt△EAB中，∵cosB==，∴BE=，EA===，∴DA=EA-ED=-=6.

第24题答图

思路分析：

（1）连接OD，根据角平分线的定义、圆的半径相等可证的∠ODA=∠CAD，可证得∠ODC=90°；

（2）连接DF，先证得∠FDC=∠DAC，再证得∠ADB=∠AFD，进而证得△ABD∽△ADF，利用相似的性质，可求得AD的长；（3）连接EF，由三角函数、圆周角定理以及平行线的性质，可求得OD，AE，AB的长，再证得△AGF∽△DGO，进而求得DG的长.

解：

（1）连接OD.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD.

∴∠OAD=∠CAD.

∵∠C=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°.

∴∠ODA+∠ADC=90°.

即OD⊥BC.

∴BC是⊙O的切线.

（2）连接DF.

∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD.

∴∠ODF=（180°－∠DOF）=90°－∠DOF.

∴∠FDC=90°－∠ODF=∠DOF.

∵∠DAF=∠DOF，∴∠FDC=∠DAF.

∴∠FDC=∠ODA.

∵∠ADB=90°+∠ODA，∠AFD=∠90°+∠FDC，

∴∠ADB=∠AFD.

∵∠BAD=∠DAF，

∴△ABD∽△ADF.

∴.

∴AD2=AB•AF=xy.

∴AD=.

（3）连接EF.

再Rt△BOD中，sinB==.

设圆的半径为r，∴，解得r=5.

经检验，r=5是所列分式方程的解.

∴AE=10，AB=18.

∵AE是直径，∴∠AFE=90°.

∵∠C=90°，

∴EF∥BC.

∴∠AEF=∠B.

∴sin∠AEF=∠B=，

∴AF=AE•sin∠AEF=10×=.

∵∠ODA=∠FAD，∠OGD=∠FGA，

∴△AGF∽△DGO，

∴=，

∴DG=AD.

∵AD===，

∴DG=×=.

6．（宜宾市2018）（本小题10分）（注意：

在试题卷上作答无效）

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD,CE⊥AD于点E.

（1）求证：

直线EC为圆O的切线;

（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求

sin∠PEF的值.

思路分析：

（1）只需证OC⊥CE，即得OC是⊙O的切线．利用BC=CD，BO=AO可得OC是△ABD的中位线，由平行线性质，易证CE⊥OC，从而获得结论；

（2）根据圆周角性质，易得∠CAF=∠CBF，代换得到∠CAF=∠PCF，易证得PCF∽△PAC，，再通过证明Rt△PAE∽Rt△PEF，获得PE，PF，PA间的数量关系，据此可求解PE的长，在Rt△PEF中，利用三角函数定义即可得解．

解：

（1）∵BC=CD，BO=AO，∴OC是△ABD的中位线，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴直线EC为圆O的切线；

（2）如图，连接AC，∴∠CAF=∠CBF，∵∠PCF=∠CBF，∴∠CAF=∠PCF，又∵∠APC=∠CPF，∴△PCF∽△PAC，∴，即；

∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠PFE=90°，∵CE⊥AD，∴∠PEA=90°，∴∠PEA=∠PFE，又∵∠EPA=∠FPE，∴△PEF∽△PAF，∴，即，∴PE=PC=5；

在Rt△PEF中，PE=5,PF=4,∴sin∠PEF的值为.

7.如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且.

（1）求证：

；

（2）当，时，求的长.

【思路分析】

（1）连接OE，根据切线性质可得OE⊥AC，由DE=EF，可得BE为∠ABC平分线，根据等腰三角形易得OE∥BC，从而易得结论；

（2）在Rt△ABC中，根据，求出AB的值；设半径为r，利用在Rt△AOE中，，建立关于r的方程，求出r，再根据AF=AB-2r即可求解.

【解题过程】

（1）证明：

连接OE,BE．∵DE=EF，∴=,∴∠OBE=∠DBE.

∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE,∴∠OEB=∠DBE,∴OE∥BC.

∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC．∴BC⊥AC,∴∠C=90°.

（2）解：

在△ABC中，∠C=90°，BC=3，，∴AB=5．

设⊙O的半径为r，则AO=5-r，在Rt△AOE中，,∴．

∴．

8．（2018·温州市，22题号，10分）如图，D是△ABC的BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．

（1）求证：

AE＝AB．

（2）若∠CAB＝90°，cos∠ADB=,BE＝2，求BC的长．

思路分析：

（1）由题可知△ADE≌△ADC，则对应角，对应边相等，∠AED=∠ACD，AE=AC；证明AE＝AB就转化成证明AC=AB；又因为同一圆内，同弦对应的圆心角相等，所以∠ABD=∠AED，则∠ABD=∠ACD，则AB=AC，即AE=AB.

（2）过点A作AH⊥BE于点H，由第一题可知△AEB为等腰三角形，则BH=EH=1，∠ABE=∠AEB；等弦对等角，∠AEB=∠ADB；又因为cos∠ADB=，则cos∠ABE=cos∠ADB=，，所以AC=AB=3，根据勾股定理，BC=.

解答过程：

解：

（1）由题意得△ADE≌△ADC，

∴∠AED=∠ACD，AE=AC，

∵∠ABD=∠AED，

∴∠ABD=∠ACD，

∴AB=AC，

∴AE=AB.

（2）如图，过点A作AH⊥BE于点H，

∵AB=AE，