二次根式的运算公开课获奖教案.docx
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二次根式的运算公开课获奖教案
2.7二次根式
第2课时二次根式的运算
【上节知识回顾】
1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：
（1）从形式上看，二次根式是以根号“
”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。
如
，
等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；
（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数；
（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；
（4）像“
，
”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。
2．二次根式的主要性质
（1）
；
（2）
；（3）
；
（4）积的算术平方根的性质：
；
（5）商的算术平方根的性质：
；
（6）若
，则
。
3．注意
与
的运用。
【新授】
一、二次根式的乘法
一、复习引入
1．填空
（1）
×
=_______，
=______；
（2）
×
=_______，
=________．
（3）
×
=________，
=_______．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×
_____
，
×
_____
，
×
________
一般地，对二次根式的乘法规定为
·
＝
．（a≥0，b≥0）
反过来:
=
·
（a≥0，b≥0）
例1．计算
（1）
×
（2）
×
（3）
×
（4）
×
例2化简
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）
×
=4×
×
=4
×
=4
=8
二、二次根式的除法
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）
=________，
=_________；
（2）
=________，
=________；
（3）
=________，
=_________；（4）
=________，
=________．
规律：
______
；
______
；
_______
；
_______
．
一般地，对二次根式的除法规定：
=
（a≥0，b>0），反过来，
=
（a≥0，b>0）
例1．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
例2．化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
例3．已知
，且x为偶数，求（1+x）
的值．
三、分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。
对于有理化因式，要注意以下四点：
（1）它们必须是成对出现的两个代数式；
（2）这两个代数式都是二次根式；
（3）这两个代数式的积不含有二次根式；
（4）一个二次根式，可以与几个不同的代数式互为有理化因式。
①单项：
（单项二次根式的有理化因式是它本身）；
②两项：
（平方差公式）。
在进行二次根式的除法运算时，把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的一般方法是：
先将分母的二次根式化简，再选择一个适当的代数式同时乘以分子与分母，把分母的根号化去；特殊情况可用特殊的方法化去分母的根号，如约分．
例1.判断题：
（1）
的理化因式是
（2）
（3）
的有理化因式
例2.将
进行分母有理化
例3．观察下列各式，通过分母有理化，进行化简：
=
=
-1，
=
=
-
，
同理可得：
=
-
，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（
+
+
+……
）（
+1）的值．
把形如
的式子分母有理化，可以应用以下三种方法：
（1）将分子与分母乘以同一个代数式，使分母有理化，即
；
（2）逆用关系式
，把分子与分母中的公因式直接约分，得
；
（3）逆用关系式
，再根据二次根式的除法法则进行约分，即
练习：
选择恰当的方法把下列各式的分母有理化：
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
．
四、二次根式的加减
1计算下列各式．
（1）2
+3
（2）2
-3
+5
（3）
+2
+3
（4）3
-2
+
二次根式加减法的法则
二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。
合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。
例1.计算：
（1）
（2）
例2．计算
（1）3
-9
+3
（2）（
+
）+（
-
）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（
+y2
）-（x2
-5x
）的值．
例4．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：
几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？
PQ的距离是多少厘米？
（结果用最简二次根式表示）
例5．已知
=2-
，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简
+
，并求值．
五、二次根式运算中的技巧
例1：
计算
例2：
化简：
例3：
化简：
4．4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1．会确定正比例函数的表达式；（重点）
2．会确定一次函数的表达式．（重点）
一、情境导入
某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？
你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？
学习了本节的内容，你就知道了．
二、合作探究
探究点一：
确定正比例函数的表达式
求正比例函数y＝（m－4）m2－15的表达式．
解析：
本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．
解：
由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.
方法总结：
利用正比例函数的定义确定表达式：
自变量的指数为1，系数不为0.
探究点二：
确定一次函数的表达式
【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，求一次函数的表达式．
解析：
先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过（0，5）、（2，－5）两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．
解：
设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，
∴
解得
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
方法总结：
“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．
【类型二】根据图象确定一次函数的表达式
正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A（4，3），B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解析：
根据A（4，3）可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．
解：
设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A（4，3）是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝
，即正比例函数的表达式为y＝
x.∵OA＝
＝5，且OA＝2OB，∴OB＝
.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点的坐标为（0，－
）．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－
＝b，代入3＝4k2＋b中，得k2＝
.∴一次函数的表达式为y2＝
x－
.
方法总结：
根据图象确定一次函数的表达式的方法：
从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式
某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y（元）与数量x（千克）的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
数量x/千克
售价y/元
1
8＋0.4
2
16＋0.8
3
24＋1.2
4
32＋1.6
5
40＋2.0
…
…
解析：
从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……
解：
由表中信息，得y＝（8＋0.4）x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．
方法总结：
解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
三、板书设计
确定一次函数表达式
经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
2．2 平方根
第1课时 算术平方根
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；（重点）
2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；（重点）
3．了解算术平方根的性质．（难点）
一、情境导入
上一节课我们做过：
由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？
二、合作探究
探究点一：
算术平方根的概念
【类型一】求一个数的算术平方根
求下列各数的算术平方根：
（1）64；
（2）2
；（3）0.36；（4）
.
解析：
根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．
解：
（1）∵82＝64，∴64的算术平方根是8；
（2）∵（
）2＝
＝2
，∴2
的算术平方根是
；
（3）∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；
（4）∵
＝
，又92＝81，∴
＝9，而32＝9，∴
的算术平方根是3.
方法总结：
（1）求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求
与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．
（2）求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．
【类型二】利用算术平方根的定义求值
3＋a的算术平方根是5，求a的值．
解析：
先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.
解：
因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.
方法总结：
已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．
探究点二：
算术平方根的性质
【类型一】含算术平方根式子的运算
计算：
＋
－
.
解析：
首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算．
解：
升级会员 