三角函数和平面向量综合测试题doc.docx
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三角函数和平面向量综合测试题doc
三角函数与平面向量综合测试题
10.使y=sin亦(3>0)在区间|0,1]至少出现2次最大值,则3的最小值为(
一、选择题:
1•下列函数中,周期为彳的是()
A.”si吟
B.y=sin2x
C.y=cos-
一4
D.y=cos4x
2.设P是ZkABC所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则
a.pa+pb=o
bPC+PA=0
C.PB+PC"
°pa+pb+pc=o
)
3.己知向量"HZ若a+”与4b-2a平行,则实数兀的值是()
A.
-2
B.0
C.1
D.2
4.
已知O是△4BC所在平面内一点,D为BC边中点,
且2Q4+OB+OC=0,
那么
)A.AO=ODB.
AO=2ODC.AO=3OD
D.2AO=OD
5.
若函数fix)=V3sin
1,
函数/U)的最大值是
553
A.—71B.—71C.兀D・—71
242
11、在直角坐标系x0>冲,i,丿•分别是与x轴,y轴平行的单位向量,若直角三角形ABC
屮,AB=2i+j,AC=3i+kj,则k的可能值有
A、1个
12.如图,h、仏、
B、2个C、3个D、4个
厶是同一平面内的三条平行直线,厶与b间的距离是1,b与厶间)
的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在厶、H、厶上,贝'JAABC的边长是(
(A)2^3(B)—(C)(D)
343
二、填空题:
13.设两个向量"5
,满足I5l=2,|e2\=l,elfe2的夹角为60°,若向
量2tei+7e2与向量ex+1e2的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.
7
14.若sin〃一cos0=—,0(0,兀),则tan。
二
15.如右图,在\ABC中,ABAC=120°,AB=2,AC=1,Z)MiiBC±—,DC=2BD、则
()A.*Bt
6.(l+tan25o)(l+tan2Oo)的值是(
7.a>0为锐角a二sin(a+"),b=sintz+cosor,则a、bZ间关系为
A.a>hB.h>aC.a-bD.不确定
8.同时具有性质“①最小正周期是龙,②图象关于直线x=-对称;③在
363
是减函数”的一个函数是()
XTTTTTTTT
A.y-sin(—+—)B.y-cos(2x)C.y=sin(2x)D.y=cos(2x+—)
26663
9./(x)=Asin((wc^(p)(A>0,3>0)在x=l处取最大值,则
AD・BC=
16.下面有五个命题:
1函数3?
=sin4x-cos4x的最小正周期是兀.
2终边在y轴上的角的集合是{a\a=^,keZ|.
J
3在同一坐标系中,函数>,=sirL¥的图象和函数)=兀的图象有三个公共点.
4把函数y=3sin(2x+-)的图象向右平移匹得到y=3sin2x的图象.
36
⑤函数y=sin(x-^)在(0,兀)上是减函数.
其中真命题的序号是((写出所有真命题的编号))
三•解答题=
17.在ZXABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsinA=3csinB,
A./(兀-1)一定是奇函数
a=3,cosB=|;⑴求b的值;
(2)求sin(2B_期的值.
C./(x+1)—定是奇函数
D./(兀+1)—定是偶函数
18.已知函数/(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,xgR・
(I)求函数.f(x)的最小正周期;
(II)求函数f(x)在区间「善,上的最小值和最大值.
84
19・设向量a=(4cosa.sina),b=(sin0,4cos0),c=(cos0,7sin0)
(1)若a与b-2c垂直,求tan(a+0)的值;
(2)求|/?
+c|的最大值;
(3)若tan«tan/?
=16,求证:
a//b
20.若函数f(x)=sinx+a/3cosx+tz在(0,2巧内有两个不同零点a、0・
(I)求实数Q的取值范围;(II)求tan(a+/?
)的值.
21.一海监船发现在北偏东45°方向,距离12nmile的海面上有一敌船正以10nmile/h的速度沿东偏南15°方向逃窜.海监船的速度为14nmile/h,若要在最短的时间内追上该敌船,海监船应沿北偏东45°+6Z的方向去追,.求追及所需的时间和&角的正弦值.
22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=cos2x-F—,g(x)=1+—sin2x.\12丿2
(I)设兀=勺是函数y=/(x)图象的一条对称轴,求g(k)的值.
(II)求函数/?
(%)=/(兀)+g(x)的单调递增区间•
三角函数与平面向量综合测试题参考答案
又由Z?
sinA=3csinB,可得a=3c,又a=3,故c=1.
2
由b2=a2+c2—2accosB,cosB=寸,可得h=y[6.
2\[s
⑵由cosB=§,得sinB=3,进而得
cos2B=2cos2B-1=-|,
sin2B=2sinBcosB=
所以sin(2B—扌=sin2Bcoscos2Bsin£
4^5+73
、
71
4J
=18
18.【分析】/(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=a/2sin2x
(II)解法一:
因为/(X)=V2sin
2
在区间
■■兀3兀
上为增函数,在区间
3龙
3/r
\4丿
88
L8
4」
上为减
因此,函数/(兀)的最小正周期为兀.
3/r
逅sin
函数,
cos-=-l
4
故函数于(兀)在区间壬,学上的最大值为©,最小值为-1.
88
75sin
在长度为一个周期的区间
719兀
亠,亠
<4丿
Ls8J
上的图象如下:
解法二:
作函数/(%)=
【考点】本小题考查三角函数屮的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数y=As'm(cox+0)的性质等基础知识,考查基本运算能力.
19.⑴由a与b-2c垂直,a(b-2c)=ab-2ac=Q,
即4sin(a+0)-8cos(a+0)=O,tan(a+0)=2;4分
⑵b+c=(sin0+cos0,4cos0—4sin0)
I方+cF=sin20+2sin0cos卩+cos20+16cos2一32cos0sin0+16sin2=17-3Osin0cos0=17-15sin20,最大值为32,
所以\b+cI的最大值为4丁㊁。
8分
⑶由tanatan0=16得sinasin0=16cosacos0,
即4cosa・4cos0-sinasin0=0,
所以a//b.12分
j屈兀
20.解:
(I)*.*sinx+V3cosx=2(—siwc+cosx)=2sin(x+一),
223
而函数/O)=sinx+巧cosx+a在(0,2兀)内有两个不同零点等价于关于兀的方程
siiu+V3cosx+d二0在(0,2兀)内有相异二解
・••方程化为sin(兀+£)二-
32
T方程siri¥4-V3cosx+67=0在(0,2h)内有相异二解,
7171
・*.sin(x+—)Hsin—=.
332
又sin(x+£)H±1(・・・当等于亠和±1吋仅有一解),
32
・・・|■纠vl.且.即\a\<2且样_羽.
222
・・・a的取值范围是(-2,-V3)U(-73,2).
(II)・・・q、B是方程的相异解,
sina+V3cosa+a=0①.
sinB+V3cosP+a=0②.
①■②得(sina・sinB)+^3(cosa・cosP)=0.
.a-pa+0/^.a+0.a-(3八口.a+卩
..2sincos-2sinsin=0,XsinHO,
2222_2
・Q+0a/3
…tan=•
23
ca+0
2tan—
/.tan(a+S)=———=V3・
c2^+0
2—tarr———
2
21.解:
设A,C分别表示海监船,敌船的位置,设经过X小时后在B处追上,则有
20sinl2(J
28
AB=14x,BC=10x,ZACB=12Q./.(14x)2=1224-(10x)2-24(kcosl20°,
/.兀=2,AB=2&BC=20,sina
所以所需时间2小时,sin—器.
22.解:
(I)由题设知/⑴二丄[1+cos(2x+3]・
26
7T
因为x=x()是函数y=/(X)图象的一条对称轴,所以2x0+—=kn,
6
7T
即=kit(A:
eZ).
6
—117T
所以g(x0)=1+—sin2x0=1+—sin伙兀——).
226
当k为偶数时,g(x())=l+*sin
当k为奇数时,g(x0)=1+-sin—=1+-=-
26441(1
2
2
(II)/?
(兀)=/(兀)+g(兀)=—1+cos2兀+—+1+—sin2x
7T7T7TStt7T
当2刼-訐2兀+評2刼+丁即刼一占詁+正(心)时,
2I6丿2
函数/z(x)=|sin[2%+^1+4是增函数,
故函数心的单调递增区间是刼-詈,刼+卡