D
16.已知/ABC=3/C；/1=/2；BE丄AE；求证：
AC-AB=2BE
/BAC=180-（/ABC+/C=180-4/C
/1=/BAC/2=90-2/C
/ABE=90-/1=2/C
延长BE交AC于F因为，/1=/2；BE丄AE所以，△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE/FBC=/ABC-/ABE=3/C-2/C=/CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B
17.已知，E是AB中点，AF=BD
E
；BD=5；AC=7，求DC
作AG//BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5AGFsCDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，/仁/2，求证：
AD丄BC.
延长AD至H交BC于H;BD=DC;
所以：
/DBC=/角DCB;/1=/2;
/DBC+/1=/角DCB+/2;/ABC=/ACB;
所以:
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
:
AD垂直BC
/BAD=/CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以
19.
AB交OM于点N.
（5分）如图，0M平分/POQ,MA丄OP,MB丄OQ,A、B为垂足,求证：
/OAB=/OBA
lj因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且/MOA=/MOB
所以MA=MB所以/MAB=/MBA
/因为/OAM=/OBM=90度
"所以/OAB=90-/MAB/OBA=90-/MBA所以/OAB=/OBA"戈一#
20.（5分）如图，已知AD//BC,ZPAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线
交AP于D.求证：
AD+BC=AB.
证明：
做BE的延长线，与AP相交于F点，
C
E
D
•/PA//BC•••/PAB+/CBA=180,
又T,AE,BE均为/PAB和/CBA的角平分线
•••/EAB+/EBA=90AEB=90,EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE丄BF，且AE为/FAB的角平分线
•三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形
BEC中，/EBC=/DFE,且BE=EF，/DEF=/CEB，•三角形DEF
与三角形BEC为全等三角形，•DF=BC•AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.（6分）如图，△ABC中,
AD是/CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：
/C=2/B证明：
在AB上找点E,使AE=AC•/AE=AC,/EAD=/CAD,
AD=ADADEADC。
DE=CD,
/AED=/C•/AB=AC+CD,
•DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/B=/EDB/C=/B+/ED
22.（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
（1）求证：
MB=MD,ME=MF
（2）
当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由.
BEDF是平行四边形•再根据平行四边形的性质得出结论.
解答：
解：
（1）连接BE,DF.tDE丄AC于E,BF丄AC于F,,DEC=/BFA=90,
DE//BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，tAF=CE,AB=CDRt△DEC也RtABFA,
•••DE=BF.•••四边形BEDF是平行四边形.二MB=MD,ME=MF;
（2）连接BE,DF.IDE丄AC于E,BF丄AC于F,,DEC=/BFA=90,DE//BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中，tAF=CE,AB=CD,•Rt△DEC也RtABFA,•DE=BF.
四边形BEDF是平行四边形.•••MB=MD,ME=MF.
23.（7分）已知：
如图，DC//AB，且DC=AE,E为AB的中点，
（1）求证：
△AED◎△EBC.
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC夕卜，请再写出两个与△AED的面积
相等的三角形.（直接写出结果，不要求证明）：
（1）DC//AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC，且/EAD=/BEC。
由AE=BE，所以△AED◎△EBC。
（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
24.（7分）如图，△ABC中，/BAC=90度，AB=AC,BD是/ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
B
求证：
BD=2CE.
证明：
延长BA、CE,两线相交于点FtBE丄CEBEF=/BEC=90在厶BEF和△BEC中/FBE=/CBE,BE=BE,/BEF=/BEC•△BEF◎△BEC（ASA）•EF=EC•CF=2CE
tZABD+/ADB=90，/ACF+/CDE=90又t/ADB=/CDE•••/ABD=/ACF在厶ABD和△ACF中/ABD=/ACF,AB=AC,/BAD=/CAF=90ABD也△ACF（ASA）•BD=CF•BD=2CE
25、（10分）如图：
DF=CEAD=BCZD=ZC。
求证：
△AED^ABFG
E
F
26、（10分）如图：
AE、BC交于点MF点在AM上,BE//
CF,BE=CF
求证：
AM是△ABC的中线。
证明：
•••BE||CF••/E=/CFM，/EBM=/FCM•/BE=CF
•••△BEM◎△CFM
•••BM=CM•AM是厶ABC的中线.
27、（10分）如图：
在厶
ABC中，BA=BCD是AC的中点。
求证:
BD丄AG
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角
们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC
ADB和角CDA相等，它
28、（10分）AB=ACDB=DCF是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
证明：
在△ABD与厶ACD中AB=ACBD=DCAD=AD
•△ABD◎△ACDADB=/ADCBDF=/FDC在
△BDF与厶FDC中
BD=DC/BDF=/FDCDF=DFFBD◎△FCD•BF=FC
29、（12分）女口图：
AB=CDAE=DFCE=FB求证：
AF=DE因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
30•公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示，其中AB
C
//CD，在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M，且BE=CF,M在BC的中点,
试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上•
证：
•••AB平行CD（已知）•••/B=/C（两直线平行，内错角相等）
•/M在BC的中点（已知）•EM=FM（中点定义）在厶BME和厶CMF
中BE=CF（已知）/B=/C（已证）EM=FM（已证）：
■△BME全等与△CMF（SAS）
•••/EMB=/FMC（全等三角形的对应角相等）
•••/EMF=/EMB+/BMF=/FMC+/BMF=/BMC=18°（等式的性质）
•E，M，F在同一直线上
31.已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,BE//DF,
BE=DF.求证：
△ABECDF.
证明：
•/AF=CE•AF+EF=CE+EF•AE=CF•/BE//DFBEA=/DFC
又•••BE=DFABE6CDF（SAS）
32.
C
已知：
如图所示，AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE=AF。
连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：
角ABC=角ADC在结合已知条件证得：
△ADE◎△ABF
得AE=AF
33.如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，/1=/2,/3=74，求证：
/5=/6.
因为角仁角2/3=/4所以角ADC=角ABC.又因为AC是公共边，所以AAS==＞三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以/5=/6
34.已知AB//DE,BC//EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC^^DEF.
因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE,BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F
（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形
全等
35.已知：
如图，
AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分另U为
D、E,BD、CE相交于点F，求
证:
BE=CD.
证明：
因为
AB=AC,
所以/EBC=/DCB
因（
为BD丄AC,CE丄AB
所以/BEC=/CDB
BC=CB（公共边）
则有三角形EBC全等于三角形DCB
所以BE=CD
36、如图，在△ABC中，AD为/BAC的平分线，DE丄AB于E,DF丄AC于F。
求证：
DE=DF.
AAS证△ADEBAADF
37.已知：
如图，ACBC于C,DE长？
角。
=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC
BC=AE
△ABC◎△DAE
AC于E,ADAB于A,BC=AE.若AB=5，求AD的
D
AD=AB=5
38.如图：
AB=AC,ME丄AB,MF丄AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证：
MB=MC
证明•••AB=AC
•••△ABC是等腰三角形•••/B=/C
又•••ME=MF,△BEM和厶CEM是直角三角形
•△BEM全等于△CEM•MB=MC
39.如图，给出五个等量关系：
①ADBC②ACBD③CEDE④DC
⑤DABCBA•请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结
论（只需写出一种情况），并加以证明.
已知：
求证:
证明:
已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以△ADB全等于△BCA所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。
即：
在四边形ABCD中，/D=/C,ZA=/B,求证：
AD=BC因为/A+/B+/C+/D=360/D=/C,/A=/B,所以2（/A+/D）=360°,
/A+/D=180，所以AB//DC
40.在△ABC中，ACB90,ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D,
BEMN于E.⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①ADC=CEB；②DEADBE;
⑵当直线MN绕点C旋转到图
若不成立，说明理由.
（1）证明：
•••/ACB=90，•/ACD+/BCE=90•••/ADC=/CEB=90，/BCE+/CBE=90,中，｛/ADC=/CEB/ACD=/CBEAC=CB,
DC=BE,•DE=DC+CE=BE+AD;
（2）不成立，证明：
在△ADC和厶CEB中，｛/ADC=/CEB=90/ACD=/CBEAC=CB,
•△ADC◎△CEB（AAS）,•AD=CE,DC=BE,•DE=CE-CD=AD-BE;
41.如图所示，已知AE丄AB,AF丄AC,AE=ABAF=AC求证：
（1）EC=BF
（2）EC丄BF
（1）证明；因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角
CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角
BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F
（2）
⑵延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F（已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF
BE丄AC,CF丄AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
（1）AM=AN;
（2）AM丄AN。
42.如图:
证明：
（1）vBE丄AC,CF丄ABABM+/BAC=90,
/ACN+/BAC=90ABM=/ACN•/BM=AC,
CN=ABABM◎△NAC•AM=AN
（2）
•/△ABM◎△NACBAM=/Nv/N+/BAN=90BAM+/
BAN=90°即/MAN=90•AM丄AN
43.如图，已知/A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC//EF
连接BF、CE,证明△ABF全等于△DEC（SAS）,
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44.如图，已知AC//BD,EA、EB分别平分/CAB和/DBA,CD过点E,贝UAB与AC+BD相等吗？
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC/CAE=/EAN,AE为公共边，所以三角形CAE全等三角形EAN
所以/ANE=/ACE又AC平行BD
所以/ACE+/BDE=180而/ANE+/ENB=180
所以/ENB=/BDE/NBE=/EBNBE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分）如图，已知：
AD是BC上的中线，且DF=DE.求证:
BE//CF.
证明：
•••AD是中线•••BD=CD•/DF=DE,
/BDE=/CDFBDE◎△CDFBED=/CFD•BE||CF
46、（10分）已知：
如图，AB=CD,DE丄AC,BF丄AC,E,F是垂足，DEBF.
求证：
AB//CD.
证明：
•/DE丄AC,BF丄AC,DEC=/AFB=90,在RtADEC和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,•Rt△DEC也Rt△BFA，•/C=ZA,•AB//CD.
47、（10分）如图，已知/
仁/2,/3=/4,求证：
AB=CD
（10分）如图，已知
AC丄AB,DB丄AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段
CE与DE
的大小与位置关系，并证明你的结论•
结论：
CE>DE。
当/AEB越小，贝UDE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，/AEB为锐角，即
E
/AEB<90•/DF//AEFDB=/AEB<90△DFB
中/DFB=/DBF=（180-/FDB）/2>45°RT△AFB中，/FBA=90-/DBF<45
/AFB=90-/FBA>45/•AB>AF•/AB=CEAF=DE/•CE>DE
49、（10分）如图，已知AB=DC,AC=DB,
先证明△ABC◎△BDC的出角ABC=角DCB在证明△ABE◎△DCE
BE=CE,求证：
AE=DE.
得出AE=DE
图9
50.如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F，求证：
/ADC=ZBDE.
证明：
作CG平分/ACB交AD于G•••/ACB=90••上ACG=/DCG=45•••/ACB=90
AC=BC•••/B=/BAC=45°「./B=/DCG=/ACG•/CF丄A
D.••/ACF+/DCF=90°
•••/ACF+/CAF=90CAF=/DCF•/AC=CB
/ACG=/BACG◎△CBE•CG=BEv/DCG=/B
CD=BDCDG也厶BDEADC=/BDE
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