等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx

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等腰三角形常用辅助线专题练习含答案

等腰三角形常用辅助线专题练习

（含答案）

1.如图：

已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：

BD=CE。

证明：

作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。

∵AB=AC，AD=AE

又∵AF⊥BC，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。

∴BD=CE.

2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F，D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由

解：

AF⊥DE．理由：

延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD∴∠B=∠C，∠E=∠ADE∴∠B+∠E=∠C+∠ADE∵∠ADE=∠CDG∴∠B+∠E=∠C+∠CDG∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC∴AF⊥DE．

解法2：

过A点作△ABC底边上的高，

再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE,即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE利用AF∥BC证明AF⊥DE

3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点，DF⊥AC交BC于E,求证：

△DBE是等腰三角形。

证明：

在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．

4.如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。

求证：

DF⊥BC.

证明：

∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED，

∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，

∴∠EFC=∠BFE=180°×1/2=90°，∴DF⊥BC;

若把“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。

若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。

5.如图，AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,A求证：

CM=MD.

证明：

连接AC,AD

∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED∴△ABC≌△AED（SAS）

∴AC=AD

∵AM⊥CD∴∠AMC=∠AMD=90°∵AM=AM（公共边）∴RT△ACM≌RT△ADM（HL）

∴CM=DM

6.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF,求证：

BF=AC

证明：

过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点

∵AD为中线，∴BD=CD∵BG平行于AC，∴∠FGB=∠CAF，∠DBG=∠ACD

在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE∴△AFE∽△GFB

∴∠FGB=∠FAE

∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE

∴∠BFG=∠G∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG在△ADC和△GBD中∵∠DBG=∠ACD，BD=CD，∠BDG=∠CDA∴△ADC≌△GBD∴BG=AC

∴BF=AC

7.已知：

如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC,求证：

AE平分∠BAC

证明：

延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M∴∠M=∠1,∠C=∠2在△DEM与△CEA中∠M=∠1,∠C=∠2,DE=CE∴△DEM≌△CEA∴DM=CA又∵DF=CA,∴DM=DF,∴∠M=∠3∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1∴AE平分∠BAC

8.已知：

如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。

求证：

BD=CE

证明：

过D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC（已知），∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质）∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等边对等角），∴∠B=∠DFB（等量代换），∴BD=DF（等角对等边），∵BD=CE（已知），∴DF=CE（等量代换），

∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），

∴△DFG≌△ECG（AAS），

∴DG=GE（对应边相等）

9.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点，BE⊥CB交CD于E,AC⊥DC,求证：

BE=1/2BC

证明：

过点A作AF⊥BC交BC于点F

∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠ABF=∠ACF…

（1）∴AF是BC上的垂直平分线，AF⊥BC，BF=CF=BC/2……

（2）∵BE⊥BC，∴BE//AF∴∠DBE=∠BAF………………………………（3）∵∠CBE=90°∴∠DBE+∠ABF=90°=∠ACF+∠ECB…………（4）由

（1）和（4）知道：

∠DBE=∠ECB………………（5）由（3）和（5）知道：

∠BAF=∠ECB又∵AB=CE，∠BFA=∠EBC=90°∴RT△BFA≌RT△EBC（角角边）∴BF=EB…………………………（6）由

（2）和（6）知道：

BE=BC/2

10.如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥DA交BA延长线于E,求证：

BE=CF=1/2（AB+AC）

证明：

（1）延长EM，使EM=MG，连接CG

∵点M是BC的中点,∴BM=CM∵∠BME=∠CMG∴△BME≌△CMG（SAS）

∴BE=CG,∠E=∠G

∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD∵ME∥DA,∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE∴∠E=∠AFE，∴AE=AF∵∠AFE=∠CFG，∴∠G=∠CFG∴CF=CG，∴BE=CG，∴BE=CF

（2）∵BE=AB+AE，∴2BE=2AB+2AE

∵CF=BE，AC=CF+AF，AE=AF

∴2BE=2CF=AB+（AB+AE）+AE=AB+BE+AE=AB+（CF+AE）∵AC=AF+CF∴2BE=AB+AC∴BE=CF=1/2（AB+AC）

11.如图，已知△ABC中，AD⊥BC,∠ABC=2∠C.试说明AB+BD=CD的理由。

证明：

在DC上截取DE=BD，连接AE∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°∵AD=AD∴RT△ADB≌RT△ADE（SAS）∴AB=AE，∠ABC=∠AEB

∵∠AEB=∠C+∠EAC∵∠ABC=2∠C（已知）∴∠EAC=∠C

∴AE=CE，∴AB=CE∵CD=CE+DE，∴AB+BD=CD

12.已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，且AC=AB+BD.求证：

∠B=2∠C.

证明：

在AC上作AE＝AB，连结DE∵AC=AB+BD＝AE+CE,∴BD＝CE∵AD是角平分线,∴∠BAD＝∠EAD又∵AB=AE，AD=AD∴△ABD≌△EAD∴∠B＝∠AED，BD＝DE＝CE

∴∠EDC=∠C，∠AED＝2∠C

即:

∠B＝2∠C

13.如图所示，已知在△ABC中AD是∠A的平分线，且∠B=2∠C.求证：

AC=AB+BD.

证明：

延长AB到E，使AC=AE，连接DE

∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC（角平分线的定义）∵公共边AD=ADAC=AE∠BAD=∠DAC∴△ACD≌△AED（SAS）∴∠ACB=∠DEA（全等三角形形的对角相等）

∵∠BDE+∠DEB=∠CBA∠CBA=2∠ACB∠ACB=∠DEA∴∠BDE=∠DEA∴BD=BE（等角对等边）

∵AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE

∴AB+BD=AC

14.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠BDE。

求∠BDE的度数解：

连接CE，∵AC=BC，AE=BE，CE为公共边，∴△BCE≌△ACE，∴∠BCE=∠ACE=30°又∵BD=AC=BC，∠DBE=∠CBE，BE为公共边，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°

15.如图，已知在△ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE.求证：

BD+DC=AD.A

提示：

证明△ABE≌△BCD即可EBC

16.已知：

如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E，求证：

CT=BE

证明1：

作DF∥BC交AB于F,则:

∵∠AFD=∠B=∠ACD,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边∴△AFD≌△ACD,AF=AC连接TF∵AF=AC,AT为∠BAC的角平分线,AT为公共边∴△ACT≌△AFT,TF⊥AF,TF∥CM∵DF∥CT∥BE,TF∥CD,DE∥BF∴四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形∴CT=DF=BE

证明2：

作TF⊥AB于F,则:

∵∠CDT=∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠DAC=∠CTD∴∠CDT=∠CTD,∴CT=CD∵AT为∠BAC的角平分线，TF⊥AB，AC⊥TC∴CT=TF=CD∵DE∥BF,TF∥CD,∴∠DEC=∠B,∠DCE=∠FTB又∵TF=CD∴△CDE≌△TFB,∴CE=BT∴CE-TE=BT-TE,CT=BE