等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx
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等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习
(含答案)
1.如图:
已知,点D、E在三角形ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:
BD=CE。
证明:
作AF⊥BC,垂足为F,则AF⊥DE。
∵AB=AC,AD=AE
又∵AF⊥BC,AF⊥DE,∴BF=CF,DF=EF(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)。
∴BD=CE.
2.如图,在三角形ABC中,AB=AC,AF平行BC于F,D是AC边上任意一点,延长BA到E,使AE=AD,连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系,并说明理由
解:
AF⊥DE.理由:
延长ED交BC于G,∵AB=AC,AE=AD∴∠B=∠C,∠E=∠ADE∴∠B+∠E=∠C+∠ADE∵∠ADE=∠CDG∴∠B+∠E=∠C+∠CDG∵∠B+∠E=∠DGC,∠C+∠CDG=∠BGE,∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC.∵AF∥BC∴AF⊥DE.
解法2:
过A点作△ABC底边上的高,
再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE,即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE利用AF∥BC证明AF⊥DE
3.如图,△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC交BC于E,求证:
△DBE是等腰三角形。
证明:
在△ABC中,∵BA=BC,∴∠A=∠C,∵DF⊥AC,∴∠C+∠FEC=90°,∠A+∠D=90°,∴∠FEC=∠D∵∠FEC=∠BED,∴∠BED=∠D,∴BD=BE,即△DBE是等腰三角形.
4.如图,△ABC中,AB=AC,E在AC上,且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。
求证:
DF⊥BC.
证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵AD=AE,∴∠D=∠AED,
∴∠B+∠D=∠C+∠AED,∴∠B+∠D=∠C+∠CEF,
∴∠EFC=∠BFE=180°×1/2=90°,∴DF⊥BC;
若把“AD=AE”与结论“DF⊥BC”互换,结论也成立。
若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换,结论依然成立。
5.如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AM⊥CD,A求证:
CM=MD.
证明:
连接AC,AD
∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD
∵AM⊥CD∴∠AMC=∠AMD=90°∵AM=AM(公共边)∴RT△ACM≌RT△ADM(HL)
∴CM=DM
6.如图,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于F,且AE=EF,求证:
BF=AC
证明:
过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点
∵AD为中线,∴BD=CD∵BG平行于AC,∴∠FGB=∠CAF,∠DBG=∠ACD
在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF,∠GFB=∠AFE∴△AFE∽△GFB
∴∠FGB=∠FAE
∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE
∴∠BFG=∠G∴△GFB为等腰三角形,且BF=BG在△ADC和△GBD中∵∠DBG=∠ACD,BD=CD,∠BDG=∠CDA∴△ADC≌△GBD∴BG=AC
∴BF=AC
7.已知:
如图,△ABC(AB≠AC)中,D、E在BC上,且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC,求证:
AE平分∠BAC
证明:
延长AE,过D作DM‖AC交AE延长线于M∴∠M=∠1,∠C=∠2在△DEM与△CEA中∠M=∠1,∠C=∠2,DE=CE∴△DEM≌△CEA∴DM=CA又∵DF=CA,∴DM=DF,∴∠M=∠3∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1∴AE平分∠BAC
8.已知:
如图,△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。
求证:
BD=CE
证明:
过D作DF∥AC交BC于F,∵DF∥AC(已知),∴∠DFC=∠FCE,∠DFB=∠ACB(平行线的性质)∵AB=AC(已知),∴∠B=∠ACB(等边对等角),∴∠B=∠DFB(等量代换),∴BD=DF(等角对等边),∵BD=CE(已知),∴DF=CE(等量代换),
∵∠DFC=∠FCE,∠DGF=∠CGE(已证),
∴△DFG≌△ECG(AAS),
∴DG=GE(对应边相等)
9.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=CE,B是AD上一点,BE⊥CB交CD于E,AC⊥DC,求证:
BE=1/2BC
证明:
过点A作AF⊥BC交BC于点F
∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠ABF=∠ACF…
(1)∴AF是BC上的垂直平分线,AF⊥BC,BF=CF=BC/2……
(2)∵BE⊥BC,∴BE//AF∴∠DBE=∠BAF………………………………(3)∵∠CBE=90°∴∠DBE+∠ABF=90°=∠ACF+∠ECB…………(4)由
(1)和(4)知道:
∠DBE=∠ECB………………(5)由(3)和(5)知道:
∠BAF=∠ECB又∵AB=CE,∠BFA=∠EBC=90°∴RT△BFA≌RT△EBC(角角边)∴BF=EB…………………………(6)由
(2)和(6)知道:
BE=BC/2
10.如图,AD为△ABC的角平分线,M为BC的中点,ME∥DA交BA延长线于E,求证:
BE=CF=1/2(AB+AC)
证明:
(1)延长EM,使EM=MG,连接CG
∵点M是BC的中点,∴BM=CM∵∠BME=∠CMG∴△BME≌△CMG(SAS)
∴BE=CG,∠E=∠G
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD∵ME∥DA,∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠AFE∴∠E=∠AFE,∴AE=AF∵∠AFE=∠CFG,∴∠G=∠CFG∴CF=CG,∴BE=CG,∴BE=CF
(2)∵BE=AB+AE,∴2BE=2AB+2AE
∵CF=BE,AC=CF+AF,AE=AF
∴2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE)∵AC=AF+CF∴2BE=AB+AC∴BE=CF=1/2(AB+AC)
11.如图,已知△ABC中,AD⊥BC,∠ABC=2∠C.试说明AB+BD=CD的理由。
证明:
在DC上截取DE=BD,连接AE∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°∵AD=AD∴RT△ADB≌RT△ADE(SAS)∴AB=AE,∠ABC=∠AEB
∵∠AEB=∠C+∠EAC∵∠ABC=2∠C(已知)∴∠EAC=∠C
∴AE=CE,∴AB=CE∵CD=CE+DE,∴AB+BD=CD
12.已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,且AC=AB+BD.求证:
∠B=2∠C.
证明:
在AC上作AE=AB,连结DE∵AC=AB+BD=AE+CE,∴BD=CE∵AD是角平分线,∴∠BAD=∠EAD又∵AB=AE,AD=AD∴△ABD≌△EAD∴∠B=∠AED,BD=DE=CE
∴∠EDC=∠C,∠AED=2∠C
即:
∠B=2∠C
13.如图所示,已知在△ABC中AD是∠A的平分线,且∠B=2∠C.求证:
AC=AB+BD.
证明:
延长AB到E,使AC=AE,连接DE
∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC(角平分线的定义)∵公共边AD=ADAC=AE∠BAD=∠DAC∴△ACD≌△AED(SAS)∴∠ACB=∠DEA(全等三角形形的对角相等)
∵∠BDE+∠DEB=∠CBA∠CBA=2∠ACB∠ACB=∠DEA∴∠BDE=∠DEA∴BD=BE(等角对等边)
∵AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE
∴AB+BD=AC
14.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠BDE。
求∠BDE的度数解:
连接CE,∵AC=BC,AE=BE,CE为公共边,∴△BCE≌△ACE,∴∠BCE=∠ACE=30°又∵BD=AC=BC,∠DBE=∠CBE,BE为公共边,∴△BDE≌△BCE,∴∠BDE=∠BCE=30°
15.如图,已知在△ABC中,AB=BC=CA,E是AD上一点,并且EB=BD=DE.求证:
BD+DC=AD.A
提示:
证明△ABE≌△BCD即可EBC
16.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E,求证:
CT=BE
证明1:
作DF∥BC交AB于F,则:
∵∠AFD=∠B=∠ACD,AT为∠BAC的角平分线,AD为公共边∴△AFD≌△ACD,AF=AC连接TF∵AF=AC,AT为∠BAC的角平分线,AT为公共边∴△ACT≌△AFT,TF⊥AF,TF∥CM∵DF∥CT∥BE,TF∥CD,DE∥BF∴四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形∴CT=DF=BE
证明2:
作TF⊥AB于F,则:
∵∠CDT=∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠DAC=∠CTD∴∠CDT=∠CTD,∴CT=CD∵AT为∠BAC的角平分线,TF⊥AB,AC⊥TC∴CT=TF=CD∵DE∥BF,TF∥CD,∴∠DEC=∠B,∠DCE=∠FTB又∵TF=CD∴△CDE≌△TFB,∴CE=BT∴CE-TE=BT-TE,CT=BE