最新考研数学二试题详细解析4汇总.docx
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最新考研数学二试题详细解析4汇总
2004考研数学二试题详细解析-4
2004年数学四试题分析、详解和评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
（1）若«SkipRecordIf...»，则a=«SkipRecordIf...»，b=«SkipRecordIf...».
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为«SkipRecordIf...»，且«SkipRecordIf...»，所以
«SkipRecordIf...»，得a=1.极限化为
«SkipRecordIf...»，得b=-4.
因此，a=1，b=-4.
【评注】一般地，已知«SkipRecordIf...»＝A，
（1）若g（x）→0，则f（x）→0；
（2）若f（x）→0，且A≠0，则g（x）→0.
完全类似的例题见《数学复习指南》P36例1.60，P43第1（3）题，P44第2（10）题、
第6题，《数学题型集粹与练习题集》P19例1.34，《数学四临考演习》P79第7题，
《考研数学大串讲》P12例17、19.
（2）设«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...».
【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.
【详解】因为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
所以，«SkipRecordIf...».
【评注】本题属基本题型，主要考查复合函数求导.
类似例题在一般教科书上均可找到.
（3）设«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...».
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：
x-1=t，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x-1=t，«SkipRecordIf...»
＝«SkipRecordIf...».
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.
完全类似的例题见《数学复习指南》P96例4.17，《数学四临考演习》P61第2题，
P68第15题，《考研数学大串讲》P41例14.
（4）设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为三阶可逆矩阵, 则
«SkipRecordIf...» «SkipRecordIf...» ．
【分析】将«SkipRecordIf...»的幂次转化为«SkipRecordIf...»的幂次,并注意到«SkipRecordIf...»为对角矩阵即得答案.
【详解】因为
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
故
«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查．
完全类似的例题可见《数学复习指南》P.291例2.13.
（5）设«SkipRecordIf...»是实正交矩阵，且«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，则线性方程组«SkipRecordIf...»的解是 «SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»．
【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.
【详解】因为«SkipRecordIf...»,而且«SkipRecordIf...»是实正交矩阵,于是«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»的每一个行（列）向量均为单位向量,所以
«SkipRecordIf...».
【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算．
类似的例题可见《考研数学大串讲》（2002版,世界图书出版公司）P.174例33.
（6）设随机变量«SkipRecordIf...»服从参数为«SkipRecordIf...»的指数分布,则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»的分布函数为
«SkipRecordIf...»
故
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）函数«SkipRecordIf...»在下列哪个区间内有界.
（A）（-1,0）.（B）（0,1）.（C）（1,2）.（D）（2,3）.[A]
【分析】如f（x）在（a,b）内连续，且极限«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»存在，则函数f（x）
在（a,b）内有界.
【详解】当x≠0,1,2时，f（x）连续，而«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
所以，函数f（x）在（-1,0）内有界，故选（A）.
【评注】一般地，如函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f（x）在闭区间[a,b]上有界；
如函数f（x）在开区间（a,b）内连续，且极限«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»存在，则函数f（x）
在开区间（a,b）内有界.
完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P4例1.10，《数学四临考演习》P51
第15题.
（8）设f（x）在（-∞,+∞）内有定义，且«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，则
（A）x=0必是g（x）的第一类间断点.（B）x=0必是g（x）的第二类间断点.
（C）x=0必是g（x）的连续点.
（D）g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关.[D]
【分析】考查极限«SkipRecordIf...»是否存在，如存在，是否等于g（0）即可，通过换元«SkipRecordIf...»，
可将极限«SkipRecordIf...»转化为«SkipRecordIf...».
【详解】因为«SkipRecordIf...»=a（令«SkipRecordIf...»），又g（0）=0，所以，
当a=0时，«SkipRecordIf...»，即g（x）在点x=0处连续，当a≠0时，
«SkipRecordIf...»，即x=0是g（x）的第一类间断点，因此，g（x）在点x=0处的连续性
与a的取值有关，故选（D）.
【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.
完全类似的例题见《数学复习指南》P41例1.70，《数学题型集粹与练习题集》P20例1.35.
（9）设f（x）=|x（1-x）|，则
（A）x=0是f（x）的极值点，但（0,0）不是曲线y=f（x）的拐点.
（B）x=0不是f（x）的极值点，但（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
（C）x=0是f（x）的极值点，且（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
（D）x=0不是f（x）的极值点，（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点.[C]
【分析】由于f（x）在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查f（x）在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
【详解】设0<δ<1，当x∈（-δ,0）⋃（0,δ）时，f（x）>0，而f（0）=0，所以x=0是f（x）
的极小值点.
显然，x=0是f（x）的不可导点.当x∈（-δ,0）时，f（x）=-x（1-x），«SkipRecordIf...»，
当x∈（0,δ）时，f（x）=x（1-x），«SkipRecordIf...»，所以（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
故选（C）.
【评注】对于极值情况，也可考查f（x）在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.
完全类似的例题见《数学复习指南》P141例6.9，《考研数学大串讲》P96例5.
（10）设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，则
（A）F（x）在x=0点不连续.
（B）F（x）在（-∞,+∞）内连续，但在x=0点不可导.
（C）F（x）在（-∞,+∞）内可导，且满足«SkipRecordIf...».
（D）F（x）在（-∞,+∞）内可导，但不一定满足«SkipRecordIf...».[B]
【分析】先求分段函数f（x）的变限积分«SkipRecordIf...»，再讨论函数F（x）的连续性与
可导性即可.
【详解】当x<0时，«SkipRecordIf...»；
当x>0时，«SkipRecordIf...»，当x=0时，F（0）=0.即F（x）=|x|，
显然，F（x）在（-∞,+∞）内连续，但在x=0点不可导.故选（B）.
【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分.对于绝对值函数：
«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处
不可导；f（x）=«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处有n阶导数，则«SkipRecordIf...».
完全类似的例题见《数学复习指南》P95例4.15，《考研数学大串讲》P42例15.
（11）设«SkipRecordIf...»在[a,b]上连续，且«SkipRecordIf...»，则下列结论中错误的是
（A）至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»>f（a）.
（B）至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»>f（b）.
（C）至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...».
（D）至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»=0.[D]
【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.
【详解】首先，由已知«SkipRecordIf...»在[a,b]上连续，且«SkipRecordIf...»，则由介值定理，
至少存在一点«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»；
另外，«SkipRecordIf...»，由极限的保号性，至少存在一点«SkipRecordIf...»
使得«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...».同理，至少存在一点«SkipRecordIf...»
使得«SkipRecordIf...».所以，（A）（B）（C）都正确，故选（D）.
【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.
完全类似的例题见《数学复习指南》P130例5.8，《数学题型集粹与练习题集》P70例5.4.
（12）设«SkipRecordIf...»阶矩阵«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»等价,则必须
（A）当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».（B）当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».
（C）当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».（D）当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...».[D]
【分析】利用矩阵«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»等价的充要条件:
«SkipRecordIf...»立即可得.
【详解】因为当«SkipRecordIf...»时,«SkipRecordIf...»,又«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»等价,故«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,从而选（D）.
【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型.
相关知识要点见《数学复习指南》P.284-286.
（13）设随机变量«SkipRecordIf...»服从正态分布«SkipRecordIf...»,对给定的«SkipRecordIf...»,数«SkipRecordIf...»满足«SkipRecordIf...»,若«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»等于
（A）«SkipRecordIf...».（B）«SkipRecordIf...».（C）«SkipRecordIf...».（D）«SkipRecordIf...».[B]
【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.
【详解】由«SkipRecordIf...»,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得
«SkipRecordIf...».
故正确答案为（B）.
【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考查.
见《数学复习指南》P.489分位数概念的注释.
（14）设随机变量«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»独立同分布，且方差«SkipRecordIf...»．令随机变量
«SkipRecordIf...»，则
（A）«SkipRecordIf...»．（B）«SkipRecordIf...»．
（C）«SkipRecordIf...»． （D）«SkipRecordIf...»．[C]
【分析】利用协方差的性质立即得正确答案..
【详解】由于随机变量«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»独立同分布,于是可得
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
故正确答案为（C）.
【评注】本题是对协方差性质的考查,属于基本题.
相关知识点见《数学复习指南》P.454,类似的例题可见《2004文登模拟试题》数三的第一套第23题.
三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8分）
求«SkipRecordIf...».
【分析】先通分化为“«SkipRecordIf...»”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.
【详解】«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...».
【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“«SkipRecordIf...»”型极限，应充分利用等价无穷小
替换来简化计算.
完全类似的例题见《数学复习指南》P28例1.45.
（16）（本题满分8分）
求«SkipRecordIf...»，其中D是由圆«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»所围成的
平面区域（如图）.
【分析】首先，将积分区域D分为大圆«SkipRecordIf...»减去小圆
«SkipRecordIf...»，再利用对称性与极坐标计算即可.
【详解】令«SkipRecordIf...»，
由对称性，«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»
所以，«SkipRecordIf...».
【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性
及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.
完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》P101例8.12
（1），《数学四临考演习》P16
第17题，《考研数学大串讲》P79例2.
（17）（本题满分8分）
设f（u,v）具有连续偏导数，且满足«SkipRecordIf...».
求«SkipRecordIf...»所满足的一阶微分方程，并求其通解.
【分析】先求«SkipRecordIf...»，利用已知关系«SkipRecordIf...»，可得到关于y的一阶微分方程.
【详解】«SkipRecordIf...»，
因此，所求的一阶微分方程为«SkipRecordIf...».
解得«SkipRecordIf...»（C为任意常数）.
【评注】本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是
基本题型.
完全类似的例题见《数学复习指南》P243例11.11，《数学题型集粹与练习题集》P95例7.13、
例7.14，《数学四临考演习》P3第16题，《考研数学大串讲》P76例14.
（18）（本题满分9分）
设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格P∈（0,20），Q为需求量.
（I）求需求量对价格的弹性«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»>0）；
（II）推导«SkipRecordIf...»（其中R为收益），并用弹性«SkipRecordIf...»说明价格在何范围内变化时，
降低价格反而使收益增加.
【分析】由于«SkipRecordIf...»>0，所以«SkipRecordIf...»；由Q=PQ及«SkipRecordIf...»可推导
«SkipRecordIf...».
【详解】（I）«SkipRecordIf...».
（II）由R=PQ，得
«SkipRecordIf...».
又由«SkipRecordIf...»，得P=10.
当101，于是«SkipRecordIf...»，
故当10【评注】当«SkipRecordIf...»>0时，需求量对价格的弹性公式为«SkipRecordIf...».
利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»（收益对价格的弹性）.
这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题（经济类）》有详细的总结.
完全类似的例题见《数学复习指南》P255例12.4，《数学应用专题（经济类）》P2.
（19）（本题满分9分）
设«SkipRecordIf...»，S表示夹在x轴与曲线y=F（x）之间的面积.对任何t>0，
«SkipRecordIf...»表示矩形-t≤x≤t，0≤y≤F（t）的面积.求
（I）S（t）=S-«SkipRecordIf...»的表达式；
（II）S（t）的最小值.
【分析】曲线y=F（x）关于y轴对称，x轴与曲线y=F（x）围成一无界区域，所以，
面积S可用广义积分表示.
【详解】（I）«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
因此«SkipRecordIf...»，t∈（0,+∞）.
（II）由于«SkipRecordIf...»，
故S（t）的唯一驻点为«SkipRecordIf...»，
又«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
所以，«SkipRecordIf...»为极小值，它也是最小值.
【评注】本题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属于基本题型.
完全类似的例题见《数学复习指南》P143例6.13，《数学题型集粹与练习题集》P80例6.11.
（20）（本题满分13分）
设线性方程组
«SkipRecordIf...»
已知«SkipRecordIf...»是该方程组的一个解，试求
（Ⅰ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
（Ⅱ）该方程组满足«SkipRecordIf...»的全部解．
【分析】含未知参数的线性方程组的求解,当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形,然后对参数进行讨论.由于本题已知了方程组的一个解,于是可先由它来（部分）确定未知参数.
【详解】 将«SkipRecordIf...»代入方程组，得«SkipRecordIf...»．对方程组的增广矩阵«SkipRecordIf...»施以初等行变换,得
«SkipRecordIf...»，
（Ⅰ） 当«SkipRecordIf...»时，有
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，故方程组有无穷多解，且«SkipRecordIf...»为其一个特解，
对应的齐次线性方程组的基础解系为«SkipRecordIf...»，故方程组的全部解为
«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»为任意常数）．
当«SkipRecordIf...»时，有
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，故方程组有无穷多解，且«SkipRecordIf.
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