最新考研数学二试题详细解析4汇总.docx

1、最新考研数学二试题详细解析4汇总2004考研数学二试题详细解析-42004年数学四试题分析、详解和评注一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若Skip Record If.，则a =Skip Record If.，b =Skip Record If.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为Skip Record If.，且Skip Record If.，所以Skip Record If.，得a = 1. 极限化为Skip Record If.，得b = -4.因此，a = 1，b = -4.【评注】一般地，已知Skip Record I

2、f. A ，(1) 若g(x) 0，则f (x) 0；(2) 若f (x) 0，且A 0，则g(x) 0.完全类似的例题见数学复习指南P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)题、第6题，数学题型集粹与练习题集P19例1.34，数学四临考演习P79第7题，考研数学大串讲P12例17、19.(2) 设Skip Record If.，则Skip Record If.【分析】本题为基础题型，先求导函数即可.【详解】因为Skip Record If.，Skip Record If.， 所以，Skip Record If.【评注】 本题属基本题型，主要考查复合函数求导.类似例题在一般教科书

3、上均可找到. (3) 设Skip Record If.，则Skip Record If.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t， Skip Record If. Skip Record If.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. 完全类似的例题见数学复习指南P96例4.17，数学四临考演习P61第2题，P68第15题，考研数学大串讲P41例14.（4） 设Skip Record If.，Skip Record If.，其中Skip Record If.为三阶可逆矩阵,则

4、Skip Record If.Skip Record If.【分析】 将Skip Record If.的幂次转化为Skip Record If.的幂次, 并注意到Skip Record If.为对角矩阵即得答案.【详解】因为Skip Record If., Skip Record If.故 Skip Record If., Skip Record If.Skip Record If.【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查 完全类似的例题可见数学复习指南P.291例2.13.(5) 设Skip Record If.是实正交矩阵，且Skip Record If.，Skip Record If.，则线

5、性方程组Skip Record If.的解是Skip Record If.Skip Record If.【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.【详解】因为 Skip Record If., 而且Skip Record If.是实正交矩阵, 于是 Skip Record If., Skip Record If.的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以 Skip Record If.【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算 类似的例题可见考研数学大串讲(2002版, 世界图书出版公司) P.174例33.(6) 设随机变量Skip Record If.服从参数为Skip Record If.

6、的指数分布, 则Skip Record If. Skip Record If.【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】 由于Skip Record If., Skip Record If.的分布函数为Skip Record If. 故Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(

7、7) 函数Skip Record If.在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限Skip Record If.与Skip Record If.存在，则函数f (x)在(a , b)内有界.【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A)

8、.【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间a , b上连续，则f (x)在闭区间a , b上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限Skip Record If.与Skip Record If.存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.完全类似的例题见数学题型集粹与练习题集P4例1.10，数学四临考演习P51第15题.(8) 设f (x)在(- , +)内有定义，且Skip Record If.， Skip Record If.，则(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.(C) x = 0必是g(x)的连续点.(

9、D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. D 【分析】考查极限Skip Record If.是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元Skip Record If.，可将极限Skip Record If.转化为Skip Record If.【详解】因为Skip Record If.= a(令Skip Record If.)，又g(0) = 0，所以， 当a = 0时，Skip Record If.，即g(x)在点x = 0处连续，当a 0时，Skip Record If.，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关，故选(D)

10、.【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.完全类似的例题见数学复习指南P41例1.70，数学题型集粹与练习题集P20例1.35.(9) 设f (x) = |x(1 - x)|，则(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. C 【分析】由于f (x)在x = 0

11、处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的极小值点. 显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x (- , 0)时，f (x) = -x(1 - x)，Skip Record If.， 当x (0 , )时，f (x) = x(1 - x)，Skip Record If.，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. 故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.完全类似的例题见数学复习

12、指南P141例6.9，考研数学大串讲P96例5.(10) 设Skip Record If.，Skip Record If.，则 (A) F(x)在x = 0点不连续. (B) F(x)在(- , +)内连续，但在x = 0点不可导. (C) F(x)在(- , +)内可导，且满足Skip Record If. (D) F(x)在(- , +)内可导，但不一定满足Skip Record If. B 【分析】先求分段函数f (x)的变限积分Skip Record If.，再讨论函数F(x)的连续性与可导性即可.【详解】当x 0时，Skip Record If.，当x = 0时，F(0) = 0.

13、即F(x) = |x|，显然，F(x)在(- , +)内连续，但在x = 0点不可导. 故选(B).【评注】本题主要考查求分段函数的变限积分. 对于绝对值函数：Skip Record If.在Skip Record If.处不可导；f (x) =Skip Record If.在Skip Record If.处有n阶导数，则Skip Record If.完全类似的例题见数学复习指南P95例4.15，考研数学大串讲P42例15.(11) 设Skip Record If.在a , b上连续，且Skip Record If.，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点Skip Record If.，使

14、得Skip Record If. f (a). (B) 至少存在一点Skip Record If.，使得Skip Record If. f (b). (C) 至少存在一点Skip Record If.，使得Skip Record If. (D) 至少存在一点Skip Record If.，使得Skip Record If.= 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知Skip Record If.在a , b上连续，且Skip Record If.，则由介值定理，至少存在一点Skip Record If.，使得Skip Rec

15、ord If.； 另外，Skip Record If.，由极限的保号性，至少存在一点Skip Record If. 使得Skip Record If.，即Skip Record If. 同理，至少存在一点Skip Record If. 使得Skip Record If. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.完全类似的例题见数学复习指南P130例5.8，数学题型集粹与练习题集P70例5.4.(12) 设Skip Record If.阶矩阵Skip Record If.与Skip Record If.等价, 则必须(A) 当

16、Skip Record If.时, Skip Record If. (B) 当Skip Record If.时, Skip Record If.(C) 当Skip Record If.时, Skip Record If. (D) 当Skip Record If.时, Skip Record If. D 【分析】 利用矩阵Skip Record If.与Skip Record If.等价的充要条件: Skip Record If.立即可得.【详解】因为当Skip Record If.时, Skip Record If., 又Skip Record If.与Skip Record If.等价, 故

17、Skip Record If., 即Skip Record If., 从而选 (D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. 相关知识要点见数学复习指南P.284-286.(13) 设随机变量Skip Record If.服从正态分布Skip Record If., 对给定的Skip Record If., 数Skip Record If.满足Skip Record If., 若Skip Record If., 则Skip Record If.等于(A) Skip Record If. (B) Skip Record If. . (C) Skip Record If. (D)

18、 Skip Record If. B 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由Skip Record If., 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得Skip Record If.故正确答案为(B).【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查. 见数学复习指南P.489分位数概念的注释.(14) 设随机变量Skip Record If.Skip Record If.独立同分布，且方差Skip Record If.令随机变量Skip Record If.， 则(A) Skip Record If. (B) Skip Record If.(C)

19、 Skip Record If. (D) Skip Record If. C 【分析】 利用协方差的性质立即得正确答案.【详解】 由于随机变量Skip Record If.Skip Record If.独立同分布, 于是可得 Skip Record If. Skip Record If. Skip Record If.故正确答案为(C).【评注】本题是对协方差性质的考查, 属于基本题. 相关知识点见数学复习指南P.454, 类似的例题可见2004文登模拟试题数三的第一套第23题.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分) 求Sk

20、ip Record If.【分析】先通分化为“Skip Record If.”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】Skip Record If. =Skip Record If. Skip Record If.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“Skip Record If.”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.完全类似的例题见数学复习指南P28例1.45.(16) (本题满分8分) 求Skip Record If.，其中D是由圆Skip Record If.和Skip Record If.所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D分为大圆Skip

21、 Record If.减去小圆 Skip Record If.，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令Skip Record If.， 由对称性，Skip Record If.Skip Record If. Skip Record If. Skip Record If. 所以，Skip Record If.【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.完全类似的例题见数学题型集粹与练习题集P101例8.12(1)，数学四临考演习P16第17题，考研数学大串讲P79例2.(17) (本题满分8分) 设f (u

22、 , v)具有连续偏导数，且满足Skip Record If.求Skip Record If.所满足的一阶微分方程，并求其通解.【分析】先求Skip Record If.，利用已知关系Skip Record If.，可得到关于y的一阶微分方程.【详解】Skip Record If.， 因此，所求的一阶微分方程为Skip Record If. 解得 Skip Record If.(C为任意常数).【评注】 本题综合了复合函数求偏导数与微分方程，但是，求偏导数与解微分方程都是 基本题型.完全类似的例题见数学复习指南P243例11.11，数学题型集粹与练习题集P95例7.13、例7.14，数学四临考

23、演习P3第16题，考研数学大串讲P76例14.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P (0 , 20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性Skip Record If.(Skip Record If. 0)； (II) 推导Skip Record If.(其中R为收益)，并用弹性Skip Record If.说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于Skip Record If. 0，所以Skip Record If.；由Q = PQ及Skip Record If.可推导Skip Record If.【详解】(I) Sk

24、ip Record If. (II) 由R = PQ，得 Skip Record If. 又由Skip Record If.，得P = 10. 当10 P 1，于是Skip Record If.， 故当10 P 0时，需求量对价格的弹性公式为Skip Record If. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.，Skip Record If.(收益对价格的弹性).这些公式在文登学校辅导材料系列之五数学应用专题(经济类)有详细的总结.完全类似的例题见数学复习指南P255例12.4，数学应

25、用专题(经济类)P2.(19) (本题满分9分) 设Skip Record If.，S表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积. 对任何t 0，Skip Record If.表示矩形-t x t，0 y F(t)的面积. 求 (I) S(t) = S -Skip Record If.的表达式； (II) S(t)的最小值.【分析】曲线y = F(x)关于y轴对称，x轴与曲线y = F(x)围成一无界区域，所以， 面积S可用广义积分表示.【详解】(I) Skip Record If.， Skip Record If.， 因此Skip Record If.，t (0 , +). (II) 由于

26、Skip Record If.， 故S(t)的唯一驻点为Skip Record If.， 又Skip Record If.，Skip Record If.， 所以，Skip Record If.为极小值，它也是最小值.【评注】本题综合了面积问题与极值问题，但这两问题本身并不难，属于基本题型.完全类似的例题见数学复习指南P143例6.13，数学题型集粹与练习题集P80例6.11.(20) (本题满分13分)设线性方程组Skip Record If.已知Skip Record If.是该方程组的一个解，试求() 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；() 该方程组满足Ski

27、p Record If.的全部解【分析】 含未知参数的线性方程组的求解, 当系数矩阵为非方阵时一般用初等行变换法化增广矩阵为阶梯形, 然后对参数进行讨论. 由于本题已知了方程组的一个解, 于是可先由它来(部分)确定未知参数.【详解】将Skip Record If.代入方程组，得Skip Record If.对方程组的增广矩阵Skip Record If.施以初等行变换, 得Skip Record If.，()当Skip Record If.时，有Skip Record If.，Skip Record If.，故方程组有无穷多解，且Skip Record If.为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 Skip Record If.，故方程组的全部解为Skip Record If. (Skip Record If.为任意常数)当Skip Record If.时，有 Skip Record If.，Skip Record If.，故方程组有无穷多解，且Skip Record If.