河北省石家庄市届高三下学期一模考试数学(文)(A卷)试题Word版含解析.docx
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石家庄市届高中毕业班模拟考试
（一）文科数学（A卷）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
A.
【答案】A
【解析】
B.，
C.
D.，则（）
故选
A.
2.复数
A.
B.（
C.）
D.
【答案】C
【解析】故选
C.
3.已知四个命题：
①如果向量与共线，则②是或；
.
的必要不充分条件；，是增函数，而的否定：
，；是增函数”
③命题：
④“指数函数
是指数函数，所以
此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（
A.0
B.1
C.2
D.3）
【答案】D
【解析】①错，如果向量与共线，则②是，如的必要不充分条件；正确，由；；可以得到，但由不能得到③命题：
正确④“指数函数，的否定：
，；
是增函数，而
是指数函数，所以
是增函数”
此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.，正确.故选
D.
4.若数列满足，，则的值为（）
A.2
B.-3
C.
D.
【答案】B
【解析】故数列故选
B.
5.函数
A.
B.
C.，其值域为，在区间
D.上随机取一个数，则的概率是（），，所以
是以4为周期的周期数列，故
【答案】B
【解析】函数则在区间故选B．
6.程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）的值域为上随机取一个数，即的概率，．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C
7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：
“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”
（即：
，），并举例“问沙田一段，有
三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？
”则该三角形田面积为（
A.84平方里
【答案】A
【解析】根据题意，故选
A.
8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（），代入计算可得）
B.108平方里
C.126平方里
D.254平方里
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体为一个半圆柱中间挖去了一个半球，半圆柱的高为4，底面半径为1，半球的半径为1，故其体积为故选
B.
9.设
A.
【答案】B
【解析】由题，为增函数，在选
B.
10.抛物线：
的面积为（
A.1
B.2）
C.
D.4的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，是定义在上为减函数，故上的偶函数，则故由函数是定义在
B.
C.上的偶函数，且在
D.上为增函数，则的解集为（）
【答案】B
【解析】
过作
垂足为，则
∴则又由∴故选
B.
11.在
A.
B.
∴的面积
的高等于，设，三角形
的面积2
为等腰直角三角形，所以，中，
C.，，则
D.
的最大值为（）
故当故选
D.
时，的最大值为.
12.已知，分别为双曲线支交于，两点，斜率为（
A.1
B.）
C.2
D.的内切圆半径为，的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右的内切圆半径为，若，则直线的
【答案】D
故选
D.
二、填空题：
本大题共4小题，每题5分，共20分.
13.设向量
【答案】
【解析】，，若，则__________．即答案为.
14.，满足约束条件：
【答案】3，则
的最大值为__________．
【解析】
画出可行域如图所示，由图可知当目标函数
经过点即答案为
3.
取到最大值。
最大值为
15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是__________．
【答案】乙
【解析】
（1）根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小”可得：
丙是体委；
（2）根据“丙的年龄比学委的大，体委比乙年龄小”可得：
乙＞丙＞学习委员，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长．答：
班长是乙．故答案为：
乙．
【点睛】此题关键是根据题干中体委与甲和乙的年龄关系，得出，体委是丙．然后才能根据丙与乙和学委的年龄关系得出，乙不是学委，从而得出乙是班长．
16.一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________．
【答案】
【解析】
如图，不妨设在处，，则有该直角三角形斜边故答案为.
由
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知是公差不为零的等差数列，满足的通项公式；满足，求数列的前项和.，且、、成等比数列.
（1）求数列
（2）设数列
【答案】
（1）；
（2）的公差为，由a3=7，且、、成等比数列．可的通项公式；
【解析】试题分析：
（1）设等差数列得，解之得即可得出数列
2）由
（1）得的前项和.
试题
解析：
（1）设数列，则，由裂项相消法可求数列
的公差为，且
由题意得，即，解得，所以数列
的通项公式.
（2）由
（1）得，.
18.四棱锥为正三角形.的底面为直角梯形，，，，
（1）点为棱
（2）若
上一点，若，求二面角
平面，，求实数的值；
的余弦值.
【答案】
（1）；
（2）
（2）利用等体积法试题
解析：
（
（1）因为平面ABCD，平面SDM所以因为因为.平面ABCD=DM，，平面SDM，可求点到平面
的距离.，所以四边形BCDM为平行四边形，又，，所以M为AB的中点.
（2）因为所以又因为所以平面平面在平面在因为又由题知所以由已知求得连接BD，则又求得所以由，平面平面，，，，，直线中，，平面平面内过点作和，所以，于点，则
平面，，，所以，的面积为，，点B到平面
的距离为.
19.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：
底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：
底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.
（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：
元）与送货单数的函数关系式；
（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：
日均派送单数5254565860频数（天）
20
30
20
20
10
回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：
元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.（参考数据：
，
【答案】
（1），，，）；
（2）见解析，，，，
【解析】试题分析：
（1）甲方案：
底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：
底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.求出甲、乙两种薪酬方案中日薪（单位：
元）与送货单数的函数关系式；①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，由此可求出这100天中甲方案的日薪平均数及方差：
同理可求出这100天中乙两种方案的日薪平均数及方差，②不同的角度可以有不同的答案试题
解析：
（
（1）甲方案中派送员日薪（单位：
元）与送货单数的函数关系式为：
，乙方案中派送员日薪（单位：
元）与送单数的函数关系式为：
，
（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则，，乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则，②、答案一：
由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日薪收入波
动相对较小，所以小明应选择甲方案.
答案二：
由以上的计算结果可以看出，明应选择乙方案.
20.已知椭圆：
的左、右焦点分别为，，且离心率为，为椭圆上，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小
任意一点，当
（1）求椭圆的方程；
时，的面积为
1.
（2）已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长直线设直线的斜率为，直线；
（2）的斜率为，求证：
，为定值.
分别与椭圆交于点，，
【答案】
（1）
【解析】试题分析：
（1）设
由题，由此求出,可得椭圆
的方程；
（2）设当直线当直线当直线，的斜率不存在时，可得的斜率不存在时，同理可得、的斜率存在时，，，；
.设直线
的方程为，则由
消去通过运算可得，同理可得，由此得到直线
的斜率为，直线
的斜率为，进而可得.
试题
解析：
（1）设
由题，解得，则，.，，，则，可得，，椭圆的方程为
（2）设当直线直线
的斜率不存在时，设的方程为，，则代入，直线
的斜率为，直线
的斜率为，，当直线当直线的斜率不存在时，同理可得、的斜率存在时，，.
设直线
的方程为，则由
消去可得：
，又，则，代入上述方程可得，，则，设直线
的方程为，同理可得，直线
的斜率为，直线
的斜率为，.
所以，直线
21.已知函数
（1）求，；
（2）若
与
的斜率之积为定值，，即，在.处的切线方程为.，证明：
，.；
（2）见解析的方程组，解出即可；，，利用导数研究其单调性可得，
【答案】
（1）
【解析】试题分析：
（1）求出函数的导数，得到关于
（2）由
（1）可知由，可得，令，从而证明.试题
解析：
（
（1）由题意又若，则，所以，与，所以，矛盾，故，，，.，，
（2）由
（1）可知由令，令当当所以故故.时，时，在，，，可得，单调递减，且单调递增；且；，上单调递增，且，，上当单调递减，在
【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标，若直线与
原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为曲线相切；
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在曲线上取两点，与原点构成
【答案】
（1）；
（2），且满足，求面积
的最大值.
【解析】试题分析：
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程为，，消去参数可知曲线是圆心为曲线C的方程为可得曲线C的极坐标方程.，半径为的圆，由直线与曲线相切，可得：
，再次利用极坐标与直角坐标的互化公式可得；则
（2）由
（1）不妨设M（，），，（），，由此可求面积的最大值.，；可知曲
试题
解析：
（1）由题意可知直线的直角坐标方程为曲线是圆心为线C的方程为所以曲线C的极坐标方程为即.），，（，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：
，，
（2）由
（1）不妨设M（，），，当时，，.的定义域为；
所以△MON面积的最大值为
23.已知函数
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最大值，若实数，，满足
【答案】
（1）；
（2），求
的最小值.
【解析】试题分析：
（1）由题意可知
恒成立，令，分类讨论得到
其解析式，通过作图发现其最大值，即可得到实数的取值范围；
（2）由
（1）可知，所以，可求其最小值.试题
解析：
（1）由题意可知去绝对值可得：
画图可知
恒成立，令，；，，的最小值为-3，所以实数的取值范围为，所以
（2）由
（1）可知，当且仅当所以，即的最小值为
等号成立，
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