武汉市七一中学八年级数学专题图形的平移与旋转含答案.docx

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武汉市七一中学八年级数学专题图形的平移与旋转含答案

武汉市七一中学八年级数学专题——图形的平移与旋转（含答案）

前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：

几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科．

几何变换是指把一个几何图形Fl变换成另一个几何图形F2的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换．

如图1，若把平面图形Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形F2后，则由的变换叫平移变换．

平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等．

如图2，若把平面图Fl绕一定点旋转一个角度得到图形F2，则由Fl到F2的变换叫旋转变换，其中定点叫旋转中心，定角叫旋转角．

旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中心的距离相等．

通过平移或旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决．

注合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换．等积变换，只是图形在保持面积不变情况下的形变'而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变．

例题求解

【例1】如图，P为正方形ABCD内一点，PA：

PB：

PC＝1：

2：

3，则∠APD=．

思路点拨通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形．

【例2】如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M，N，使∠MCN=45°，记AM＝m，MN=x，DN=n，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．随x、m、n的变化而改变

思路点拨把△ACN绕C点顺时针旋转45°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠MCN相等的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．

注下列情形，常实施旋转变换：

（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；

（2）图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；

（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．

【例3】如图，六边形ADCDEF中，AN∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED—AB＝AF—CD>0，求证：

该六边形的各角相等．

（全俄数学奥林匹克竞赛题）

思路点拨设法将复杂的条件BC—FF=ED—AB=AF—CD>0用一个基本图形表示，题设中有平行条件，可考虑实施平移变换．

注平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将角，线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决．

【例4】如图，在等腰△ABC的两腰AB、AC上分别取点E和F，使AE=CF．已知BC=2，求证：

EF≥1．（西安市竞赛题）

思路点拨本例实际上就是证明2EF≥BC，不便直接证明，通过平移把BC与EF集中到同一个三角形中．

注三角形中的不等关系，涉及到以下基本知识：

（1）两点间线段最短，垂线段最短；

（2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（3）同一个三角形中大边对大角（大角对大边），三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

【例5】如图，等边△ABC的边长为

，点P是△ABC内的一点，且PA2+PB2＝PC2，若PC=5，求PA、PB的长．（“希望杯”邀请赛试题）

思路点拨题设条件满足勾股关系PA2+PB2＝PC2的三边PA、PB、PC不构成三角形，不能直接应用，通过旋转变换使其集中到一个三角形中，这是解本例的关键．

学历训练

1．如图，P是正方形ABCD内一点，现将△ABP绕点B顾时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=．

2．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB=8，PC＝10，则∠APB．

3．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=a，AB=b，则CD的长为．

4．如图，把△ABC沿AB边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB=

，则此三角形移动的距离AA'是（）

A．

B．

C．lD．

（2002年荆州市中考题）

5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点C、F，给出以下四个结论：

①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=

S△ABC；④EF=AP．

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（2003年江苏省苏州市中考题）

6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于E，S四边形ABCDd=8，则BE的长为（）

A．2B．3C．

D．

（2004年武汉市选拔赛试题）

7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为

和

，对角线BD、FH都在直线

上，O1、O2分别为正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心O2在直线

上平移时，正方形EFGH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有变化．

（1）计算：

O1D=，O2F=；

（2）当中心O2在直线

上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2=；

（3）随着中心O2在直线

上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?

并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．（徐州市中考题）

8．图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：

在图a中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2（即阴影部分）；

在图b中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）；

（1）在图c中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影；

（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：

S1=，,S2=，S3=；

（3）联想与探索：

如图d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？

并说明你的猜想是正确的．

（2002年河北省中考题）

9．如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：

AN＝BM．

说明及要求：

本题是《几何》第二册几15中第13题，现要求：

（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图在图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）在①所得的图形中，结论“AN＝BM”是否还成立?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）在①得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论．

10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC=4cm，以斜边BC上距离B点3cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是cm2．

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE、BC的延长线交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是．

（绍兴市中考题）

12．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内一点，则PA+PB+PC与AB+AC的大小关系是（）

A．PA+PB+PC>AB+ACB．PA+PB+PC

C．PA+PB+PC＝AB+ACD．无法确定

13．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为（）

A．

B．

C．5D．6

（2004年武汉市选拔赛试题）

14．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE，连DE，求证：

DE>DC．

15．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满

，求△ABC的面积．

16．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，

∥

表示小河甲，

∥

表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：

甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离（与小河平行方向）120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米?

（“五羊杯”竞赛题）

17．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离都等于1，将△ABC绕点O顺时针旋转45°，得△A1BlC1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ．

（1）证明：

△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形；

（2）求△ABC与△A1BlC1公共部分的面积．（山东省竞赛题）

18．

（1）操作与证明：

如图1，O是边长为a的正方形ACBD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，求证：

正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值．

（2）尝试与思考：

如图2，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正三角形或正五边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．

（3）探究与引申：

一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值?

若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由．

（江苏省连云港市中考题）