届一轮复习人教A版文第九章 第二节古典概型 学案.docx
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届一轮复习人教A版文第九章第二节古典概型学案
第二节古_典_概_型
1．基本事件的特点
（1）任何两个基本事件是互斥的．
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
（1）
（2）概率计算公式：
P（A）＝.
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．（ ）
（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．（ ）
（3）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）√
2．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
解析：
两数之和等于5有两种情况（1,4）和（2,3），总的基本事件有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种，故所求概率P＝＝.
答案：
3．从一副混合后的扑克牌（除去大、小王52张）中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P（A∪B）＝________（结果用最简分数表示）．
解析：
∵P（A）＝，P（B）＝，
∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝＝.
答案：
4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解析：
设4只球分别为白、红、黄1、黄2，从中一次随机摸出2只球，所有基本事件为（白，红），（白，黄1），（白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2），共6个，颜色不同的有5个，所以2只球颜色不同的概率为.
答案：
5．（教材习题改编）一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．
解析：
先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.
答案：
[考什么·怎么考]
对古典概型的直接考查是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，有时也出现在解答题中，难度适中，属中档题.
1．（2017·天津高考）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选C 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：
（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有4种不同取法：
（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），故所求概率P＝＝.
2．（2017·全国卷Ⅱ）从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选D 法一：
记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组（a，b），其中满足a＞b的数组共有10个，分别为（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），因此所求的概率P＝＝.
法二：
画出树状图如图：
可知所有的基本事件共有25个，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P＝＝.
3．（2017·山东高考）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
解：
（1）由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．
则所求事件的概率为P＝＝.
（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：
{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，
则所求事件的概率为P＝.
[怎样快解·准解]
1．求古典概型概率的步骤
（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（2）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（3）利用公式P（A）＝，求出事件A的概率．
2．基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求
[注意] 在利用列举法列举基本事件的个数时，一定要注意，试验的抽取方式是“有放回抽取”还是“无放回抽取”，否则极易发生解题错误．（如第1题为无放回抽取，而第2题为有放回抽取）
古典概型在高考中常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．
常见的命题角度有：
（1）古典概型与平面向量相结合；
（2）古典概型与直线、圆相结合；
（3）古典概型与统计相结合．
[题点全练]
角度
（一） 古典概型与平面向量相结合
1．设平面向量a＝（m,1），b＝（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥（a－b）”为事件A，则事件A发生的概率为（ ）
A. B.
C.D.
解析：
选A 有序数对（m，n）的所有可能结果为：
（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．由a⊥（a－b），得m2－2m＋1－n＝0，即n＝（m－1）2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为（2,1）和（3,4），共2个，所以所求的概率P（A）＝＝.
角度
（二） 古典概型与直线、圆相结合
2．（2018·湘中名校联考）从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1，1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 从集合A，B中随机选取后组合成的数对有（－2，－1），（－2,1），（－2,3），（－1，－1），（－1,1），（－1,3），（2，－1），（2,1），（2,3），共9种，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a>0，b>0，共有2种满足，所以所求概率P＝，故选A.
3．（2018·洛阳统考）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2有公共点的概率为________．
解析：
依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组（a，b）有（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6），共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆（x－2）2＋y2＝2有公共点，即满足≤，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.
答案：
角度（三） 古典概型与统计相结合
4．（2017·南昌一模）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系．发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和费率浮动比率表
浮动因素
浮动比率
A1
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
A2
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
A3
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
A4
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
A5
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
A6
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
A1
A2
A3
A4
A5
A6
数量
10
5
5
20
15
5
（1）求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元．且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：
①若该销售商店内有6辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆车，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；
②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．
解：
（1）一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为＝.
（2）①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌（车龄已满三年）的二手车有2辆事故车，设为b1，b2,4辆非事故车设为a1，a2，a3，a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有（b1，b2），（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4），共15种．
其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有（b1，a1），（b1，a2），（b1，a3），（b1，a4），（b2，a1），（b2，a2），（b2，a3），（b2，a4），共8种．
所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆为事故车的概率为.
②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌（车龄已满三年）的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，
所以一辆车盈利的平均值为[（－5000）×40＋10000×80]＝5000（元）．
[题“根”探求]
求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：
[冲关演练]
1．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆＋＝1的离心率e>的概率是________．
解析：
同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b时，e＝>⇒<⇒a>2b，符合a>2b的情况有：
当b＝1时，有a＝3,4,5,6,4种情况；
当b＝2时，有a＝5,6,2种情况，故共有6种情况，则概率是＝.
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