江西省南昌市届高三第一次模拟考试文科数学试题.docx

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江西省南昌市届高三第一次模拟考试文科数学试题

江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试文科数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2．欧拉公式为,（虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（）

A．B．

C．D．

4．已知，，那么是成立的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

6．已知函数的部分图象如图所示，则的值可以为（）

A．1B．2C．3D．4

7．执行如图所示的程序框图，则输出的等于（）

A．1B．2C．3D．4

8．设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

9．已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（）

A．B．C．D．8

10．函数的图象大致为（）

A．B．

C．D．

11．已知为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为（）

A．4B．C．2D．

12．已知台风中心位于城市东偏北（为锐角）度的150公里处，以公里/小时沿正西方向快速移动，小时后到达距城市西偏北（为锐角）度的200公里处，若，则（）

A．B．80C．100D．125

二、填空题

13．设函数在内可导，其导函数为，且，则____________.

14．已知平面向量，，若，则实数____________.

15．在圆上任取一点，则该点到直线的距离的概率为________________．

16．已知函数，若，，且，则________.

三、解答题

17．已知等比数列的前项和为，满足，.

（1）求的通项公式；

（2）记，求的最大值.

18．某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整，绘制成如下茎叶图，规定不低于85分（百分制）为优秀，甲班同学成绩的中位数为74.

（1）求的值和乙班同学成绩的众数；

（2）完成表格，若有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话，那么学校将扩大教学改革面，请问学校是否要扩大改革面？

说明理由.

19．如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，与相交于点，，，，三棱锥的体积为9.

（1）求的值；

（2）过点的平面平行于平面，与棱，，，分别相交于点，求截面的周长.

20．已知椭圆的下顶点为，右顶点为，离心率，抛物线的焦点为，是抛物线上一点，抛物线在点处的切线为，且.

（1）求直线的方程；

（2）若与椭圆相交于，两点，且，求的方程.

21．已知函数f（x）=ex-alnx-e（a∈R），其中e为自然对数的底数．

（1）若f（x）在x=1处取到极小值，求a的值及函数f（x）的单调区间；

（2）若当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．

23．已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．B

【解析】

由题意可得：

，，

则：

.

本题选择B选项.

2．A

【分析】

计算，得到答案.

【详解】

根据题意，故，表示的复数在第一象限.

故选：

.

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

3．C

【解析】

由于函数为偶函数，故，而，结合函数在上递增，有，故选.

4．B

【解析】

即，当时，无法推出.当时，即到原点的距离大于到原点的距离，故.综上所述，应为必要不充分条件，故选.

5．C

【解析】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，如图所示的虚线处为满足题意的临界值，

当直线经过点时，取得最小值：

，

当直线经过点时，取得最小值：

，

据此可得则实数的取值范围为.

本题选择C选项.

6．B

【解析】

由图可知，故，选.

7．B

【解析】

，，，，，，退出循环，输出.故选.

8．C

【详解】

解：

函数，

若x＞1，可得f（x）＝x+1＞2，

由f

（1）是f（x）的最小值，

由于f（x）＝2|x﹣a|

可得在x＞a递增，在x＜a递减，

若a＜1，x≤1，则f（x）在x＝a处取得最小值，不符题意；

若a≥1，x≤1，则f（x）在x＝1处取得最小值，

且2a﹣1≤2，解得1≤a≤2，

综上可得a的范围是[1，2]．

故选C．

9．B

【解析】

由题意可得，侧视图的上部分是一个三角形，

其底为，高为2，面积，

下部分是一个梯形，上底为2，下底为4，高为2，

其面积，

.

本题选择B选项.

10．A

【解析】

由函数的解析式可得：

，则函数的图像关于坐标原点对称，

据此可排除B选项，

考查函数，则，

当时，单调递增，则，据此有：

，

据此可排除C选项；

当时，，则，据此可排除D选项；

本题选择A选项.

点睛：

函数图象的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

11．D

【详解】

画出图象如下图所示，根据双曲线的定义有，根据等腰直角三角形有，解得,，在三角形中,由余弦定理得，解得，故离心率为.选.

【点睛】

本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查等腰直角三角形的几何性质，考查解三角形余弦定理的应用.由于两点在双曲线上，故首先想到双曲线的定义，利用定义列出方程，结合等腰直角三角形的性质可以解出各条边长，利用余弦定理可求的焦距的长度，并由此求得离心率.

12．C

【详解】

画出图象如下图所示，由余弦定理得

①，

由正弦定理得，.

由，解得，

故，，

故，

代入①解得.

故选：

C.

【点睛】

本题主要考查解三角形的实际应用，考查余弦定理解三角形，考查两角和的余弦公式，考查同角三角函数关系.首先要根据题目画出图象，要对方向角熟悉，上北下南左西右东，属于中档题.

13．

【解析】

由于，所以，.

14．

【解析】

，依题意有，解得.

15．

【分析】

圆心到直线的距离为：

，则直线与圆相切，设直线与直线的距离为1，则：

或，如图所示，设直线与圆交于两点，由题意可得：

，则，则为满足题意的点，由几何概型公式可得满足题意的概率值：

，故答案为.

16．

【解析】

由于函数为奇函数，其在区间上为增函数，而，结合可知.所以.

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查角变换之后的取值范围，考查特殊角的三角函数值.首先观察函数，由于其构成为一个三次方的函数和一个正弦函数，故它为奇函数，并且在区间上为增函数，而，要两个函数值相等，则它们必相等.

17．（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】

【试题分析】

（1）利用基本元的思想将已知条件转化为，求出即可得到数列的通项公式.

（2）由

（1）求得数列前项和，代入化简得的表达式，由此可得是递减的等差数列，列举出前项为非负数，第五项起为负数，故前或前项的和最大.

【试题解析】

（Ⅰ）设的公比为，由得，,

所以，所以.

又因为所以，所以.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，

，所以是首项为，公差为的等差数列，

所以当时，

所以当或时，的最大值为.

18．（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.

【解析】

【试题分析】

（1）利用中位数为可求得.有茎叶图可知乙班的众数为.

（2）填写好表格后计算得，故有以上的把握认为有关.

【试题解析】

（Ⅰ）由甲班同学成绩的中位数为，

所以，得

由茎叶图知，乙班同学成绩的众数为

（Ⅱ）

依题意知（表格2分，计算4分）

有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”，学校可以扩大教学改革面.

19．（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】

【试题分析】

（1）利用体积公式列方程可求得.

（2）利用面面平行的性质定理可有，利用相似三角形可求得各边长，过点作∥交于，则.所以截面的周长为.

【试题解析】

（Ⅰ）四棱锥中，底面，

为直角梯形，，，

所以，解得.

（Ⅱ）【法一】因为平面，平面平面，，

平面平面，

根据面面平行的性质定理，所以，

同理,因为,

所以∽，且，

又因为∽，,所以，

同理,，

如图：

作,所以，

故四边形为矩形，即，（求长2分，其余三边各1分）

在中，所以

所以截面的周长为.

【法二】因为平面，平面平面，

，平面平面，

所以，同理

因为∥

所以∽，且，

所以，

同理，连接，则有∥，

所以，，所以，同理，，

过点作∥交于，则，

所以截面的周长为.

20．（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】

【试题分析】

（1）利用题目所给离心率的值求出直线的斜率，即直线的斜率。

利用导数求得切点坐标并求出切线方程.

（2）联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用三角形的面积列方程求得的值，进而求得椭圆的方程.

【试题解析】

（Ⅰ）因为，所以，所以

又因为∥，所以的斜率为

设，过点与相切的直线，由得，解得

所以，所以直线的方程为

（Ⅱ）设，由

得，，

且，即，

所以，

【法一】中，令得，交轴于,

又抛物线焦点，所以

所以，解得，

所以椭圆的方程

【法二】

，抛物线焦点，则

所以，解得，

所以椭圆的方程

【点睛】本小题主要考查椭圆方程、直线和抛物线、直线和椭圆的位置关系.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

21．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】

【试题分析】

（1）令可求得的值.利用二阶导数求得函数点的单调区间.

（2）对求导，并对分成，三类讨论函数的最小值，由此求得的取值范围.

【试题解析】

（Ⅰ）由，得

因为，所以，所以

令，则，

当时，，故在单调递增，且

所以当，.

即当时，，当时，.

所以函数在上递减，在上递增.

（Ⅱ）【法一】由，得

（1）当时，，在上递增

（合题意）

（2）当时，，当时，

①当时，因为，所以，.

在上递增，（合题意）

②当时，存在时，满足

在上递减，上递增，故.

不满足时，恒成立

综上所述，的取值范围是.

【法二】由，发现

由在恒成立，知其成立的必要条件是

而，，即

①当时，恒成立，此时在上单调递增，

（合题意）.

②当时，在时，有，知，

而在时，，知，

所以在上单调递增，即（合题意）

综上所述，的取