电路第十章拉普拉斯变换.docx
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电路第十章拉普拉斯变换
第十三章拉普拉斯变换
13.1基本概念
13.1.1拉普拉斯变换的定义
一个定义在0,区间的函数ft,它的拉普拉斯变换式FS定义为
Fsftestdt
0
式中sj为复数，FS称为ft的象函数，ft称为FS的原函数。
式中积分下限取
t0，把上述定义式作如下变形：
0
Fsftestdtftestdtftestdt
000
可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及t0时ft可能包含的冲激。
13.1.2拉普拉斯变换的基本性质
设Lf1tF1sLf2tF2s，则有下表中性质。
表13-1拉普拉斯变换的基本性质
序号
性质名称
时域
复频域
1
线性
a1f1ta2f2t
日1冃Sa2F2s
2
尺度变换
fat,a0
aa
3
时移性
ftt0tto,to0
Lst。
Fse
4
频移性
fte七
Fs
5
时域微分
dftdt
sFsf0
6
时域积分
fd
Fsf10
ss
7
复频域微分
tft
dFs
ds
8
初值定理
f0
limsFs
s
9
终值定理
f
limsFs
s0
10
时域卷积
f1tf2t
F1s?
F2s
11
复频域卷积
f1t?
f2t
1
F1sF2s
2j
13.1.3拉普拉斯反变换
对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即
icj
——Fseds，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。
电
2jcj
路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理分式
mm1
am
a°sa〔s
nnr
b0sb|S
式中m和n为正整数，且n
若nm时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原函数。
0具有n个单实根时
Ki
sPi
式中:
Ki
PiFs|sPi
l1
n
KiePit
i1
2.
0具有重根时
0除了m个重根外，其它均为单根,
共有
n个根。
式中:
Kiq
dqi
qi!
dsq
3.
Kii
m
Pi
Pi
Kii
mi!
0具有共轭根时
Ki2
mi
sPi
s1sPi
K12tm1
m2!
Kim
Kime
Pit
Ki
inmsPi
n
KiePit
inm
0有复数根，一定是一对共轭根。
设有n个单根，其中两个为一对共轭根，pi
P2
Ki
Fs
sPi
K2
Ki
sP2
i3spi
Ki,K2为一对共轭复数，设Ki
Ki|eji,K2
Ki|eji,
则ft2|K1|e'cost1Kiepit
i3
13.1.4线性动态电路的拉氏变换分析法一一运算法（即复频域分析法）
1.元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。
表13-2元件的伏安关系及运算电路
时域形式
频域形式1
频域形式2
u（t）
i（t）」
4
u（t）u（t）Ri（t）
u（t）
u（t）Ldt
i（t）C
►
u（t）
1t
-0i（t）dtu（0）C
L1L2u2
u1
..r
U1（t）「严
dt
U2（t）L2di2（t）
dt
Mdi2⑴
dt
Mdi1（t）dt
U（s）Rl（s）
l（s）
o
o
>
U（s）
sLLi（0）
l（s）.
U（s）
U（s）sLI（s）Li（0）
1Uc（O）
Tses
U（s）
1
U（s）l（s）sC
Uc（O）
Uds）sLl1（s）sMl2（s）
L1i1（0）Mi2（0）
U2（s）SL2I2G）sMh（s）
L2i2（0）Mh（0）
S（s）
1
sL
l（s）
U（s）
1
i（0
s
.l（s）„sC
r1^.I
Cuc（0）
一
）
U（s）
l（s）sCU（s）Cu（0）
l1（S）l2（s）
\sM?
―
L1h（0）0
Mi2（0）
J
sL2
L1h（0）
①Mid0）
—（s）
在分析时，注意以下几点：
（1）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向；
（2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；
（3）由互感引起的附加电源除了与初始值有关外，还和同名端有关。
2.基尔霍夫定律的运算形式如表13-3所示见附表13-3。
表13-3基尔霍夫定律的运算形式
名称
时域形式
运算形式
KCL
i（t）0
I（s）0
KVL
u（t）0
U（s）0
3•用运算法分析动态电路的步骤
复频域的基尔霍夫定律和各种元件伏安关系都是线性代数方程，与直流电路中的相应方程一一对应。
因此，在线性直流电路中建立的各种分析方法、定理可推广用于复频域电路模型。
具体步骤如下：
（1）根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值iL0和电容电压初始值uC0
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算
形式的电路方程，求出响应的象函数Is或Us等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应it或ut等。
13.2重点、难点分析
13.2.1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以t为变量的时间函数ft与以复频率s为变量的复变函数FS联
系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。
所以，本章重点为：
1.拉普拉斯变换求解线性动态电路的概念；
2.拉普拉斯变换的定义及其基本性质；
3.拉普拉斯反变换的部分分式展开法；
4.元件伏安关系及电路定律的复频域形式；
5.运用拉普拉斯变换分析计算线性电路的过渡过程。
13.2.2本章难点
前面我们学习了用经典法求线性电路的动态过程的方法，学习了用相量法求正弦激励下线性电路的稳态过程的方法，而拉普拉斯变换却能求得电路的全响应、全过程，因此，它是全面分析线性电路
的一种有力工具。
拉普拉斯变换法在解决一些电路分析的具体问题时比较简便，如避开了在t作用
下的电感电流和电容电压的跃变问题，但其物理意义没有经典法明显。
在学习本章内容的同时，注意与前面所学内容相比较，注意它们之间的联系。
应用拉普拉斯变换分析线性电路的瞬态，须经过三个过程：
（1）从时域到复频域的变换，即对电
路的输入取拉普拉斯变换，给出相应的复频域电路；
（2）在复频域对电路列方程和应用电路定理，求
出相应的象函数；（3）从复频域到时域的变换，求出响应的时域表达式。
用拉氏变换法求解线性电路的响应时，要注意以下几点：
1.初始状态的确定。
对于复杂的电路，往往不能正确地计算出动态元件的初始值。
2.正确地画出复频域等效电路模型。
注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3.正确地计算出响应的象函数。
在求解象函数时，由于复频率S是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13.3典型例题
13.3.1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知ft如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
f（t）
图131
解题指导：
首先正确地写出函数的时域表达式，然后利用拉普拉斯变换的时移性质来求。
解由题图得函数的时域表达式为
其象函数为
Fs2&esd2s
sss
例13-2求图13-2（a）所示三角脉冲电流的象函数。
i（t）J
Im
'A
/\
f1\—
12t/s
i（t）j
I
1m
0
1
1
2
t
1m
图132（b）
图132（a）
解题指导：
本题可利用拉普拉斯变换的时域微分性质，先写出三角脉冲电流的微分信号及其象函数，再进行求解。
解对电流it求导，波形如题图13-2（b）所示。
则
i'tImtt1Imt1
Im
es2
例13-3已知周期函数ft
sint0t
0t2，周期为2，试求其拉氏变换式。
解题指导：
这是一个周期函数的象函数的求解问题。
可利用拉普拉斯变换的时移特性。
解求周期函数的拉氏变换,
可以应用时移特性。
f1t,f2t,…分别表示第一周、第二周
的波形，则
f2ttT
t2Tt2T
根据时移特性，若：
F1sL
则：
Fs
Lf1tF1s1
sT
2sTe
根据上式，首先求第一个周期波形的拉氏变换式。
1
sT
1e
由拉氏变换定义可得:
F1s
F1
sLf1t
sintestdt
0
estssintcost
s21
es1
s21
本题中周期为2
，于是得到
^F1
e
1
1ess21
t.
sin
解题指导：
任意函数与
et的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
例13-4求f
的拉氏变换式。
t
ttAe
LAsint
cosssin
ALsintcoscostsinA22
s
解应用频移特性，先求
Im
t
2Im
t1
Imt
2
于是得到
Li't
Im
1
2es
2se
Im1
s2e
s
s
，即得
sI
i
0
根据拉普拉斯的微分性质Lit
所以:
LAetsint
cosssin
13.3.2拉普拉斯反变换
例13-5
已知下列象函数Fs。
求原函数ft。
（1）
（3）
23es
（1）解题指导：
仅含有两个单实根的情况。
2t
e
2e3t
（3）
解题指导：
包含了两个重根的情况。
解题指导：
象函数乘以
例13-6已知象函数FS
2et
est0，相当于时域中发生了时移
t11
ft2ett3e
t0。
虏220s22如。
求其原函数ft。
s24s22s5
解题指导：
当包含有共轭复根时，往往用配方法做比较简单。
解象函数可变换为
5s
s24
10
_22
s122
其原函数为
5cos2t
5e七sin2tt
例13-7求FS
s2s1
的拉氏反变换。
解题指导：
当所给出的有理分式不是真分式时，应先用长除法进行处理，变成真分式，然后再进行求解。
解所给函数Fs不是真分式，用长除法，得
于是可得
2
3e
13.3.3应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例13-8用拉普拉斯变换法求图13-3（a）电路中开关S闭合后的电容电压UCt（要求画出运算电路
模型）。
II
5h
1V
（t0）丄
Uc
2V
r
■'5SJ62
L‘T4
15汁」
s6^0s
图133（a）图133（b）
解题指导：
这是一个直流激励下的二阶电路的全响应的求解问题。
对于结点较少的电路宜用结点法进行求解。
解由换路前电路求得Il0
运算电路模型如图13-3（b）所示。
0.25A,uC01V
求得
Ucs
进行拉氏反变换得
Uct
61
1s
1
_
——
Uc
s
5s2
45
4
1/s5/24
1/s
1/s
2/s
5s/6
2
5/s
4
4s25s
24
115/4
15/4
4ss25s
6
ss
2
s3
13.75
e2t
e3tV
t
0
列写结点电压方程
例13-9用拉氏变换法求图13-4（a）所示电路中电容电压uCt。
已知IL02A,uC01V。
0t0
ust2V0t1
0t1
T0.5F
Uc
图134（b）
UssLUst
2e
1H
4z-y-Y-v--.
L
II
Us（t）
2
图134（a）
解题指导：
由于Us为方形脉冲，用拉氏变换法求解，应先写出电源电压Us的象函数然后求解。
也
可分为两段进行求解（后者读者可以自己考虑）。
解电源电压得象函数为
运算电路模型如图13-4（b）所示。
则结点电压方程为
1
s
1
42
1UC
Uss2
1/s
2/s
s
s4
求得
4
4so
—
es8
Uc
ss
s
s2s3
2
11
2
4
3
4
3
32
3e
s
s2
s3
ss2s
e
3
进行拉氏反变换，得
2,2t
113t」
Uct
4e
et
3
3
22t1
43t1
2e
e
t1V
3
3
例13-10电路如图13-5（a）所示。
开关S原来接在“1”端，电路已达稳态。
当t0时将开关S
由“1”合向“2”，用拉氏变换法求换路后的电阻电压u2t（要求画出运算电路模型）
1S2
1fo2
2vj）4tV
1H
~~1HH
1.5
U2
s4J'（s）
1I
—i®s
s|b（s）1.riu2（s）
20计
图135（b）
本题中采用的电路分析的方法是回路电流法。
图135（a）
解题指导：
这是指数函数激励下的二阶电路的全响应的求解问题。
首先正确地计算出换路前的初始状态，然后画出换路后的运算模型，
解由换路前电路求得i10
2A,i20
0（电流参考方向见运算电路模型）
运算电路模型如图13-5（b）所示。
则按所选回路,
回路电流方程为
解得
sIbs
sIa
2s1.5
1
2
s4
Ibs2
Ibs—s
3s0.5
1.14
s4
u2t
1.71e4t
3e3t
1.29e0.5ttV
0.857s0.5
电压U?
s1.5sIbs。
进行拉氏反变换得:
例13-11电路如图13-6（a）所示。
开关S闭合前电路已达稳态。
在t0时闭合开关S。
用拉氏变
换法求换路后的it。
20.125F
2A
p—1-II
Uc
：
1H
yS
L0.5m
2
U1
r
1
k（t）
Uc（s）
S
呷l（s）
图136（b）
图136（a）
解题指导：
本题为求二阶电路的零输入响应。
注意受控电流源的状态。
解由换路前电路求得i01Auc00
13-6（b）所示。
由此模型可得
开关闭合后，控制量U1为零，受控电流源开路。
运算电路模型如图
ss2
s4s8s2
进行反变换，得
例13-12
e2tcos2te
2tsin2t2e2tcos2t
13-7所示电路中二端口网络N
45°A
的复频
短路导纳矩阵为
05s0505s
05s05s1
求零状态响应
u2。
i1
2
CZF
i2
斗•丄
+
U1
U2
0.5F
图137
解题指导：
本题为求冲激激励下的零状态响应。
用拉普拉斯变换法求冲激作用下的响应时，不需考虑电容电压和电感电流的跃变问题，简化了计算，而且不容易出错。
在包含了二端口网络的电路的求解中，注意利用二端口的特性方程辅助求解。
解复频域节点方程
Ui（s）
05U1（s）
二端口方程
Ii（s）
I2（s）
05U2（s）Ii（s）0.25
（05s05）U2（s）I2（s）0
（05s05）U1（s）05sU2（s）
05sUi（s）（05s1）U2（s）
解得
5（s）
s1
2
2s214s16
0.0530553
s1.44s556
匕⑴（0.053e1.44t0.553e喻“,（t0）
例13-13
图13-8（a）所示电路在t
0时处于稳态，求t0时的U,s）、U2（s）和U1（t）。
-（ZZF
05
+
33V
1
0.1F斗二U1
—
十2u
0.2F'
丄
+
U22
0
1+
图138（a）
1
CD
J+33
33—
2U2（s）
0.2s
05
图138（b）
解题指导：
本题为求解二阶电路的全响应。
在包含了受控源的电路中，注意采用在直流电路中所学过的处理方法：
将受控源作为独立电源来处理，并寻找控制量与变量之间的关系。
解u1（0）u2（0）33V
复频域模型如题图13-8（b）:
节点方程
（0.1s3）U1（s）2U2（s）
33
2U1（s）（0.2s2.5）U2（s）
332U2（s）
6.62U2（s）
解得
「“、33s3301122
u1（s）
s（s30）ss30
2
「/、33s1320s3300
U2（s）
s（s30）（s25）
5（t）（1122e30t）V,t0
例13-14如图13-9所示电路中，uS2sin（2t）（t）V，求零状态响应iR。
图139（a）
B
解题指导：
本题为求正弦激励下的零状态响应。
对于电桥中的AB两点看进去的戴维南等效电路，以便简化计算。
解运算电路如图13-9（b）所示
求从A、B两点看进去的戴维南等效电路：
1
开路电压Uab（s）-Us（s）
6
AB支路电流的求解，应首先求出从
等效阻抗Zj（s）4S
于是可得到AB支路电流
Ir（s）
1
6（S1）（s24）
s2）
s2__42（s24））
11
iRetcos（2t）sin（2t）（t）A
302
0.1F
5
例13-15如图13-10（a）所示电路原处于稳态，R1,L1.25H,C1C2
Us10V,t0时开关接通。
试求UC2tt0。
解题指导：
本题是求解三阶电路的全响应。
首先注意初始值的求解，另外两个电容串联时所分得
的电压应与电容值成反比，还有所求的
UC2s应包含附加电压源的电压。
解由t0时的电路得
复频域电路模型如图
代入已知条件解得
进行反变换得到
iL0
13-10（b）所示,
UC2
UC2t
例13-16电路如图
sL
s2
10AUC10
R
对其列结点电压方程
sC1
10s
sC2Uc2
LiL0
sL
10
Uc20
5V
sL
sC1
1.667
sC1
Us
UC10
Uc20
sC2^^-
6.667
s0.2ss8
101.667et6.667e
4tV
13-11（a）所示。
已知R15
，R2
10，
L1L11，M
0.5
ust2tV,i100.2A,i200.1A。
求t0时的响应u1t和u2t。
ii
Ui
L2
iri2
0.5u2
u
S
R2[
U2
Ri
Liii（0）Mi2（0）FSMTL2i2（0）Mii（0）
e―
Il（S）H
Us（S）
sLi
Ui（s）
Ul2（S）
Ii（s）
0.5U2（s）
l2（S）|
Ri
U2（s）
图i3ii（b）
图i3ii（a）
解题指导：
本题为求含有互感电路的全响应。
当含有互感的电路为非零初始状态时，注意正确地画出其运算电路，注意附加电源的大小和方向。
当求某一互感线圈电压时，其象函数应包括相应的附加电源电压。
对含有互感得电路最好用回路电流法或支路电流法。
解运算电路如图i3-ii（b）所示，其中Uss
电路方程为
sLi
Rilis
sM
Ril2s
UssLiii0
Mi20
0.5U2s
sM
Ri11
ssL2R2Ril2s
L2i2
0
Mii0
0.5U2s
U2sR2I2s2
代入已知数整理得
2
s5lis
0.5sI2
s
s
0.25
0.5s5li
ss
i0
l2s
0.2
解得
0.15s2
4.5s
20
0.75ss
i0
s
20
3
lis
2
0.075s
1.25s
10
0.75ss
i0s
3
20
l2s
所以
Uis
Liii0
Mi20
sLiIis
sMI2s
0.8
i0
0.2
s20
进行拉氏反变换得
例13-16
2
1.6
0.6
U2s
R2I2s
—
s
10
s20
s
3
10t
U1t
0.8e
t
3
20t
0.2e
V
10+
u2t
_I
21.6e3
0.6e
20tV
如图13-12（a）所示，is
2sin100tA,R1R220,C1000F,t
合上开关S,用运算法求UCto
R1
R2
CtUc
IsS
6
R1
1
sC
R2
LC0
s
uc
图1312（a）
解题指导：
本题为正弦激励下的二阶电路的全响应的
升级会员 