电路第十章拉普拉斯变换.docx

1、电路第十章拉普拉斯变换第十三章拉普拉斯变换13. 1 基本概念13 . 1. 1拉普拉斯变换的定义一个定义在 0, 区间的函数f t ,它的拉普拉斯变换式 F S定义为F s f t e stdt0式中s j 为复数，F S称为ft的象函数，ft称为F S的原函数。式中积分下限取t 0 ，把上述定义式作如下变形：0F s f t e stdt f t e stdt f t e stdt0 0 0可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及 t 0时ft可能包含的冲激。13 . 1. 2拉普拉斯变换的基本性质设L f1 t F1 s L f2 t F2 s，则有下表中性质。表13-1拉普拉斯变换的基本

2、性质序号性质名称时域复频域1线性a1 f1 t a2 f2 t日1冃 S a2F2 s2尺度变换f at ,a 0a a3时移性f t t0 t to ,to 0L st。F se4频移性f t e七F s5时域微分df t dtsF s f 06时域积分f dF s f 1 0s s7复频域微分tf tdF sds8初值定理f 0lim sF ss9终值定理flim sF ss 010时域卷积f1 t f2 tF1 s ?F2 s11复频域卷积f1 t ? f2 t1 F1 s F2 s2 j13 . 1. 3拉普拉斯反变换对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换

3、基本公式求出，即i c j F se ds，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。电2 j c j路响应的象函数通常可表示为两个实系数的 s的多项式之比，即 s的一个有理分式m m 1amas asn nrb0s b|S式中m和n为正整数，且n若n m时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式 之和，然后分别查表即可求得原函数。0具有n个单实根时Kis Pi式中:KiPi F s |s Pil1nKiePiti 12.0具有重根时0除了 m个重根外，其它均为单根,共有n个根。式中:Kiqdqiq i ! dsq3.KiimPiPiKiim i!0具

4、有共轭根时Ki2m is Pis 1 s PiK12 t m 1m 2!KimKim ePitKii n m s PinKiePiti n m0有复数根，一定是一对共轭根。设有n个单根，其中两个为一对共轭根， piP2KiF ss PiK2Kis P2i 3 s piKi,K2为一对共轭复数，设 KiKi|eji , K2Ki|e j i,则 ft 2|K1 |ecos t 1 Kiepiti 313. 1. 4线性动态电路的拉氏变换分析法一一运算法（即复频域分析法）1.元件的伏安关系及运算电路如表 13-2所示附表13-2。表13-2元件的伏安关系及运算电路时域形式频域形式1频域形式2u(t

5、)i(t) 4u(t) u(t) Ri(t)u(t)u(t) Ldti(t)C u(t)1 t-0 i(t)dt u(0 ) CL1 L2 u2u1.rU1(t)严dtU2(t) L2di2(t)dtM di2dtM di1(t) dtU(s) Rl(s)l(s)o o U(s)sL Li(0 )l(s).U(s)U(s) sLI (s) Li(0 )1 Uc(O )Tse sU(s)1U (s) l(s) sCUc(O )Uds) sLl1(s) sMl 2(s)L1i1 (0 ) Mi2(0 )U2(s) SL2I2G) sMh(s)L2i2(0 ) Mh(0 )S(s)1sLl(s)U(

6、s)1i(0s.l(s) sCr 1. I Cuc(0 )一 )U(s)l(s) sCU (s) Cu(0 )l1(S) l2(s)sM?L1h(0 )0Mi2(0 )?JsL2L1h(0 ) Mid0 )(s)在分析时，注意以下几点：（1 ）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向；（2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；（3 ）由互感引起的附加电源除了与初始值有关外，还和同名端有关。2.基尔霍夫定律的运算形式如表 13-3所示见附表13-3。表13-3基尔霍夫定律的运算形式名称时域形式运算形式KCLi(t) 0I(s) 0KVLu(t) 0U (s) 03用运算法分析动态电路的步骤复频域

7、的基尔霍夫定律和各种元件伏安关系都是线性代数方程，与直流电路中的相应方程一一对 应。因此，在线性直流电路中建立的各种分析方法、定理可推广用于复频域电路模型。具体步骤如下：（1） 根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值 iL 0 和电容电压初始值uC 0（2） 作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向） ；（3） 应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 Is或Us等；（4 ）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 it或u t等。13. 2重点、难点分析13. 2. 1本章重点拉普拉斯

8、变换的核心问题是把以 t为变量的时间函数 f t与以复频率s为变量的复变函数 F S联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复 变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本 章重点为：1.拉普拉斯变换求解线性动态电路的概念；2.拉普拉斯变换的定义及其基本性质；3.拉普拉斯反变换的部分分式展开法；4.元件伏安关系及电路定律的复频域形式；5.运用拉普拉斯变换分析计算线性电路的过渡过程。13. 2. 2本章难点前面我们学习了用经典法求线性电路的动态过程的方法，学习了用相量法求正弦激励下线性电路 的稳态过程的方

9、法，而拉普拉斯变换却能求得电路的全响应、全过程，因此，它是全面分析线性电路的一种有力工具。拉普拉斯变换法在解决一些电路分析的具体问题时比较简便，如避开了在 t作用下的电感电流和电容电压的跃变问题，但其物理意义没有经典法明显。在学习本章内容的同时，注意 与前面所学内容相比较，注意它们之间的联系。应用拉普拉斯变换分析线性电路的瞬态，须经过三个过程： （1）从时域到复频域的变换，即对电路的输入取拉普拉斯变换，给出相应的复频域电路； （2）在复频域对电路列方程和应用电路定理，求出相应的象函数；（3）从复频域到时域的变换，求出响应的时域表达式。用拉氏变换法求解线性电路 的响应时，要注意以下几点：1.初始

10、状态的确定。对于复杂的电路，往往不能正确地计算出动态元件的初始值。2.正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数 的记忆。3. 正确地计算出响应的象函数。 在求解象函数时，由于复频率S是以符号形式存在， 在复频域求 解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。13. 3典型例题13. 3. 1拉普拉斯变换的定义及性质例13-1 已知f t如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。f(t)图13 1解题指导：首先正确地写出函数的时域表达式，然后利用拉普拉斯变换的时移性质来求。 解由题图得函数的时域表达式为其象函数为Fs 2 &es d2ss s s例13-

11、2求图13-2(a)所示三角脉冲电流的象函数。i(t)JImA/ f 1 1 2 t/si (t)jI1 m 0112t1 m图13 2(b)图13 2(a)解题指导：本题可利用拉普拉斯变换的时域微分性质，先写出三角脉冲电流的微分信号及其象函 数，再进行求解。解 对电流it求导，波形如题图13-2 (b)所示。则it Im t t 1 Im t 1Imes 2例13-3已知周期函数f tsint 0 t0 t 2 ，周期为2 ，试求其拉氏变换式。解题指导：这是一个周期函数的象函数的求解问题。可利用拉普拉斯变换的时移特性。解求周期函数的拉氏变换,可以应用时移特性。f 1 t , f 2 t ,分

12、别表示第一周、第二周的波形，则f2 t t Tt 2T t 2T根据时移特性，若：F1 s L则：F sL f1 t F1 s 1sT2sT e根据上式，首先求第一个周期波形的拉氏变换式。1sT1 e由拉氏变换定义可得:F1 sF1s L f1 tsinte stdt0e st ssint costs2 1e s 1s2 1本题中周期为2，于是得到F1e11 e s s2 1t .sin解题指导：任意函数与e t的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。例13-4求f的拉氏变换式。tt t AeL As in tcos ssinAL sin tcos cos tsin A 2 2s解应

13、用频移特性，先求Imt2Imt 1I m t2于是得到L itIm12e s2s eIm 1s 2 ess，即得sIi0根据拉普拉斯的微分性质 L i t所以:L Ae t sin tcos s sin13. 3. 2拉普拉斯反变换例 13-5已知下列象函数 F s。求原函数f t。(1)(3)2 3e s(1)解题指导：仅含有两个单实根的情况。2te2e3t(3)解题指导：包含了两个重根的情况。解题指导：象函数乘以例13-6已知象函数F S2e te st0，相当于时域中发生了时移t 11f t 2et t 3et0。虏2 20s22 如。求其原函数ft。s2 4 s2 2s 5解题指导：当

14、包含有共轭复根时，往往用配方法做比较简单。 解象函数可变换为5ss2 410_2 2s 1 22其原函数为5cos2t5e 七 sin 2t t例13-7求F Ss2 s 1的拉氏反变换。解题指导：当所给出的有理分式不是真分式时，应先用长除法进行处理，变成真分式，然后再进 行求解。解所给函数F s不是真分式，用长除法，得于是可得23e13. 3. 3应用拉普拉斯变换法分析线性电路例13-8用拉普拉斯变换法求图 13-3(a)电路中开关S闭合后的电容电压 UC t (要求画出运算电路模型)。II5h1V(t 0)丄Uc2Vr 5S J 6 2L T 41 5 汁s 60 s图13 3(a) 图1

15、3 3(b)解题指导：这是一个直流激励下的二阶电路的全响应的求解问题。对于结点较少的电路宜用结点 法进行求解。解由换路前电路求得Il 0运算电路模型如图13-3 (b)所示。0.25A , uC 0 1V求得Uc s进行拉氏反变换得Uc t6 11 s1 _ U cs5s 24 541/s 5/241/s1/s2/s5s/625/s44s2 5s241 15/415/44s s2 5s6s s2s 31 3.75e 2te 3t Vt0列写结点电压方程例13-9用拉氏变换法求图13-4(a)所示电路中电容电压 uC t。已知IL 0 2A , uC 0 1 V。0 t 0us t 2V 0 t

16、 10 t 1T0.5FUc图13 4(b)U s s L Us t2e1H4 z-y-Y-v-.LIIUs(t)2图13 4(a)解题指导：由于Us为方形脉冲，用拉氏变换法求解，应先写出电源电压 Us的象函数然后求解。也可分为两段进行求解(后者读者可以自己考虑) 。解电源电压得象函数为运算电路模型如图13-4(b)所示。则结点电压方程为1s14 21UCUs s 21/s2/sss 4求得44 s oe s 8Ucs sss 2 s 3211243433 23 ess 2s 3s s 2 se3进行拉氏反变换，得2, 2t11 3t Uc t4ee t332 2 t 14 3 t 12eet

17、 1 V33例13-10电路如图13-5(a)所示。开关S原来接在“ 1”端，电路已达稳态。当 t 0时将开关S由“ 1”合向“ 2”，用拉氏变换法求换路后的电阻电压 u2 t (要求画出运算电路模型)1S 21 f o22vj) 4tV1 H 1H H1.5U2s4 J (s)1 Iiss |b(s)1.riu2(s)20 计图13 5(b)本题中采用的电路分析的方法是回路电流法。图13 5(a)解题指导：这是指数函数激励下的二阶电路的全响应的求解问题。首先正确地计算出换路前的初 始状态，然后画出换路后的运算模型，解 由换路前电路求得i1 02A , i2 00 (电流参考方向见运算电路模型

18、)运算电路模型如图13-5 (b)所示。则按所选回路,回路电流方程为解得sIb ssIa2s 1.512s 4Ib s 2Ib s s3 s 0.51.14s 4u2 t1.71e 4t3e3t1.29e 0.5t t V0.857 s 0.5电压U? s 1.5sIb s。进行拉氏反变换得:例13-11电路如图13-6(a)所示。开关S闭合前电路已达稳态。在 t 0时闭合开关S。用拉氏变换法求换路后的i t。2 0.125F2Ap1-IIUc：1Hy SL 0.5m2U1r1k(t)Uc(s)S呷 l(s)图13 6(b)图13 6(a)解题指导：本题为求二阶电路的零输入响应。注意受控电流源

19、的状态。解 由换路前电路求得i 0 1A uc 0 013-6(b)所示。由此模型可得开关闭合后，控制量 U1为零，受控电流源开路。运算电路模型如图s s 2s 4s 8 s 2进行反变换，得例 13-12e 2t cos2t e2t sin 2t 2e 2t cos 2t13-7所示电路中二端口网络N45 A的复频短路导纳矩阵为05 s 05 05s05 s 05 s 1求零状态响应u2。i12CZFi 2斗丄+U1U20.5F图13 7解题指导：本题为求冲激激励下的零状态响应。用拉普拉斯变换法求冲激作用下的响应时，不需 考虑电容电压和电感电流的跃变问题，简化了计算，而且不容易出错。在包含了

20、二端口网络的电路的 求解中，注意利用二端口的特性方程辅助求解。解复频域节点方程Ui(s)05U1(s)二端口方程Ii(s)I2(s)05U2(s) Ii(s) 0.25(05s 05)U2(s) I2(s) 0(05s 05)U1(s) 05sU2(s)05sUi(s) (05 s 1)U2(s)解得5(s)s 122s2 14s 160.053 0553s 1.44 s 556匕 (0.053e 1.44t 0.553e 喻“ ,(t 0)例 13-13图13-8 （a）所示电路在t0时处于稳态，求t 0时的U,s）、U2（s）和U1（t）。-(ZZF05+33V10.1 F 斗二U1十2u

21、0.2 F 丄+U2 201+图13 8(a)1 CDJ+3333 2U2(s)0.2 s05图13 8(b)解题指导：本题为求解二阶电路的全响应。在包含了受控源的电路中，注意采用在直流电路中所学过的 处理方法：将受控源作为独立电源来处理，并寻找控制量与变量之间的关系。解 u1（0 ） u2（0 ） 33V复频域模型如题图13-8（ b）:节点方程(0.1s 3)U1(s) 2U2(s)332U1(s) (0.2s 2.5)U2(s)33 2U2(s)6.6 2U2(s)解得“、 33s 330 11 22u 1 (s)s(s 30) s s 302/、 33s 1320 s 3300U2(s

22、)s(s 30)( s 25)5(t) (11 22 e 30t) V , t 0例13-14 如图13-9所示电路中，uS 2sin(2t) (t) V，求零状态响应iR。图13 9(a)B解题指导：本题为求正弦激励下的零状态响应。对于电桥中的 AB两点看进去的戴维南等效电路，以便简化计算。解 运算电路如图13-9(b)所示求从A、B两点看进去的戴维南等效电路：1开路电压Uab(s) -Us(s)6AB支路电流的求解，应首先求出从等效阻抗Zj(s) 4S于是可得到AB支路电流Ir(s)16( S 1)(s2 4)s 2 )s2_4 2(s2 4)1 1iR e t cos(2t) sin(2

23、t) (t)A30 20.1F5例13-15 如图13-10 (a)所示电路原处于稳态， R 1 , L 1.25H,C1 C2Us 10V , t 0时开关接通。试求UC2 t t 0 。解题指导：本题是求解三阶电路的全响应。首先注意初始值的求解，另外两个电容串联时所分得的电压应与电容值成反比，还有所求的UC2 s应包含附加电压源的电压。解由t 0时的电路得复频域电路模型如图代入已知条件解得进行反变换得到iL 013-10(b)所示,U C2UC2 t例13-16 电路如图sLs210A UC1 0R对其列结点电压方程sC110ssC2 U c2LiL 0sL10Uc2 05VsLsC11.

24、667sC1UsUC1 0Uc2 0sC2-6.667s 0.2s s 810 1.667e t 6.667e4t V13-11 (a)所示。已知 R1 5，R210 ，L1 L1 1 ， M0.5us t 2 t V , i1 0 0.2A , i2 0 0.1A。求 t 0时的响应 u1 t 和 u2 t。iiUiL2iri20.5u2uSR2U2RiLiii(0 ) Mi2(0 ) F SM T L2i2(0 ) Mii(0 )eIl(S)HUs(S)sLiUi(s)U l2(S)Ii(s)0.5U2(s)l2(S)|RiU2(s)图i3 ii(b)图i3 ii(a)解题指导：本题为求含

25、有互感电路的全响应。当含有互感的电路为非零初始状态时，注意正确地 画出其运算电路，注意附加电源的大小和方向。当求某一互感线圈电压时，其象函数应包括相应的附 加电源电压。对含有互感得电路最好用回路电流法或支路电流法。解 运算电路如图i3-ii(b)所示，其中Us s电路方程为sLiRi li ssMRi l2 sUs s Liii 0Mi2 00.5U2 ssMRi 11s sL2 R2 Ri l2 sL2i 20Mii 00.5U2 sU 2 s R2I2 s 2代入已知数整理得2s 5 li s0.5sI2ss0.250.5s 5 lis si0l2 s0.2解得0.15s24.5s200.

26、75s si0s203li s20.075s1.25s100.75s si0 s320l2 s所以Ui sLiii 0Mi 2 0sLi I i ssMI 2 s0.8i00.2s 20进行拉氏反变换得例 13-1621.60.6U 2 sR2 I 2 ss10s 20s310tU1 t0.8et320t0.2eV10+u2 t_ I2 1.6e 30.6e20t V如图13-12(a)所示，is2sin 100t A , R1 R2 20 , C 1000 F, t合上开关S,用运算法求UC t oR1R2CtUcIs S6R11sCR2LC 0suc图13 12(a)解题指导：本题为正弦激励下的二阶电路的全响应的