线代练习卷测试16含答案.docx
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线代练习卷测试16含答案
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测试一测试二测试三测试四测试五测试六
测试一
一、选择题（每小题3分共18分）
1.设行列式，将的第二列元素乘以2后与第三列交换，再转置，则结果为（）.
A.B.C.D.
2.四阶行列式中含负号并且包含元素的项为（）.
A.B.
C.D.
3.非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是（）.
A.B.C.D.
4.设为阶矩阵，则在下列矩阵中，为反对称矩阵的是（）.
A.B.C.D.
5.设是n阶矩阵，是任意n维列向量，是任意n阶矩阵，则在下列命题中，错误的是（）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若0，则
6.向量组（）；（）：
；（）：
，如果，，则对任意常数，成立的是
A.向量组线性相关B.向量组线性相关
C.向量组线性无关D.向量组线性无关
二、填空题（每小题3分共18分）
1.关于的多项式中含项的系数是_______。
2．设A，B均为3阶方阵，且则。
3.当=_______时，方程组有非零解。
4.设三阶方阵A，B满足关系式，且，
则。
5.设矩阵为n阶方阵，若已知，则=。
6.设向量线性无关，且，，，则向量组线性___．（无关，相关）
三、计算题（每小题10分共50分）
1．计算行列式的值。
2．计算阶行列式的值
。
3.设矩阵，矩阵满足
，其中为3阶单位阵，试求矩阵。
4.已知，根据的取值情况，求的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示。
5.根据的不同取值，讨论线性方程组的可解性，并在有解时求出解。
四、证明题（每小题7分共14分）
1.设向量组线性无关，而向量组线性相关，证明向量可以由向量线性表示，并且表示法唯一。
2.设为阶非零实矩阵，，其中是的伴随矩阵。
证明：
是可逆矩阵。
参考答案
一、选择题（每题3分共18分）
1.A；2.B；3.C；4.D；5.C；6.D；
二、填空题（每题3共18分）
1.；2.4；3.1；4.；5.；6.相关。
三、计算题（每题10分共50分）
1．解:
2．解：
3.解:
由得
即
又因为
，所以可逆，
，
4.解：
当时，是一个极大线性无关组，当时，
是一个极大线性无关组，
5.解:
（1）当时，方程组无解.
（2）时,,得解:
（3）当时，
得唯一解:
四、证明题（每小题7分共14分）
1.证明：
因为向量组线性相关，则存在不全为零的使得
.
若，则由线性无关，得，与已知矛盾！
所以，则有，即可以由向量线性表示.
下证唯一性，设
（1）
（2）
由，得，由线性无关，有
，因此证明表示法唯一。
2.证明：
由题设，设。
因为，故。
由于，不妨设。
于是
所以是可逆矩阵。
测试二
一、选择题（每小题3分共18分）
1.设行列式，将的所有元素乘以2后再转置，所得行列式的值为（）.
A.B.C.D.
2.四阶行列式中取正号并且包含元素的项为（）.
A.B.
C.D.
3.设均为阶矩阵，在下列命题中正确的是（）。
A．若或不可逆，则不可逆B.若或可逆，则可逆
C.若，均不可逆，则不可逆D.若，均可逆，则可逆4.设为n阶矩阵，，满足等式，则必有（）。
A.或B.C.或D.
5.当（）时，齐次线性方程组AX=0有非零解.
A.B.C.D.
6.设是阶矩阵，的充分必要条件是（）。
（A）的任意一个r阶子式都不等于零
（B）的任意一个r+1阶子式都等于零
（C）的任意r个列向量线性无关
（D）的任意r+1个列向量线性相关，而有r个列向量线性无关
二、填空题（每小题3分共18分）
1.中的系数为_______。
2．已知A为4阶方阵，且则=。
3.当_______时，齐次线性方程组仅有零解.
4.设矩阵为10阶方阵，若已知，则=。
5.设矩阵，=。
6.设向量线性无关，且，，，，则向量组线性___。
（填无关或相关）
三、计算题（每小题10分共50分）
1.解方程
2．计算行列式。
3.设矩阵，矩阵满足，其中为3阶单位矩阵。
试求矩阵。
4.解线性方程组。
5.设向量组
.
问取何值时，该向量组的秩为2。
四、证明题（每小题7分共14分）
1.设,且向量组
线性无关,证明向量组线性无关。
2.证明：
如果对称矩阵为非奇异矩阵，则也是对称的。
参考答案
一、选择题（每题3分共15分）
1.A；2.B；3.A；4.C；5.D；6.D
二、填空题（每题3共15分）
1.；2.；3.；4.；5.；6.相关
三、计算题（每题10分共50分）
1.
解:
或,
四次多项式方程最多四个根,
所以:
2．
解：
3.
解:
由于，
故
，
所以可逆，所以
4.
解：
（1）当时，方程组无解.
（2）当时,
得解:
5.解：
以为列，构造矩阵，再对施以初等行变换，化为最简阶梯形矩阵
当时，。
四、证明题（每小题7分共14分）
1.证明：
设，则有
因向量组线性无关,故
因为故方程组只有零解。
则
所以线性无关
2.证明：
因为为对称、非奇异矩阵，所以
…
，故为对称矩阵
测试三
一、选择题（每小题3分共15分）
1.设行列式，，则行列式等于（）。
A．；B．；C．；D．。
2.设是阶方阵，且可逆，则下列选项不正确的是（）。
A．B.有非零解，
C.D.可表示成一些初等矩阵的乘积。
3.如果线性方程组有非零解，则（）。
A．1；B．0；C．；D．2。
4．设矩阵的秩为，则中（）。
A．至少有一个阶子式不等于0；B．所有阶子式全为；
C．所有阶子式都不为；D．所有阶子式都不为0。
5.设向量组：
的秩为,则下述说法不正确的是（）。
A．向量组中至少有一个含有个向量的部分组线性无关；
B．向量组中任何含有个向量的线性无关组与向量组可互相线性表示；
C．向量组中任何含有个向量的部分组皆线性相关；
D．向量组中任何含有个向量的部分组皆线性相关。
二、填空题（每小题3分共15分）
1.设，,则_____。
2.设向量与向量线性相关，则。
3.设，都是5阶矩阵,且，,则。
4.设为阶矩阵，其秩为3，若为非齐次线性方程组的2个不同的解，则它们的通解为。
5.向量组，，的极大无关
组是__。
三、计算题（每小题10分共50分）
1．设，求和。
2．计算阶行列式的值
3.设矩阵，求矩阵的秩及矩阵的列向量组的一个极大线性无关组。
4.已知A+B=AB，且，求矩阵B。
5.求方程组
的通解。
四、证明题（每小题10分共20分）
1.若是对称矩阵，是反对称矩阵，证明：
为对称矩阵。
2.设向量组线性无关，证明：
向量组也线性无关。
参考答案
一、选择题（每小题3分共15分）
1.D；2.B；3.C；4.A；5.D。
二、填空题（每小题3共15分）
1.；2.-10；3.；
4.；5.或或
三、计算题（每题10分共50分）
1．解:
2．
解：
3.
解:
设矩阵列向量为，
。
所以矩阵的秩为3，矩阵的列向量组的一个极大无关组为
。
4.
解：
因为，所以，则。
因为
故
所以
5.解：
方程组的增广阵为
由于，知方程组有无穷多组解，且原方程组等价于方程组
故为自由变量，所以分别令得等价方程组对应的齐次方程组的基础解系为
，，
求特解：
令，得，，故方程组的通解为
其中为任意常数。
四、证明题（每小题10分共20分）
1.证明：
因为是对称矩阵，是反对称矩阵，即
，
所以
，
即是对称矩阵。
2.
证明：
令存在一组数使下式成立：
，
整理得：
（*），
因为线性无关，所以
解得
因此，向量组线性无关。
测试四
一、选择题（每小题3分共15分）
1. 行列式：
，则（）
A．；B.；C.且；D.或。
2.设为阶方阵,若，则齐次线性方程组的基础解系中含有解向量的个数为（）
A.2；B.3；C.4D.5。
3.设矩阵，则矩阵的伴随矩阵（）
A.；B.；C.；D.。
4．下列矩阵中（）是初等矩阵。
A．；B．；C．；D．。
5.设向量组：
的秩为,则下述说法不正确的是（）。
A．向量组中至少有一个含个向量的部分组线性无关；
B．向量组中任何含个向量的线性无关组与向量组可互相线性表示；
C．向量组中任何含有个向量的部分组皆线性相关；
D．向量组中任何含有个向量的部分组皆线性相关。
二、填空题（每小题3分共15分）
1.设为阶反对称矩阵，则。
2.设。
3．设方程组有非零解，则。
4．向量组的极大线性无关组为。
5.为3阶矩阵，且满足，则________。
三、计算题（每小题10分共50分）
1．设，求和。
2.计算阶行列式的值
。
3.设矩阵，求矩阵的秩及矩阵的列向量组的一个极大线性无关组。
4.设，求使。
5.求方程组
，
的通解。
四、证明题（每小题10分共20分）
1.已知矩阵与矩阵可交换，矩阵与矩阵可交换，证明：
、、是同阶矩阵，且矩阵与矩阵可交换。
2.设向量组线性无关，证明：
也线性无关。
如果
参考答案
一、选择题（每小题3分共15分）
1.C；2.A；3.B；4.C；5.D。
二、填空题（每小题3共15分）
1.02.-13.4.或或5.
三、计算题（每题10分共50分）
1．解:
2.解:
3.解:
设矩阵列向量为，
。
所以矩阵的秩为3，矩阵的列向量组的一个极大无关组为
。
4.解：
所以
5.解：
线性方程组的增广矩阵为：
由于，知方程组有无穷多组解，且原方程组等价于方程组
故为自由变量，所以分别令得等价方程组对应的齐次方程组的基础解系为
，，
求特解：
令，得，，故方程组的通解为
其中为任意常数。
四、证明题（每小题10分共20分）
1.证明：
因为，
所以
即与可换。
2.证明：
令存在一组数使下式成立：
，
整理得：
（*），
因为线性无关，所以
解得
因此，向量组线性无关。
测试五
一．单项选
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