第十八章平行四边形全章教案.docx
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第十八章平行四边形全章教案
第十八章平行四边形
18.1.1平行四边形及其性质
(一)
一、教学目标:
1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.
2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证.
3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.
二、重点、难点
1.重点:
平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用.
2.难点:
运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
3.难点的突破方法:
本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质.这一节是全章的重点之一,学好本节可为学好全章打下基础.
学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形,课堂上可引导学生回忆有关知识.
平行四边形的定义在小学里学过,学生是不生疏的,但对于概念的本质属性的理解并不深刻,所以这里并不是复习巩固的问题,而是要加深理解,要防止学生把平行四边形概念当作已知,而不重视对它的本质属性的掌握.
为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解,在讲平行四边形定义前,要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚.
讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件,一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”才是平行四边形;反之,平行四边形,就一定是有“两组对边分别平行”的一个“四边形”.要指出,定义既是平行四边形的一个判定方法,又是平行四边形的一个性质.
新教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的,然后用两个三角形全等,证明了这两条性质.这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力.
教学中可以通过大量的生活中的实例:
如推拉门、汽车防护链、书本等引入新课,使学生在已有的知识和认知的基础上去探索数学发展的规律,达到用问题创设数学情境,提高学生学习兴趣.
然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质,进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质.同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式,让学生在教师的范式的诱导下,初步达到演绎数学论证过程的能力.
最后通过不同层次的典型例、习题,让学生自己理解并掌握本节课的知识.
三、例题的意图分析
例1是教材P84的例1,它是平行四边形性质的实际应用,题目比较简单,其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算,讲课时,可以让学生来解答.例2是补充的一道几何证明题,即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证,又让学生从较简单的几何论证开始,提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力,学会演绎几何论证的
方法.此题应让学生自己进行推理论证.
四、课堂引入
1.我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象?
平行四边形是我们常见的图形,你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗?
你能总结出平行四边形的定义吗?
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)表示:
平行四边形用符号“”来表示.
如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AD∥BC,那么四边形ABCD是平行四边形.平行四边形ABCD记作“ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.
①∵AB//DC,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形(判定);
②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC,AD//BC(性质).
注意:
平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边,对角是指
一条边的对角.(教学时要结合图形,让学生认识清楚)
2.【探究】平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别
平行外,还有什么特殊的性质呢?
我们一起来探究一下.
让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形,观察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以,它的边和角之间有什么关系?
度量一下,是不是和
你猜想的一致?
(1)由定义知道,平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知,在平行四边形中,
相邻的角互为补角.
(相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角.注意和第一章的邻角相区别.教学时结
合图形使学生分辨清楚.)
(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等.
下面证明这个结论的正确性.
已知:
如图ABCD,
求证:
AB=CD,CB=AD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.
分析:
作ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ABC和△CDA,证明这两个
三角形全等即可得到结论.
(作对角线是解决四边形问题常用的辅助线,通过作对角线,可以把未知问题转化为已
知的关于三角形的问题.)
证明:
连接AC,
∵ AB∥CD,AD∥BC,
∴ ∠1=∠3,∠2=∠4.
又 AC=CA,
∴ △ABC≌△CDA(ASA).
∴ AB=CD,CB=AD,∠B=∠D.
又∠1+∠4=∠2+∠3,
∴ ∠BAD=∠BCD.
由此得到:
平行四边形性质1 平行四边形的对边相等.
平行四边形性质2平行四边形的对角相等.
五、例习题分析
例1(教材P42例1)
例2(补充)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,
求证:
AF=CE.
分析:
要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”
可得出所需要的结论.
证明略.
六、随堂练习
1.填空:
(1)在ABCD中,∠A=,则∠B=度,∠C=度,∠D=度.
(2)如果ABCD中,∠A—∠B=240,则∠A=度,∠B=度,∠C=度,∠D=度.
(3)如果ABCD的周长为28cm,且AB:
BC=2∶5,那么AB=cm,BC=cm,
CD=cm,CD=cm.
2.如图4.3-9,在ABCD中,AC为对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,E、F为垂足,求证:
BE=DF.
七、课后练习
1.(选择)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是().
(A)对角相等(B)对角互补(C)邻角互补(D)内角和是
2.在ABCD中,如果EF∥AD,GH∥CD,EF与GH相交与点O,那么图中的平行四
边形一共有().
(A)4个(B)5个(C)8个(D)9个
3.如图,AD∥BC,AE∥CD,BD平分∠ABC,求证AB=CE.
18.1.1平行四边形的性质
(二)
三、教学目标:
1.理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题.
3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.
四、重点、难点
1.重点:
平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.
2.难点:
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
3.难点的突破方法:
(1)本节课的主要内容是平行四边形的性质3,它是通过旋转平行四边形,得到平行四边形是中心对称图形和对角线互相平分的性质.这一节综合性较强,教学中要注意引导学生.要注意让学生巩固基础知识和基本技能,加强对解题思路的分析,解题思想方法的概括、指导和结论的升华.
(2)教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法.如图,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,若AC与BD互相平分,则有OA=OC,OB=OD.
(3)在平行四边形中,从一条边上的任意一点,向对边画垂线,这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长,或者说这条边和对边的距离),叫做以这条边为底的平行四边形的高.这里所说的“底”是相对高而言的.
在平行四边形中,有时高是指垂线段本身,如作平行四边形的高,就是指作垂线段.所以平行四边形的高,在作图时一般是指垂线段本身.在进行计算时,它的意义是距离,即长度.
(4)平行四边形的面积等于它的底和高的积,即=a·h.其中a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边与其对边的距离,即对应的高,如图
(1).要避免学生发生如图
(2)的错误.为了区别,有时也可以把高记成、,表明它们所对应的底是a或AB.
(5)学完本节后,归纳总结一下平行四边形比一般四边形多哪些性质,平行四边形有哪些性质.可以按边、角、对角线进行总结.通过复习总结,使学生掌握这些知识,也培养学生随时复习总结的习惯,并提高他们归纳总结的能力.
三、例题的意图分析
本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,它是性质3的直接运用,然后对例1进行了引申,可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:
过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线,所得的对应线段相等.例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的.
例2是教材P85的例2,这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算.这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步,需要应用勾股定理,先求得平行四边形一边上的高,然后才能应用公式计算.在以后的解题中,还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题,在教学中要注意使学生掌握其方法.
四、课堂引入
1.复习提问:
(1)什么样的四边形是平行四边形?
四边形与平行四边形的关系是:
(2)平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质(内角和是).
②角:
平行四边形的对角相等,邻角互补.
边:
平行四边形的对边相等.
2.【探究】:
请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH,并连接对角线AC、BD和EG、HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形落在一起,在点O处钉一个图钉,将ABCD绕点O旋转,观察它还和EFGH重合吗?
你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?
进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?
结论:
(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
五、例习题分析
例1(补充) 已知:
如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.
求证:
OE=OF,AE=CF,BE=DF.
证明:
在ABCD中,AB∥CD,
∴ ∠1=∠2.∠3=∠4.
又OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴ OE=OF,AE=CF(全等三角形对应边相等).
∵ABCD,∴AB=CD(平行四边形对边相等).
∴AB—AE=CD—CF.即BE=FD.
※【引申】若例1中的条件都不变,将EF转动到图b的位置,那么例1的结论是否成立?
若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图c和图d),例1的结论是否成立,说明你的理由.
解略
例2(教材P44的例2)已知四边形ABCD是平行四边形,AB=10cm,AD=8cm,AC⊥BC,求BC,CD,AC,OA的长以及ABCD的面积.
分析:
由平行四边形的对边相等,可得BC、CD的长,在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长,根据平行四边形的面积计算公式:
平行四边形的面积=底×高(高为此底上的高),可求得ABCD的面积.(平行四边形的面积小学学过,再次强调“底”是对应着高说的,平行四边形中,任一边都可以作为“底”,“底”确定后,高也就随之确定了.)3.平行四边形的面积计算
解略(参看教材P44).
六、随堂练习
1.在平行四边形中,周长等于48,
1已知一边长12,求各边的长
2已知AB=2BC,求各边的长
3已知对角线AC、BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各