中考数学压轴题几何变换10题.docx
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中考数学压轴题几何变换10题
2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：
几何变换（10题）
一、解答题（共10小题）
1．（2018•金水区校级四模）如图乙，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点为射线，的交点．
（1）如图甲，将绕点旋转，当、、在同一条直线上时，连接、，则下列给出的四个结论中，其中正确的是 ．
①②③④
（2）若，，把绕点旋转，
①当时，求的长；
②求旋转过程中线段长的最大值．
2．（2016•天津）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得△，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为．
（Ⅰ）如图①，若，求的长；
（Ⅱ）如图②，若，求点的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）
3．（2019•沈丘县一模）观察猜想
（1）如图①，在中，，，点与点重合，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，与的位置关系是 ， ；
探究证明
（2）在
（1）中，如果将点沿方向移动，使，其余条件不变，如图②，判断与的位置关系，并求的值，请写出你的理由或计算过程；
拓展延伸
（3）如图③，在中，，，点在边的延长线上，，连接，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角，连接，则的值是多少？
请用含有，的式子直接写出结论．
4．（2016•湖州）数学活动课上，某学习小组对有一内角为的平行四边形进行探究：
将一块含的直角三角板如图放置在平行四边形所在平面内旋转，且角的顶点始终与点重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段，于点，（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若，求证：
①，②；
（2）类比发现
如图2，若，过点作于点，求证：
；
（3）深入探究
如图3，若，探究得：
的值为常数，则 ．
5．（2015•南通）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．
（1）求证：
；
（2）若点在的平分线上，求的长；
（3）若与重叠部分图形的周长为，且，求的取值范围．
6．（2017•天桥区三模）如图1，已知线段，点关于直线的对称点是点，点为射线上一点，且，连接，．
（1）依题意补全图1，并证明：
为等边三角形；
（2）若，点关于直线的对称点为点，连接、．将绕点顺时针旋转度得到△，点的对应点为，点的对应点为点．
①如图2，当时，连接．证明：
；
②如图3，点为中点，点为线段上的任意一点，试探究：
在此旋转过程中，线段长度的取值范围？
7．（2018•东莞市）已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图1，连接．
（1）填空：
；
（2）如图1，连接，作，垂足为，求的长度；
（3）如图2，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为1.5单位秒，点的运动速度为1单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？
最大值为多少？
8．（2015•烟台）【问题提出】
如图①，已知是等腰三角形，点在线段上，点在直线上，且，将绕点顺时针旋转至连接
试证明：
【类比探究】
（1）如图②，如果点在线段的延长线上，其他条件不变，线段，，之间又有怎样的数量关系？
请说明理由
（2）如果点在线段的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出，，之间的数量关系，不必说明理由．
9．（2015•潜江）已知，正方形绕点旋转．
（1）当正方形旋转到的外部（顶点除外）时，，分别与正方形的边，的延长线交于点，，连接．
①如图1，若，则线段与之间的数量关系是 ；
②如图2，若，请判断①中的数量关系是否仍成立？
若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，当正方形旋转到的内部（顶点除外）时，，分别与直线交于点，，探究：
以线段，，的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．
10．（2015•济南）如图1，在中，，，，点为射线上任意一点（不与重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，直线分别交直线、射线于点、．
（1）直接写出的度数；
（2）如图2、图3，当为锐角或钝角时，其他条件不变，
（1）中的结论是否发生变化？
如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若，，直线与交于，，其他条件不变，求线段的长．
2020年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：
几何变换（10题）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题）
1．（2018•金水区校级四模）如图乙，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点为射线，的交点．
（1）如图甲，将绕点旋转，当、、在同一条直线上时，连接、，则下列给出的四个结论中，其中正确的是 ①②③ ．
①②③④
（2）若，，把绕点旋转，
①当时，求的长；
②求旋转过程中线段长的最大值．
【考点】：
几何变换综合题
【分析】
（1）①由条件证明，就可以得到结论②由就可以得出，就可以得出，进而得出结论；③由条件知，由就可以得出结论；④为直角三角形就可以得出，由和是等腰直角三角形就有，，就有就可以得出结论；
（2）①分两种情形、如图乙中，当点在上时，．由，得，由此即可解决问题．、如图乙中，当点在延长线上时，．解法类似；
②如图乙中，以为圆心为半径画圆，当在上方与相切时，的值最大．分别求出即可；
【解答】
（1）解：
如图甲：
①，
，
即．
在和中，
，
，
，①正确；
②，
．
，
，
．
，
，
．
，②正确；
③，，
，
．
，③正确；
④，
，
，，，
，，
，
，
，④错误．
故答案为：
①②③．
（2）①解：
、如图乙中，当点在上时，．
，
，
同
（1）可证．
．
，
．
，
．
、如图乙中，当点在延长线上时，．
，
，
同
（1）可证．
．
，
，
，
，
综上，或．
②解：
如图乙中，以为圆心为半径画圆，当在上方与相切时，的值最大．
理由：
此时最大，因此最大，是直角三角形，斜边为定值，最大，因此最大）
，
，
由
（1）可知，，
，，
，
四边形是矩形，
，
．
综上所述，长的最大值是．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
2．（2016•天津）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得△，点，旋转后的对应点为，，记旋转角为．
（Ⅰ）如图①，若，求的长；
（Ⅱ）如图②，若，求点的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）
【考点】：
几何变换综合题
【专题】15：
综合题
【分析】
（1）如图①，先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得，，则可判定为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求的长；
（2）作轴于，如图②，利用旋转的性质得，，则，再在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出和的长，然后利用坐标的表示方法写出点的坐标；
（3）由旋转的性质得，则，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图②，易得，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线的解析式为，从而得到，，则，作于，然后确定后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出和的长，从而可得到点的坐标．
【解答】解：
（1）如图①，
点，点，
，，
，
绕点逆时针旋转，得△，
，，
为等腰直角三角形，
；
（2）作轴于，如图②，
绕点逆时针旋转，得△，
，，
，
在中，，
，，
，
点的坐标为，；
（3）绕点逆时针旋转，得△，点的对应点为，
，
，
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图②，
则，此时的值最小，
点与点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
把，，代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，则，，
，
，
作于，
，，
，
，，
，
点的坐标为，．
【点评】本题考查了几何变换综合题：
熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．
3．（2019•沈丘县一模）观察猜想
（1）如图①，在中，，，点与点重合，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，与的位置关系是 ， ；
探究证明
（2）在
（1）中，如果将点沿方向移动，使，其余条件不变，如图②，判断与的位置关系，并求的值，请写出你的理由或计算过程；
拓展延伸
（3）如图③，在中，，，点在边的延长线上，，连接，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角，连接，则的值是多少？
请用含有，的式子直接写出结论．
【考点】：
几何变换综合题
【专题】15：
综合题
【分析】
（1）只要证明，即可解决问题；
（2）如图②中，作交于．利用
（1）中结论即可解决问题；
（3）如图③中，作交的延长线于，作于．只要证明，可证，即可解决问题；
【解答】解：
（1）如图①中，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，，
故答案为：
，．
（2）如图②中，作交于．
，
，是等腰直角三角形，
由
（1）可知，，，
，，
，
，
；
（3）如图③中，作交的延长线于，作于．
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
．
．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
4．（2016•湖州）数学活动课上，某学习小组对有一内角为的平行四边形进行探究：
将一块含的直角三角板如图放置在平行四边形所在平面内旋转，且角的顶点始终与点重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段，于点，（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若，求证：
①，②；
（2）类比发现
如图2，若，过点作于点，求证：
；
（3）深入探究
如图3，若，探究得：
的值为常数，则 ．
【考点】：
几何变换综合题
【分析】
（1）①先证明，都是等边三角形，再证明即可解决问题．②根据①的结论得到，由此即可证明．
（2）设，由题意，，，由，得由此即可证明．
（3）如图3中，作于，于，与交于点．先证明，得，由，，推出，所以，设，，则，，想办法求出，即可解决问题．
【解答】解；
（1）①四边形是平行四边形，，
，
，
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
在和中，
．
②，
，
．
（2）设，由题意，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，作于，于，与交于点．
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，设，，则，，
，，
，
，，，
，，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查几何变换综合题．全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
5．（2015•南通）如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．
（1）求证：
；
（2）若点在的平分线上，求的长；
（3）若与重叠部分图形的周长为，且，求的取值范围．
【考点】：
几何变换综合题
【专题】16：
压轴题
【分析】
（1）先根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的判定定理得出，由相似三角形的性质得出，由此可得出
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