二次方程根的分布情况归纳(完整版).doc
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二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:
(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0,一个大于0
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表二:
(两根与的大小比较)
分布情况
两根都小于即
两根都大于即
一个根小于,一个大于即
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表三:
(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
(图象有两种情况,只画了一种)
一根在内,另一根在内,
大致图象()
得出的结论
或
大致图象()
得出的结论
或
综合结论(不讨论)
——————
根在区间上的分布还有一种情况:
两根分别在区间外,即在区间两侧,(图形分别如下)需满足的条件是
(1)时,;
(2)时,
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:
(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:
若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。
如方程在区间上有一根,因为,所以,另一根为,由得即为所求;
方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。
如方程有且一根在区间内,求的取值范围。
分析:
①由即得出;②由即得出或,当时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;综上分析,得出或
根的分布练习题
例1、已知二次方程有一正根和一负根,求实数的取值范围。
解:
由即,从而得即为所求的范围。
例2、已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围。
解:
由
或即为所求的范围。
例3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围。
解:
由即即为所求的范围。
例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1,求实数的取值范围。
解:
由题意有方程在区间上只有一个正根,则即为所求范围。
(注:
本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内,由计算检验,均不复合题意,计算量稍大)
例1、当关于的方程的根满足下列条件时,求实数的取值范围:
(1)方程的两个根一个大于2,另一个小于2;
(2)方程的一个根在区间上,另一根在区间上;
(3)方程的两根都小于0;
变题:
方程的两根都小于-1.
(4)方程的两根都在区间上;
(5)方程在区间(-1,1)上有且只有一解;
例2、已知方程在区间[-1,1]上有解,求实数m的取值范围.
例3、已知函数f(x)的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围.
检测反馈:
1.若二次函数在区间上是增函数,则的取值范围是___________.
2.若、是关于x的方程的两个实根,则的最小值为.
3.若关于的方程只有一根在内,则__.
4.对于关于x的方程x2+(2m-1)x+4-2m=0求满足下列条件的m的取值范围:
(1)有两个负根
(2)两个根都小于-1
(3)一个根大于2,一个根小于2(4)两个根都在(0,2)内
(5)一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内(6)一个根小于2,一个根大于4
(7)在(0,2)内有根
(8)一个正根,一个负根且正根绝对值较大
5.已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,求实数m的取值范围。
2、二次函数在闭区间上的最大、最小值问题探讨
设,则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况:
即
图象
最大、最小值
对于开口向下的情况,讨论类似。
其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论:
(1)若,则,;
(2)若,则,
另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开轴越远,则对应的函数值越小。
二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手:
开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。
例1、函数在上有最大值5和最小值2,求的值。
解:
对称轴,故函数在区间上单调。
(1)当时,函数在区间上是增函数,故;
(2)当时,函数在区间上是减函数,故
例2、求函数的最小值。
解:
对称轴
(1)当时,
(2)当时,;(3)当时,
改:
1.本题若修改为求函数的最大值,过程又如何?
解:
(1)当时,;
(2)当时,。
2.本题若修改为求函数的最值,讨论又该怎样进行?
解:
(1)当时,,;
(2)当时,,;
(3)当时,,;
(4)当时,,。
例3、求函数在区间上的最小值。
解:
对称轴
(1)当即时,;
(2)当即时,;
(3)当即时,
例4、讨论函数的最小值。
解:
,这个函数是一个分段函数,由于上下两段上的对称轴分别为直线,,当,,时原函数的图象分别如下
(1),
(2),(3)
因此,
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)当时,
以上内容是自己研究整理,有什么错误的地方,欢迎各位指正,不胜感激!
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