小学六年级数学拔高之 巧解行程问题.docx

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小学六年级数学拔高之巧解行程问题

第21讲巧解行程问题

（二）

巧点晴——方法和技巧

变速类行程问题是比较复杂的，在解答时，一定要对题目进行认真细致的分析，其基本思路是：

（1）把问题进行适当的分解，转化为基本类型。

（2）把条件密集段作为解答的突破口，求得该段上的未知量，这是解决问题的关键。

（3）按题意作图（如线段图、折线图）辅助解题，从图中获解。

（4）利用多种数学思想方法（如假设、类比等）求得解答。

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点晴

【例1】甲、乙两人赛跑，甲跑到全程的

处时，乙已跑到全程的

处，这时甲、乙两人相距250米。

问：

（1）全程是多少千米？

（2）如果甲每分钟跑200米，那么乙的速度是多少？

（3）当乙跑完全程时，甲还要多长时间才能到达？

分析与解

（1）全程多少米？

250÷（

－

）=3000（米）=3（千米）

（2）乙的速度是多少？

（3000×

）÷（3000×

÷200）=225（米/分）

（3）乙的速度是多少？

3000÷200－3000÷225=

（分）

做一做甲乙两人赛跑，他们同时从A，B两个出发点出发相向而行。

当甲行全长的

时，乙行了全的

，两人相距190米，则A、B全程是多少米？

【例2】一个圆周长30厘米，3个点把这个圆周长分成三等份。

3只爬虫A，B，C分别在这3个点上，它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。

A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬虫出发后多长时间第一次到达同一位置？

解先考虑B与C这两只爬虫什么时候能到达同一位置。

开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5－3）厘米。

30÷（5－3）=15（秒）

因此15秒后B与C到达同一位置。

以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要

90÷（5－3）=45（秒）

B与C到达同一位置，出发后的秒数是

15，60，105，150，195，…

再看看A与B什么时候到达同一位置。

第一次是出发后

30÷（10－5）=6（秒）

A与B到达同一位置，出发后的秒数是

6，24，42，60，78，96，…

对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置。

答：

3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置。

做一做2三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处。

甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿相同方向跑步。

里圈跑道长

千米，中圈长

千米，外圈长

千米。

甲每小时跑3.5千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。

问：

他们同时从旗杆的正东方向出发，几小时后，三人第一次同时回到出发点？

【例3】李经理的司机每天早上7点30分到李经理家接他去公司上班。

有一天李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，乘车去公司，结果早到5分。

问：

李经理什么时间遇上汽车？

汽车速度是步行速度的几倍？

解早到公司5分钟说明汽车早遇到李经理5÷2=2.5（分），所以遇到李经理是7点27.5分。

李经理7点出门，7点27.5分遇到汽车，这27.5分钟走的路汽车只需行2.5分钟，所以汽车速度是步行速度的

27.5÷2.5=11（倍）

做一做3学校和工厂之间有条公路，该校下午2点钟派车去工厂，到工厂接劳模来学校作报告，往返需要1小时。

这位劳模在下午1点钟例离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶往学校，在下午2点40分到达。

问：

汽车速度是劳模步行速度的多少倍？

B级培优竞赛·更上层楼

【例4】甲，乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面20米处。

如果两人各自速度不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米。

解乙的速度是甲的

=

，乙跑100米，甲可跑100÷

=125（米），所以，甲应后移125－100=25（米）。

点评由题意知，甲跑100米时，乙跑80米。

设乙跑（100－80）米时，甲跑χ米，则

=

解得，χ=25

做一做4甲、乙两人在河中先后从同一个地方出发同速同向游进，现在甲位于乙的前方，乙距起点20米；当游到甲现在的位置时，甲已离起点98米。

问：

乙现在离起点多少米？

【例5】甲、乙两人同时从山脚沿同一条山路开始爬山，到达山顶后立刻沿原路返回。

他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙的速度快。

开始后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲愉好下到半山腰。

那么，甲回到出发点时共用了多少小时？

分析与解1本题的难点在于甲上山与下山的速度不同。

如果甲下山的速度与上山的速度相同，则乙到达山顶时，甲瞳了下山路的0.5÷1.5=

。

由“乙到达山顶时，甲走了下山路的

”知，甲上山的速度是乙上山速度的

。

因为甲下山走600米相当于甲上山下走600÷1.5=400（米），又因为1小时甲比乙多走600＋400=1000（米），所以甲、乙的速度分别是4000米/时和3000米/时。

山路长为

3000＋600=3600（米）

因“甲下山的速度是上山速度的1.5倍”，再由“1小时后，甲距山脚还有3600－600=3000（米）”知，甲到山脚还需要

3000÷（4000×1.5）=0.5（时）

所以，甲从出发至回到山脚共用了1＋0.5=1.5（时）。

分析与解2甲上山走s米，下山走0.5s米，在这段时间内如果全是上山，甲可走s＋

=

s米。

这段时间内乙上山走了s米，所以，甲、乙上山速度比是

s：

s=4：

3，从而，甲下山的速度与乙上山的速度之比是（4×1.5）：

3=2:

1，所以乙上山1小时所走的路程，甲下山只用半小时，而甲来回共用1.5小时。

（注：

题中“600米”这一条件是多余条件）

答：

甲回到出发点时共用了1.5小时。

做一做5甲、乙两人同时开始从山脚下爬山，到达山顶后就立即原路返回。

他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍，甲到山顶时乙离山顶还有400米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。

求山脚到山顶的距离。

【例6】如右图，从A到B是1千米长的下坡路，从B到C是3千米长的平路，从C到D是2.5千米长的上坡路。

平路速度都是4千米每时，上坡速度都是2千米每时，下坡速度都是6千米每时。

小明和小亮分别从A、D同时出发相向而行，多长时间后他们相遇？

分析与解从A到B是下坡路，小明需走1÷6=（时），从D到C也是下坡路，小亮需走2.5÷6=

（时）。

显然，当小亮到达C点时，小明已在平路（BC段）上行走了。

—

=

（时）4×

=1（千米）

因此，在B与C之间的平路上留下3－1=2（千米），

两人共同走这一段所需时间是2÷（4＋4）=

（时）。

故从出发到相遇的时间是

＋

=

（时）。

答：

时后他们相遇。

做一做6如下图，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡。

小张和小王在上坡时步行速度是4千米每时，平路时步行速度是5千米每时，下坡时步行速度是6千米每时。

小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇。

已知E在BC段上，并且E至C的距离是B至C距离的

。

当小五到达A后9分钟，小张到达D。

那么，A至D全程长多少千米？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

【例7】从甲市到乙市有一条公路，它分成三段，已知第一段公路的长恰好是第三段公路长的2倍。

在第一段上，汽车速度是40千米/时；在第二段上，汽车速度是90千米/时；在第三段上，汽车速度是50千米/时。

现在两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发相向而行，1小时20分后在第二段的

处（从甲到乙方向的

处）相遇，那么，甲、乙两市相距多少千米？

分析与解1画出如下示意图：

当从乙方出发的汽车走完第三段到C时，从甲市出发的汔车走完第一段的

×

=

。

为样，D把第一段分成两部分：

：

（1－

）=2：

3。

两车在第二段的

处相遇，说明甲市汽车从D走到E走完第一段与乙市汽车走完从C到F（第二段的

）所用时间相同。

设这段时间为1份，1小时20分相当于

＋1＋1=2

（份）

1份有80÷2

=30（分）。

第一段需要30×（1＋

）=50（分）

第二段需要30×3=90（分）。

第三段需要30×

=30（分）。

所以，甲、乙两市的距离是

40×

＋90×

＋50×

=185（千米）。

分析与解2因为甲、乙两车在第二段公路上的速度相等，并且甲车在第二段公路的

处与乙车相遇，即甲走了第二段的

，乙走了第二段的

，所以此时乙走第二段公路的时间是甲的2倍。

设相遇时甲走第二段公路用t小时，则乙走第二段公路用了2t小时，甲走第一段公路用了（

－t）小时，乙走第三段公路用了（

－2t）小时，见下图：

由“第一段的长是第三段的长的2倍”，可得方程

40×（

－t）=50×（

－2t）×2t=

（时）

第二段路长90×3t=135（千米），第一、第三段路共长

40×（

－t）＋50×（

－2t）=90×

—140t=50（千米）

所以，甲、乙两市相距135＋50=185（千米）。

答：

甲、乙两市相距185千米。

巧练习——温故知新（二十一）

A级冲刺名校·基础点晴

1.小明和小强进行100米赛跑，小明跑完全程用16秒，此时小强离终点还有20米，那么小强跑完全程要多少秒？

2.小张和小王的家相距7.5千米。

10点40分，小张骑自行车从家出发去小王家，自行车速度是230米/分。

小王同时从家出发步行去小张家，步行速度是70米/分。

问：

他们在途中相遇时是几点几分？

3.小明8点整出门，步行去10千米远的叔叔家。

他步行的速度是3千米/时，可是他每走40分钟就要休息10分钟。

问：

小明什么时候到达叔叔家？

4.绕湖环行一周是2700米。

小张、小王、小李从同一地点同时出发绕湖行走，小张和小王沿同一方向行走，小李沿反方向行走。

小张的速度是135米/分，小王的速度是90米/分，小李的速度是45米/分。

当小张与小李相遇时，马上转身反向行走，不久与小王相遇。

问：

出发后多长时间，小张与小王相遇？

5.如右图所示,在一圆形的跑道上,小明从A点,小强从B点同时出发相向行走。

6分钟后，小明与小强相同；再过4分钟，小明到达B点；又再过8分钟，小明与小强再次相遇。

问：

小明环行一周要用多少分钟？

B级培优竞赛·更上层楼

6.赵强每天上学步行10分钟以后，跑步2分钟，恰好准时到校。

有一天，他步行6分钟后开始跑步，结果早到2分24秒。

问：

他跑步的速度是步行速度的多少倍？

7.每天早上，李刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步。

他们每天相向而行，并且准时在途中相遇。

有一天，李刚提早出门，因此比平时早7分钟与张大爷相遇。

已知李刚步行速度是70米/分，张大爷步行速度是40米/分，问：

那一天李刚比平时早出门多少分钟？

8.甲、乙两地相距100千米。

张明先骑摩托车从甲地出发，1小时后李平驾驶汽车也从甲地出发，两人同时到达乙地。

摩托车开始速度是50千米/时，中途减速为40千米/时；汽车速度是80千米/时，汽车曾在途中停靠10分钟。

问：

张明驾驶的摩托车减速时是在他出发后多少小时？

9.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行。

出发时，甲、乙速度之比是5：

4，经

小时后他们相遇。

相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高25%，这样，当甲到达B地时，乙行了44千米。

那么，乙再行多少小时到达A地？

10.从甲地到乙地的公路上坡路和下坡路，没有平路。

一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。

汽车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需

小时，问：

甲、乙两地间的公路长多少千米？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11.小明打算在上课前5分钟到校。

他以4千米每时的速度从家