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泵与风机的叶轮理论

第二章泵与风机的叶轮理论

一、离心式泵与风机工作原理介绍

1、离心式泵与风机的工作原理

2、叶轮内流分析及速度三角形

3、Euler的方程建立与分析

4、叶轮叶片型式与特性

5、关于叶片厚度与叶片数假设的修正

6、流体进入叶轮前的预旋

1、离心式泵与风机工作原理

离心式泵与风机的叶轮旋转过程中，叶轮带动流体一起旋转而产生的离心力使流体获得能量。

设，叶轮流道半径r处取一流体微元:

dV

如P20图1-1所示:

dV=brdφdr

微元质量:

dm=ρbrdφdr

∵流体微元受到离心力:

dF=dmrω2=ρbr2ω2dφdr

流体微元外侧作用面积:

dA=b（r+dr）dφ≈brdφ

∴流体微元上的径向静压差:

dp=dF/dA=ρrω2dr

假设所输送工作介质为不可压缩流体,通过对上式积分可导出叶轮进、出口静压差公式:

并可导得其第二种表达式：

式中,P1、P2——　叶轮进、出口处的压力

u1、u2——叶轮进出口处的圆周运动速度

可见离心式泵与风机进、出口之间的静压差的大小与叶轮叶片进、出口尺寸及叶轮转速相关。

2、叶轮机械内流分析及速度三角形

（1）叶轮机械的简化计算模型

（2）叶轮流道内部流动速度三角形

（3）叶轮流道内部流动的求解与计算

（1）离心式叶轮机械简化计算模型

①叶轮叶片为无限多、无限薄

叶轮流道内流体质点相对运动轨迹与叶片形线一致

②叶轮内流体为无粘性作用的理想流体

忽略叶轮内部由于流体粘性作用而产生的能量损失

③叶轮轴面内流体为无数互不相关的微元流层之和

可用平面流动理论分析研究叶轮内部流动问题

（2）叶轮流道内部流动速度三角形

P21图1-3（a）为与径向垂直的圆周运动速度：

u——牵连运动速度

P21图1-3（b）为沿叶片型线的切向运动速度：

w——相对运动速度

P21图1-3（c）为以上两个速度的矢量和：

v——绝对运动速度

由u、w、v三个速度矢量组成的矢量图称速度三角形，P22图1-4中的绝对速度v可分解为相互垂直的两个分量vm和vu：

径向分速度（也称轴面速度）：

vm=vsinα；切向分速度（也称圆周分速度）：

vu=vcosα

（3）离心式叶轮流道内流计算

①圆周速度u

②轴面速度vm

③相对速度w的方向（或称β角）

④叶轮流道内部流动速度三角形的求解

①叶轮内流道任意点的圆周速度：

u＝πnD/60（m/s）

式中，n——叶轮转速，（r/min）

D——叶轮内流道任意计算点直径，（m）

　　叶轮内流道任意点的圆周速度方向是与叶轮径向垂直并与叶轮周向相切的。

②轴面速度vm：

　　由流体力学的连续性方程可以得到叶轮内的轴面运动速度为：

Vm=Qvt/A=Qv/（Aηv）

式中，Qvt——理论流量（m3/s）

Qv——实际流量（m3/s）

ηv——容积效率（％）

A——与Vm垂直的实际过流截面面积（m2）

根据定义，Vm的方向应该是沿叶轮径向流动的。

理论过流截面面积为πDb，由于实际叶轮叶片具有一定厚度，所以实际过流截面面积A应小于理论值。

③相对速度W的方向（或称β角）

根据叶轮机械计算模型第一条假设条件，当叶片为无限多、无限薄时，相对速度w的方向应与叶片形线相应点处的切线方向一致。

求得上述：

u、vm、β三个条件后，即可通过解析法或图解法求叶轮流道内的流体流动的速度三角形。

④叶轮内流速度三角形求解：

3、Euler方程的建立与分析

根据单位时间内两叶片间及叶轮进、出口流体对转轴动量矩的变化规律（动量矩定理），可以导出叶轮机械的基本理论方程。

参见P23图1-6，设，经单位时间:

dt流进（1-1-1/-1/）与流出（2-2-2/-2/）的微元质量均为:

单位时间内流入流体对转轴动量矩：

单位时间内流出流体对转轴动量矩：

动量矩定理：

差值为叶轮对流体转矩：

叶轮转速为ω则传递给流体的功率：

∵u2=r2ω，V2u∞=V2∞cosα2，u1=r1ω，V1u∞=V1∞cosα1

∴离心式叶轮基本理论方程（即能量方程，也称Euler方程）：

注意：

上式与工作介质密度无关。

对于风机来说，通常用风压表示，即：

注意：

上式与工作介质密度有关。

由速度三角形根据余弦定理可推导得出离心式叶轮基本理论方程的第二种表达式：

上式中，前两项称为水泵的静扬程：

Hst∞

后一项称为水泵的动扬程：

Hd∞

静扬程与扬程之比又称为反作用度：

τ＝Hst∞/HT∞

显然，反作用度τ实际上是反映出不同β2a的速度三角形所对应的动、静扬程各自所占的比例（参见P27，图1-8“不同β2a的速度三角形及反作用度τ与β2a的关系”）。

４、离心式泵与风机叶轮、叶片的型式与叶片的形状及其特性

（1）离心式泵与风机叶轮的基本形式

①封闭式叶轮的型式及其特性：

参见P8，图0-14（a）、（b）

②半开式叶轮的型式及其特性：

参见P8，图0-14（c）

③全开式叶轮的型式及其特性：

参见P8，图0-14（d）

（2）离心式泵与风机叶轮叶片型式及其特性

由出口速度三角形得到：

式中，轴面速度（绝对速度的径向分速度）：

将上式代入Euler方程得到：

显然对于已给定参数的叶轮来说，理论扬程HT∞与理论流量QT之间呈线性关系。

直线的斜率为：

直线的截距为：

①叶轮叶片出口角β2∞的影响

根据前面所得到的结果可知：

叶轮叶片出口角β2∞的变化只影响斜率，而不影响其截矩。

我们可以对以下三种情况进行讨论：

a）β2∞＜90°（后向叶轮）：

b）β2∞＝90°（径向叶轮）：

c）β2∞＞90°（前向叶轮）：

a）β2∞＜90°（后向叶轮）：

∵β2∞＜90°，

∴ctgβ2∞＞0，

则斜率为：

＜0

所以，理论扬程HT∞与理论流量QT之间的关系呈一条自左向右的下降直线。

b）β2∞=90°（径向叶轮）：

∵β2∞=90°，

∴ctgβ2∞=0，

则斜率为：

=0

所以，理论扬程HT∞与理论流量QT之间的关系呈一条自左向右的直线。

c）β2∞＞90°（前向叶轮）：

∵β2∞＞90°，

∴ctgβ2∞＜0，

则斜率为：

＞0

所以，理论扬程HT∞与理论流量QT之间的关系呈一条自左向右的上升直线。

（3）叶片的形状及其特性

直线形状的叶片：

工艺性好、效率低；

机翼形状的叶片：

效率高、工艺性低；

圆弧形状的叶片：

效率和工艺性介于上述两者之间。

5、关于叶片厚度与叶片数假设的修正

（1）关于叶片厚度（B≠0）问题

（2）关于有限叶片数（Z≠∞）问题

（1）关于叶片厚度（S≠0）问题

　　由于叶片存在实际厚度Ｓ，而其周向厚度则为σ，如图1-5所示：

σ＝Ｓ／sinβ

　　设，叶轮叶片数为Ｚ；叶片宽度为b；叶片所排挤的总面积为Ｚbσ；叶轮实际过流截面面积应为：

Ａ＝πＤb-Ｚbσ

Ａ＝πＤb-Ｚσb＝πＤb-ＺbＳ／sinβ

＝πＤb（1-ＺＳ／πＤsinβ）

令，排挤系数：

ψ＝（1-ＺＳ／πＤsinβ）＜1

则，叶轮的实际过流截面面积为：

Ａ＝πＤbψ＜πＤb

代入叶轮内的轴面运动速度公式：

Vm＝Qv/（Aηv）＝Qv/（πＤbψηv）

（2）关于有限叶片数（Z≠∞）问题

有限叶片叶轮中，由于轴向涡流的作用，流体离开叶轮时，相对速度方向往叶轮旋转的反方向偏转了一个角度，流体的实际相对速度出口角从β2∞减小为β2。

由于轴向涡流，叶轮出口流体的相对速度产生滑移，绝对速度的圆周分速度的缩小值称为滑移速度：

ΔV2u=V2u∞-V2u，

迄今为止通常采用环流系数K或滑移系数σ来衡量其大小。

①环流系数K定义为：

　　Ｋ＝V2u／V2u∞

＝1-ΔV2u/V2u∞

②滑移系数σ定义为：

　　σ＝（u2-ΔV2u）/u2　　

＝1-ΔV2u/u2

两者的关系为：

Ｋ＝１－（１－σ）u2／V2u∞

设，叶片入口角α1=90°（即，进口无预旋），则额定工况下，流体沿径向进入叶轮，即V1u∞=0，代入Euler方程得

无限叶片数叶轮所产生的扬程：

考虑到有限叶片数叶轮所产生的速度滑移时，可以得到：

显然，ＨT＜HT∞

考虑实际叶轮为有限叶片数（Z≠∞）影响后的泵与风机的“流量——扬程”特性曲线将由一个下降。

显然，ＨT＜HT∞，其比值为：

ＨT/HT∞=V2u/V2u∞=K＜1

将环流系数K与滑移系数σ的关系式代入上式：

ＨT=KHT∞=（１-（１-σ）u2／V2u∞）HT∞

并可推导得出（推导过程略，参见教材Ｐ33中的公式1-34）：

ＨT=u22σ-u2w2mcotβ2a/g

工程上目前通常应用经验公式求解流环系数K与滑移系数σ（参见教材P33～35公式：

1－35、1－42、1－44、1-45及公式：

1-46、1-47、1-48）

6．流体进入叶轮前的预旋

（1）强制预旋：

由进口部件结构因素（如螺旋形吸入室或导叶等）所造成。

参见P36,图1-15，具有强制预旋的进口速度三角形，

当预旋方向与叶轮旋转方向一致时，称为正预旋；

当预旋方向与叶轮旋转方向相反时，称为负预旋。

（2）自由预旋：

由于实际流量偏离额定流量所造成。

P36,图1-16为实际流量偏离额定流量造成自由预旋的进口速度三角形，

图1-16（a）实际流量小于额定流量造成与叶轮旋转方向一致的正预旋；

图1-16（b）实际流量大于额定流量造成与叶轮旋转方向相反的负预旋。

二、轴流式泵与风机工作原理

1、轴流式泵与风机的特性分析

2、轴流式泵与风机叶轮内部流动及其速度三角形

3、升力理论及翼型和叶栅的气动特性

4、轴流式泵与风机的能量方程

5、轴流式泵与风机的基本形式

1、轴流式泵与风机的特性分析（注意与离心式泵与风机的比较分析）

（1）流体沿轴向进入并流出叶叶轮。

（2）由旋转的叶轮叶片对流体作用的升力来输送流体，并完成能量的转化。

（3）结构简单紧凑、能够实现动叶调节。

（4）流量大、压力（扬程）低、比转速高。

对于相同规格的离心式与轴流式泵与风机来说，轴流式叶轮叶片进出口圆周速度相等，其基本理论方程的第一项为零，而对于离心式泵与风机，叶轮叶片进出口圆周速度通常相差很大。

离心式泵与风机：

静压高、流量小，所以比转数低。

轴流式泵与风机：

流量大、静压低，所以比转数高。

2、轴流式泵与风机的叶轮内部流动及其速度三角形

设，图1-19中各圆柱形微元流层互不相关，则可将叶轮内的空间流动简化为n个（如５个）柱面流动，并展开为如下图1-20所示平面直列叶栅。

　　叶栅栅距：

t=2πr/z

　　翼型弦长：

b

　　叶片进、出口角：

β1、β2

进、出口相对速度：

w1、w2

　　进、出口圆周速度相等：

u1=u2=u

图1-21所示为展开的n个互不相关的圆柱形微元流层中的一个，流体质点的绝对速度V等于相对

速度w和圆周速度u的矢量和,并且,V可分解为圆周分速度Ｖu和轴向分速度Va。

根据上述三个条件即可通过做图或解析法求解叶轮进、出口速度三角形。

（1）进口速度三角形

①　圆周速度：

u1=u

②　轴向速度：

V1a=Va=W1a=Wa

③　绝对速度的圆周分速度：

V1u一般应取决于叶轮进口条件（如进口是否有导叶等）

①　圆周速度：

u1=πD1n/60

式中，n——叶轮转速（r/min）

　　　Ｄ１——圆柱形微元流层所在位置的直径（m）

∵对于某一个流层来说Ｄ１不变，而叶轮转速也是固定的

∴必然有：

u1=u

②　轴向速度：

V1a=4Qv/[π（D22-dh2）ηvψ]

式中，Qv——体积流量（m3/s）

Ｄ２——叶轮外径（m）

dh——轮毂直径（m）

ηv——容积效率（％）

ψ——排挤系数，通常与翼型最大厚度δ、叶栅栅距t、翼型安装角βa等有关。

工程计算公式：

ψ=1-2δ/（3tsinβa）

∵对于某一固定工况来说Qv不变，而叶轮外径和轮毂直径也是固定的

∴　必然有：

V1a=Va=W1a=Wa

③　绝对速度圆周分速度：

V1的圆周分速度一般有两种情况：

　　（a）有进口导叶：

V1u≠0（（如带导叶或螺旋进口，V1u的确定见轴流式泵与风机型式等章节）

　　（b）无进口导叶：

V1u=0

根据上述条件即可通过做图或解析法求解叶轮进口速度三角形。

（２）出口速度三角形

①　圆周速度：

u2=u=u1

②　轴向速度：

V2a=Va=V1a=W1a=Wa=W2a

③　绝对速度的圆周分速度：

∵HT=uV2u/g，∴V2u=gHT/u

根据上述条件即可通过做图或解析法求解叶轮出口速度三角形。

（3）无穷远处来流速度的设定与求解

为求解翼型上所受到的升力和阻力，需要研究翼型周围一定距离处相当于无限远来流的速度W∞。

理论上该速度不受翼型影响的，但对叶轮机械的叶栅翼型的绕流来说，则会影响其大小和方向，所以工程上将叶栅前后的相对速度W1和W2的几何平均值作为W∞。

在解得叶片进出口速度三角形的基础上，只要将两者叠加并确定CD的中点E，然后连接BE即得到叶栅前后的相对速度W1和W2的几何平均值作为无限远来流的速度W∞（参见图1-23）。

同时解得W∞与圆周速度反方向间夹角：

３、升力理论及翼型和叶栅的气动特性

由于轴流式水泵与风机通常采用机翼型叶片，因此工程上一般采用升力理论来进行轴流式水泵与风机的研究分析和设计计算，本节主要讨论升力理论、翼型和叶栅的空气动力学特性及比较分析。

（1）翼型及其空气动力特性

如图1-24种的翼型主要参数为：

①弦长b：

前后缘的连线

②翼展l：

垂直于纸面的翼长

③弯度f：

骨架线与弦长间距

④厚度δ：

翼型上下表面间距

⑤冲角α：

来流与弦长间夹角

绕流翼型的升力定理

设，如图1-25和1-26所示的理想流体平面势流留场中有一翼型，当流体绕流翼型时，翼型上将产生一个升力，由儒柯夫斯基升力定理，该升力为流体密度ρ、绕翼型的速度环量Γ和无限远处来流速度V∞的乘积：

Fy1=ρΓV∞

式中，速度环量Γ与翼型的弦长b、无限远处来流速度V∞及翼型升力系数Cy1成正比：

Γ=Cy1bV∞/2

升力方向为速度矢量Ｖ∞绕Γ反方向90°。

将速度环量代入升力公式，得到微元流层上的升力：

Fy1=Cy1ρbV∞2/2

对于翼展为l的翼型，其升力应为：

Fy1=Cy1ρblV∞2/2

同时由于摩擦和压阻的作用，在翼型上还将产生一个阻力，其计算式为：

Fx1=Cx1ρblV∞2/2

式中，Cx1为翼型阻力系数

　　Ｆ为升力与阻力的合力，合力与升力间的夹角为升力角λ：

tanλ=Fx1/Fy1=Cx1/Cy1

翼型的空气动力特性

P44中图1-27为翼型的升力系数Cy1与阻力系数Cx1随冲角α的变化曲线，每种翼型均可通过空气动力学试验做出各自的气动曲线，它可以反映出翼型所各种气动力特性，包括：

①升阻比——升力系数与阻力系数之比，与翼型形状和冲角相关。

②失速点——冲角增大到某临界的升力系数急剧下降时的工况点；

③应用极曲线求解升阻比；

④应用极曲线求解最佳冲角（升阻比最大时所对应的冲角）。

①翼型的升阻比及其气动性能曲线

∵升力系数与阻力系数之比等于升力与阻力之比：

∴Cy1/Cx2=Fy1/Fx2=1/tanλ

式中，λ为升力角。

升阻比越大，说明翼型的空气动力性能越好。

P44中图1-27为某翼型的空气动力学试验曲线——Cy1和Cx2随冲角α的变化曲线，两者均为冲角α的函数。

②升力急剧下降的工况点——失速点

由翼型空气动力性能曲线可以看到，在一定范围内升力随冲角的增大而增大，但当冲角增大到某一临界值时，翼型表面的流体在后缘点处发生了明显的附面层分离，翼型后面形成了较大的涡流区（参P45图1-28），使翼型上下的压差即升力开始由大变小，气动性能开始恶化，通常称该冲角时的工况点为失速点。

参见图1-27，冲角为16º时，升力系数开始下降。

③应用极曲线求解升阻比

参见P45中图1-29，图中纵坐标为升力系数，横坐标为阻力系数，相应的冲角变化曲线称为翼型的极曲线，过原点与该曲线上的任意一点的连线的长度为该冲角下的合力系数，此连线与横坐标轴之间的夹角与升力角有关（在该冲角下，升力系数与阻力系数的比值——升阻比）。

④应用极曲线求解最佳冲角（升阻比最大时相对应的冲角）

为了寻找翼型的最大升阻比及其相对应的冲角，工程上常采用翼型的极曲线法求解。

显然，为求解某翼型的最大升阻比，只要过坐标原点做其极曲线的切线（圆点与极曲线之间斜率的最大的一条连线），这样得到的切点所对应的冲角也就是升力最大的最佳冲角。

（2）叶栅翼型及其空气动力特性

参见P41图1-21，叶栅翼型主要参数包括：

弦长b；栅距t；安装角βa；进口角β1；出口角β2；来流角β∞；冲角α；升力角λ等。

叶栅翼型与前面介绍的翼型一样，当理想流体绕流时其产生的升力和阻力具有相同形式，即：

Fy=CyρblW∞2/2和Fx=CxρblW∞2/2

（3）叶栅翼型与翼型的比较

通过上述讨论可以看到，虽然叶栅翼型与翼型的升力、阻力等求解公式相似，但在求解过程中，两者间存在的一些差异是必须加以考虑的，主要包括：

①叶栅中采用了相对速度的几何平均值W∞替代无穷远处的来流速度V∞。

②流体绕流叶栅翼型时，各个翼型之间相互的影响是孤立翼型绕流时所不存在的。

（4）叶栅翼型与翼型的修正

①当采用某种翼型作为轴流式叶轮叶片设计模型时，对翼型空气动力学性能试验数据须进行修正。

即：

Cy=LCy1

式中，L——升力修正系数

参见P47图1-31：

平板直列叶栅的修正系数，修正系数L与相对栅距t/b、翼型安装角β∞等相关。

②由于叶栅翼型与翼型的阻力系数差异较小，通常忽略其影响，即：

Cx≈Cx1

4、轴流式泵与风机的能量方程

（1）应用动量矩定理推导能量方程

（2）应用升力理论推导能量方程

（1）应用动量矩定理推导能量方程

根据动量矩定理推得Euler方程：

由进出口速度三角形：

V1u=u–Vactgβ1

　　V2u=u–Vactgβ2

代入上式得轴流泵的能量方程：

同理，得轴流风机的能量方程：

可见，β2与β1的差值越大，轴流式叶轮做功能力则越大。

再根据能量方程的第二种表达式

∵由轴流叶轮的速度三角形：

u1=u2

∴代入上式可以得到轴流式叶轮机械的能量方程的第二种表达式：

（2）应用升力理论推导能量方程

∵平面直列叶栅是半径为r和r+dr的两个同心圆柱面的展开面，垂直于纸面方向的翼展长度为dr，

其产生的升力为：

升力与阻力的夹角为λ,则

∴流体作用叶栅翼型上的合力F在圆周方向上的分量为：

反之叶栅翼型对流体的反作用力应大小相等、方向相反（与u一致）

因此，当叶轮旋转时，单位时间内叶栅翼型对流体所做的功率为：

dN=Fu×u×Z=×u×Z

式中，Ｚ——叶片数

又根据叶轮机械输送的流体所获得功率的定义：

　　dN/=ρgHTdQV＝ρgHTＶa2πrdr=ρgHTＶatZdr

显然，dN=dN/

可得应用升力理论所推出的轴流泵能量方程的第三种表达式：

同理，可得到应用升力理论所推出的轴流风机能量方程的第三种表达式

轴流泵能量方程的第四种表达式

由速度三角形：

又有Euler方程：

将两式代入轴流泵能量方程的第三种表达式，得到：

式中，

代入上式得轴流泵能量方程第四种表达式（常用设计计算式）：

上述公式反映了叶栅与流动参数关系。

5、轴流式泵与风机基本形式

（1）无导叶式：

仅有一旋转叶轮，进出口均不带导叶。

（2）出口导叶式：

除一旋转叶轮外，在叶轮出口处带一个固定的后置静导叶。

（3）进口导叶式：

除一旋转叶轮外，在叶轮进口处带一个固定或可调节的前置导叶

（4）进出口导叶式：

除一旋转叶轮外，在叶轮的出口处带一个固定的后置静导叶，而在叶轮的进口处则带有一个固定或可调节的前置导叶。

（1）无导叶轴流式泵与风机

①仅有一个旋转叶轮，在叶轮的进口和出口均不带导叶（参见P49中的图1-33a）

②进口无预旋（V1u=0）、流体沿轴向进入叶轮。

③出口流动具有一个旋转的圆周分速度（V2u≠0），因此在出口伴随着由于旋转运动所造成的能量损失。

④结构简单、制造维护成本相对较低。

（2）出口带导叶轴流式泵与风机

①除旋转叶轮外，叶轮出口处带一个固定的后置静导叶（参见P49中的图1-33b）。

②进口无预旋（V1u=0）、流体沿轴向进入叶轮。

③出口导叶可消除叶轮出口圆周分速（V2u=0），使这部分旋转动能转化为压力能，减少损失、提高效率。

④结构相对复杂，增加了一定的制造与维护成本。

（3）进口带导叶轴流式泵与风机

①除旋转叶轮外，在其进口处带一个固定或可调节的前置导叶（见P49中的图1-33c）。

②前置导叶能使流体进入叶轮前产生反预旋（V1u<0），增加了进口相对速度W1，其好处是提高了流体能量，但也使流动损失增大，对水泵会降低其必须汽蚀余量。

③若将进口导叶制作成可调节式的，可达到运行工况调节的目的。

④结构相对复杂，增加了一定的制造与维护成本。

（4）进、出口带导叶轴流式泵与风机

①除旋转叶轮外，在叶轮的出口处带一个固定的后置静导叶，而在叶轮的进口处则带有一个固定或可调节的前置导叶（见P49图1-33d）。

②这种形式的产品将会兼有进口导叶和出口带导叶轴流式泵与风机的长处和短处。

③结构复杂，制造与维护困难，成本也更高。