人教版八年级数学上册第13章 13322 含30角的直角三角形的性质 培优训练含答案.docx

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人教版八年级数学上册第13章13322含30角的直角三角形的性质培优训练含答案

人教版数学八年级上册

13.3.2.2　含30°角的直角三角形的性质

培优训练

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）

A．6米B．9米

C．12米D．15米

2．如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为（　　）

A．4mB．8m

C．10mD．16m

3．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为1.5米，为了方便下货，常用一块木板搭成一个斜面，要使斜面与水平地面的夹角不大于30°，则这块木板的长度至少为（　　）

A．3米B．2.5米

C．2米D．0.75米

4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝10，则PD等于（）

A．10B．20

C．5D．2.5

5．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于（　　）

A．2∶1B．1∶2

C．1∶3D．2∶3

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）

A．3.5B．4.2

C．5.8D．7

7．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB的长度是（　　）

A．2cmB．4cm

C．8cmD．16cm

8．如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，若BC＝6，则AB的长为（　　）

A．2B．3

C．9D．12

9．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（）

A．30°B．60°

C．30°或150°D．不能确定

10．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）

A．300a元B．150a元

C．450a元D．225a元

二．填空题（共8小题，3*8=24）

11．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为_________米．

12．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图如图所示，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________m.

13．如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A＝30°，BD＝1cm，那么∠BCD＝______，BC＝_______cm，AD＝_______cm.

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝_______．

15．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若OD＝4cm，则PE的长为________cm.

16．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是______cm2.

17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE的长为________．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，且BM＝3，则CM＝_________．

三．解答题（共7小题，46分）

19．（6分）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求DF的长．

20．（6分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，∠ABD＝30°，∠CBD＝90°，求证：

AB＝2BC.

21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，添加一个你认为适当的条件，并利用此条件说明BD＝

AB.

22．（6分）台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测到距A市正北方向200千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以18千米/时的速度沿直线向C移动，且台风中心风力不变．已知每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，若A市所受风力不到4级，则称不受台风影响．根据以上信息回答下列问题：

（1）A市是否会受到这次台风影响？

请说明理由．

（2）若A市受影响，所受最大风力是几级？

23．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，如果DE＝1，求BC的长．（提示：

连接AD）

24．（8分）如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长．

25．（8分）如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.

（1）若AD＝2，求AF的长；

（2）求当AD取何值时，DE＝EF?

参考答案：

1-5BAACB6-10DCDCB

11.12

12.4

13.30°，2，3

14.3

15.2

16.18

17.6

18.6

19.解：

∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，

∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，

∴DE＝CD＝2.

∵DE⊥EF，∴∠F＝30°，

∴DE＝

DF，∴DF＝2DE＝4

20.解：

延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，

∵BD是AC边上的中线，∴AD=CD，∠ADE＝∠CDB，DE＝BD，

∴△ADE≌△CDB（SAS），

∴∠AED＝∠CBD＝90°，AE＝BC，

∵∠ABD＝30°，

∴在Rt△ABE中，AB＝2AE，∴AB＝2BC

21.解：

当∠A＝30°时，BD＝

AB，理由如下：

∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，

在Rt△ABC中，BC＝

AB.

又CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，

则BD＝

BC，∴BD＝

×

AB＝

AB

22.解：

（1）作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝200千米，

∴AD＝

AB＝100千米．由题意知，受台风影响范围的半径为20×（12－4）＝160（千米），

∵AD＝100千米＜160千米，∴A市将受到台风影响　

（2）当台风中心位于D处时，A市所受风力最大，其风力为12－

＝7（级）

23.解：

连接AD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

又∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.

又∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB.∴∠B＝∠DAB＝30°，

∴∠DAC＝90°.又∵DE＝1，

∴BD＝AD＝2DE＝2，

∴CD＝2AD＝4，∴BC＝BD＋CD＝6

24.解：

∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC.

又∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.

∴∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝∠BAP＋∠CAD＝∠BAC＝60°.

又∵BQ⊥PQ，∴∠AQB＝90°，∴∠PBQ＝30°，∴PQ＝

PB，

∴PB＝2PQ＝6，∴BE＝PB＋PE＝6＋1＝7，

∴AD＝BE＝7

25.解：

（1）∵BD＝AB－AD＝8－2＝6，

又∵∠BDE＝90°－60°＝30°，∴BE＝

BD＝3，

∴EC＝8－3＝5，

∵∠FEC＝90°－60°＝30°，

∴FC＝

EC＝

，∴AF＝8－

＝

（2）当DE＝EF时，△BDE≌△CEF（AAS），

∴BE＝CF，

∵CF＝

CE，∴BE＝

CE，

又∵BE＋CE＝8，

∴BE＝

，∴BD＝

，

∴AD＝