大学物理第一章答案.docx
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大学物理第一章答案
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：
θ=2+4t3．求：
（1）t=2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]
（1）角速度为
ω=dθ/dt=12t2=48（rad·s-1），
法向加速度为
an=rω2=230.4（m·s-2）；
角加速度为
β=dω/dt=24t=48（rad·s-2），
切向加速度为
at=rβ=4.8（m·s-2）．
（2）总加速度为a=（at2+an2）1/2，
当at=a/2时，有4at2=at2+an2，即
．
由此得，
即，
解得．
所以
=3.154（rad）．
（3）当at=an时，可得rβ=rω2，
即24t=（12t2）2，
解得t=（1/6）1/3=0.55（s）．
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at=2h/Δt2=0.2（m·s-2）．
物体下降3s末的速度为
v=att=0.6（m·s-1），
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
=0.36（m·s-2）．
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
．
由题意得h=h1-h2，所以
，
解得时间为
=0.705（s）．
算得h2=-0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a+g，而初速度为零，可列方程
h=（a+g）t2/2，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
第一章质点运动学
1.1一质点沿直线运动，运动方程为x（t）=6t2-2t3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；
（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
[解答]
（1）质点在第1s末的位移大小为
x
（1）=6×12-2×13=4（m）．
在第2s末的位移大小为
x
（2）=6×22-2×23=8（m）．
在第2s内的位移大小为
Δx=x
（2）–x
（1）=4（m），
经过的时间为Δt=1s，所以平均速度大小为
=Δx/Δt=4（m·s-1）．
（2）质点的瞬时速度大小为
v（t）=dx/dt=12t-6t2，
因此v
（1）=12×1-6×12=6（m·s-1），
v
（2）=12×2-6×22=0，
质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs=Δx=4m．
（3）质点的瞬时加速度大小为
a（t）=dv/dt=12-12t，
因此1s末的瞬时加速度为
a
（1）=12-12×1=0，
第2s内的平均加速度为
=[v
（2）-v
（1）]/Δt=[0–6]/1=-6（m·s-2）．
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．
1.2一质点作匀加速直线运动，在t=10s内走过路程s=30m，而其速度增为n=5倍．试证加速度为．
并由上述数据求出量值．
[证明]依题意得vt=nvo，
根据速度公式vt=vo+at，得
a=（n–1）vo/t，
（1）
根据速度与位移的关系式vt2=vo2+2as，得
a=（n2–1）vo2/2s，
（2）
（1）平方之后除以
（2）式证得
．
计算得加速度为
=0.4（m·s-2）．
1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g=10m·s-2．问：
（1）矿坑有多宽？
他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？
速度与水平面的夹角？
[解答]方法一：
分步法．
（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为
vy0=v0sinθ=24.87（m·s-1）．
取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式
vt-v0=at，
这里的v0就是vy0，a=-g；当他达到最高点时，vt=0，所以上升到最高点的时间为
t1=vy0/g=2.49（s）．
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
vt2-v02=2as，
可得上升的最大高度为
h1=vy02/2g=30.94（m）．
他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为
h2=h1+h=100.94（m）．
根据自由落体运动公式s=gt2/2，得下落的时间为
=4.49（s）．
因此他飞越的时间为
t=t1+t2=6.98（s）．
他飞越的水平速度为
vx0=v0cosθ=60.05（m·s-1），
所以矿坑的宽度为
x=vx0t=419.19（m）．
（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
vy=gt=69.8（m·s-1），
落地速度为
v=（vx2+vy2）1/2=92.08（m·s-1），
与水平方向的夹角为
φ=arctan（vy/vx）=49.30?
，
方向斜向下．
方法二：
一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y=vy0t-gt2/2，移项得时间的一元二次方程
，
解得
．
这里y=-70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为
t=6.98（s）．
由此可以求解其他问题．
1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt=-kv2，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为．
[证明]
（1）分离变量得，
积分，
可得．
（2）公式可化为，
由于v=dx/dt，所以
积分．
因此．证毕．
[讨论]当力是速度的函数时，即f=f（v），根据牛顿第二定律得f=ma．
由于a=d2x/dt2，
而dx/dt=v，
所以a=dv/dt，
分离变量得方程
，
解方程即可求解．
在本题中，k已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则
dv/dt=-kvn．
（1）如果n=1，则得
，
积分得
lnv=-kt+C．
当t=0时，v=v0，所以C=lnv0，因此
lnv/v0=-kt，
得速度为
v=v0e-kt．
而dv=v0e-ktdt，积分得
．
当t=0时，x=0，所以C`=v0/k，因此
．
（2）如果n≠1，则得，积分得
．
当t=0时，v=v0，所以，因此
．
如果n=2，就是本题的结果．
如果n≠2，可得
，
读者不妨自证．
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：
θ=2+4t3．求：
（1）t=2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
[解答]
（1）角速度为
ω=dθ/dt=12t2=48（rad·s-1），
法向加速度为
an=rω2=230.4（m·s-2）；
角加速度为
β=dω/dt=24t=48（rad·s-2），
切向加速度为
at=rβ=4.8（m·s-2）．
（2）总加速度为a=（at2+an2）1/2，
当at=a/2时，有4at2=at2+an2，即
．
由此得，
即，
解得．
所以
=3.154（rad）．
（3）当at=an时，可得rβ=rω2，
即24t=（12t2）2，
解得t=（1/6）1/3=0.55（s）．
1.6一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v=300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a=20m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？
在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x=v0cosθ，
v0y=v0sinθ．
加速度的大小为
ax=acosα，
ay=asinα．
运动方程为
，
．
即，
．
令y=0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t=0（舍去）；（s）．
将t代入x的方程求得x=9000m．
[注意]选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果．
1.7一个半径为R=1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度．
由于，所以
at=2h/Δt2=0.2（m·s-2）．
物体下降3s末的速度为
v=att=0.6（m·s-1），
这也是边缘的线速度，因此法向加速度为
=0.36（m·s-2）．
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
．
由题意得h=h1-h2，所以
，
解得时间为
=0.705（s）．
算得h2=-0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[注意]以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a+g，而初速度为零，可列方程
h=（a+g）t2/2，
由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离．
1.9有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处．已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变．
（1）如果u=0（空气静止），试证来回飞行的时间为；
（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；
（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为．
[证明]
（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0=2l/v．
（2）飞机向东飞行顺风的速率为v+u，向西飞行逆风的速率为v-u，所以飞行时间为
．
（3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度．为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为，所以飞行时间为
．证毕．
1.10如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
[解答]雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα=l/h．
方法一：
利用直角三角形．根据直角三角形得
v1=v2sinθ+v3sinα，
其中v3=v⊥/cosα，而v⊥=v2cosθ，
因此v1=v2sinθ+v2cosθsinα/cosα，
即．证毕．
方法二：
利用正弦定理．根据正弦定理可得
，
所以
，
即．
方法三：
利用位移关系．将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为
l=（v1–v2sinθ）t，
h=v2cosθ?
t．
两式消去时间t即得所求．证毕．
2.12质量为m的物体，最初静止于x0，在力（k为常数）作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v=[2k（1/x–1/x0）/m]1/2．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
利用v=dx/dt，可得
，
因此方程变为
，
积分得
．
利用初始条件，当x=x0时，v=0，所以C=-k/x0，因此
，
即．证毕．
[讨论]此题中，力是位置的函数：
f=f（x），利用变换可得方程：
mvdv=f（x）dx，积分即可求解．
如果f（x）=-k/xn，则得
．
（1）当n=1时，可得
．
利用初始条件x=x0时，v=0，所以C=lnx0，因此，
即．
（2）如果n≠1，可得
．
利用初始条件x=x0时，v=0，所以，
因此，
即．
当n=2时，即证明了本题的结果．
2.13一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v（t）；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]
（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
，
分离变量得
，
积分得
．
当t=0时，v=v0，所以
，
因此
，
小球速率随时间的变化关系为
．
（2）当小球运动到最高点时v=0，所需要的时间为
．
[讨论]
（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．
由于v=dx/dt，所以
，
即
，
积分得
，
当t=0时，x=0，所以
，
因此
．
（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
．
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：
不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm=mg/k．
2.14如图所示：
光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即
N=mv2/R．
物体所受的摩擦力为
f=-μkN，
负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据牛顿第二定律得
，
即．
积分得
．
当t=0时，v=v0，所以
，
因此．
解得．
由于
，
积分得
，
当t=0时，x=x0，所以C=0，因此
．
2.15如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为
F=mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为
r=Rsinθ．
根据向心力公式得
F=mgtgθ=mω2Rsinθ，
可得
，
解得．
2.16如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F=-kx，而位移x=Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t=0到t=π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
[解答]方法一：
利用冲量公式．根据冲量的定义得
dI=Fdt=-kAcosωtdt，
积分得冲量为
，
方法二：
利用动量定理．小球的速度为
v=dx/dt=-ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为
p1=mv1=0，
末动量为
p2=mv2=-mωA，
小球获得的冲量为
I=p2–p1=-mωA，
可以证明k=mω2，因此
I=-kA/ω．
2.17一个质量m=50g，以速率的v=20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
[解答]小球动量的大小为
p=mv，
但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
得，
由此可作矢量三角形，可得
．
因此向心力给予小球的的冲量大小为
=1.41（N·s）．
[注意]质点向心力大小为F=mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
．
假设小球被轻绳拉着以角速度ω=v/R运动，拉力的大小就是向心力
F=mv2/R=mωv，
其分量大小分别为
Fx=Fcosθ=Fcosωt，
Fy=Fsinθ=Fsinωt，
给小球的冲量大小为
dIx=Fxdt=Fcosωtdt，
dIy=Fydt=Fsinωtdt，
积分得
，
，
合冲量为
，
所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
2.18用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？
设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
[解答]球上升初速度为
=14（m·s-1），
其速度的增量为
=24.4（m·s-1）．
棒给球冲量为
I=mΔv=7.3（N·s），
对球的作用力为（不计重力）
F=I/t=366.2（N）．
2.19如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？
C开始运动时的速度是多少？
（取g=10m·s-2）
[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
Mg–T=Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程
T=Ma，
联立方程可得
a=g/2=5（m·s-2）．
根据运动学公式
s=v0t+at2/2，
可得B拉C之前的运动时间
=0.4（s）．
此时B的速度大小为
v=at=2（m·s-1）．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得
2Mv=3Mv`，
因此C开始运动的速度为
v`=2v/3=1.33（m·s-1）．
2.22如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？
重力和摩擦力各做了多少功？
[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧位移的大小为
ds=Rdθ．
重力的大小为
G=mg，
方向竖直向下，与位移元的夹角为π+θ，所做的功元为
，
积分得重力所做的功为
．
摩擦力的大小为
f=μkN=μkmgcosθ，
方向与弧位移的方向相反，所做的功元为
，
积分得摩擦力所做的功为
．
要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力、摩擦力和马的拉力就是平衡力，即，
或者．
拉力的功元为
，
拉力所做的功为
．
由此可见：
重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
2.23一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求：
（1）摩擦力所做的功；
（2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
[解答]
（1）质点的初动能为
E1=mv02/2，
末动能为
E2=mv2/2=mv02/8，
动能的增量为
ΔEk=E2–E1=-3mv02/8，
这就是摩擦力所做的功W．
（2）由于
dW=-fds=-μkNds=-μkmgrdθ，
积分得
．
由于W=ΔE，可得滑动摩擦因数为
．
（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为
at=f/m=-μkg，
根据公式vt2–vo2=2ats，可得质点运动的弧长为
，
圈数为n=s/2πr=4/3．
[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量
-fs=ΔEk，
可得s=-ΔEk/f，
由此也能计算弧长和圈数。
2.24如图所示，物体A的质量m=0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M
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