NOIP复赛谈.docx

NOIP复赛谈.docx

《NOIP复赛谈.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《NOIP复赛谈.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

NOIP复赛谈

NOIP复赛谈

Ø复赛的命题

1．准循大纲：

考察常用的数据结构和基本算法；

2．考察能力：

包括阅读理解能力、构建数学模型的能力、程序编码与调试能力、程序的时空性能分析和测试数据的生成能力、各种知识的综合应用能力等；

3．有区分度：

一般3-4题，复赛题目的特点是：

1-2题算法和数据结构比较明显、或者和数学关系比较大的题目，得率比较高；1题好上手，但程序量要大一点或数据规模大的题目，考虑全面、得满分也不容易；还有1题一般是搜索、或者算法不明显、或者用到复杂高深一点的数据结构的题目，难度较大。

但顺序不一定！

！

！

Ø如何备战复赛

1.做做以往历年的竞赛题和网上的模拟题，熟悉比赛的题型和要求，找出自己的不

足，加强训练；

2.增强自己编写代码和调试的熟练程度，提高做题的时间和节奏感；

3.熟练掌握文件的输入/输出操作，新大纲中对复赛的要求；

4.提高自己设计测试数据的能力；

5.提高自己做题的正确率（分数/时间）；

6.算法方面：

递推、递归、动态规划、贪心、搜索（初中到回溯就差不多了）基本

上是必考！

！

！

对一些经典问题和算法，一定要熟练的不能再熟练；

7.数据结构方面：

字符串经常考，树（尤其二叉树）、图的基本算法（最短路径、最

小生成树等）；

Ø复赛注意事项

1.认真审题，尤其要注意问题的规模（数据范围），从某种意义上说，问题规模也暗示了你可能的算法。

数据小，也许是搜索派上用场的时候；数据大了，可能只能考虑动态规划，数学方法等高算法了。

2.正确的估计题目的难度和自己的水平。

拿到试题后先从总体上分析一下题目，做到心中有数！

注意：

题目的难易对所有人是公平的，只要最大限度地发挥自己的水平，不要有包袱，考出自己的最佳成绩。

3.正确地选择题目去做（最擅长、最简单的先完成），合理地安排时间和解题顺序。

4.复赛中：

一定提高正确率！

！

！

解题速度是其次。

5.复赛考查的算法并不困难，选手在实现上的问题往往要多一些。

建议大家：

1）充分利用草稿纸，不要对自己的“心算能力”太自信！

编程熟练的同学喜欢“一气呵成”，拿到题目就开始编码。

我认为这样不好，做信息学竞赛题的思维过程是丰富而曲折多变的，考虑问题必须全面，仅凭一时的“感觉”来编程往往是漏洞百出。

比如初学者常常忘记做一些初始化工作（远不止变量赋初值这种最简单的），即使有经验的同学也难免因一时疏忽写出几个错误的语句。

最要命的是“第一感觉”的算法是错误的或者效率太低（命题者的陷阱），而程序编了大半才发现，时间浪费了不说，还影响了信心和发挥。

2）做一些复杂的题目，编码采取自顶向下，逐步求精的方法，调试时采用输出中间结果的办法及时找出错误的地方。

可以这么说，思路越清晰，对自己程序的算法和编码越了解，调试也会越顺利（一定不要忽视这一点）。

3）多测试：

样例数据、极限（小大）数据、特殊数据，分析能否在规定的时空范围内出解，精度是否够，格式是否对，输入输出文件名、格式是否正确等。

4）不一定要拿满分，有些题目如果你很拿手，也肯定能做对，那么一定要保证拿满分；但有些题目，在有限的竞赛时间里，你很难拿满分，或者自己觉得没有足够的时间和信心，没有好的方法，那么在很少的时间内用投机取巧的方法（如贪心等）能得到不错的分数，也是一种很大的成功。

Ø历年复赛题目分布如下（1997年以来）

题目

名称

算法

参考难度

1997-c1

数矩形

数学（乘法原理）

*

1997-c2

数字三角形

穷举

*

1997-c3

数路径

递推（迭代）+加法原理+高精度

***

1997-g1

素数方阵

递归回溯+构造

**

1997-g2

表达式判错

字符串+栈

**

1997-g3

骑士游历

宽搜+递推

**

1998-c1

1:

2:

3

穷举

*

1998-c2

S!

高精度

*

1998-c3

2的幂次方

递归+二进制

***

1998-g1

上下车问题

递推或者枚举

*

1998-g2

连接多位数

贪心+字符串

**

1998-g3

加法表

递归+直接判断

***

1999-c1

Cantor表

数学

*

1999-c2/g2

回文数

字符串

**

1999-c3/g3

旅行家的预算

贪心

***

1999-g1

导弹拦截

动态规划、贪心

**

1999-g4

邮票面值设计

搜索+优化

***

2000-c1

计算器的改良

字符串

*

2000-c2

税收与补贴问题

数学或穷举

**

2000-c3/g2

乘积最大

动态规划+高精度

***

2000-c4/g3

单词接龙

回溯

**

2000-g1

进制转换

类比+穷举

**

2000-g4

方格取数

动态规划

***

2001-c1

数的计数

递归或递推或动态规划

*

2001-c2

最大公约数与最小公倍数

穷举+优化+乘法原理

**

2001-c3

二叉树的先序序列

递归或穷举，构造

**

2001-c4

装箱问题

宽搜+hash表，或动态规划

***

2001-g1

一元三次方程求解

穷举或随机化+迭代

**

2001-g2

数的划分

递推或动态规划

**

2001-g3

统计单词个数

贪心或随机化或动态规划

***

2001-g4

Car的旅行路线

图论（Dijkstra算法）

***

2002-c1

级数求和

高精度

*

2002-c2

选数

搜索（递归）

***

2002-c3

产生数

乘法原理+图论

***

2002-c4

过河卒

递推+加法原理+高精度

**

2002-g1

均分纸牌

数学

**

2002-g2

字串变换

广搜（双向）+剪枝

***

2002-g3

自由落体

物理题

**

2002-g4

矩形覆盖

搜索（全国没有1人对）

*****

归纳：

递推、动态规划、贪心、搜索、数学（物理）、图论、高精度、回溯、穷举、字符串

Ø复赛试题分析

1.递推（2002年初中组4：

过河卒）

[问题描述]

棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。

卒行走的规则：

可以向下、或者向右。

同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图中的C点和P1，……，P8，卒不能通过对方马的控制点。

棋盘用坐标表示，A点（0,0）、B点（n,m）（n,m为不超过20的整数）,同样马的位置坐标是需要给出的，C≠A且C≠B。

现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。

[问题分析]

跳马是一道老得不能再老的题目，我想每位编程初学者都学过，可能是在学回溯或搜索等算法的时候，很多书上也有类似的题目，一些比赛中也出现过这一问题的变形（如NOIP1997初中组的第三题）。

有些同学一看到这条题目就去搜索，即使你编程调试全通过了，运行时你也会发现：

当n,m=15就会超时。

其实，本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过来（我们称之为左点）或是从上面过来（我们称之为上点），所以根据加法原理，到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起点到终点的路径数目。

障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该点的路径数目设置为0即可。

用F[i,j]表示到达点（i,j）的路径数目，g[i,j]表示点（i,j）有无障碍，g[i,j]=0表示无障碍，g[i,j]=1表示有障碍。

则，递推关系式如下：

F[i,j]=F[i-1,j]+F[i,j-1]{i>0且j>0且g[x,y]=0}

递推边界有4个：

F[i,j]=0{g[x,y]=1}

F[i,0]=F[i-1,0]{i>0且g[x,y]=0}

F[0,j]=F[0,j-1]{j>0且g[x,y]=0}

F[0,0]=1

考虑到最大情况下：

n=20,m=20，路径条数可能会超过MaxLongInt,所以要用高精度（使用Comp类型计数即可）。

程序：

见文件夹。

例1、递推举例：

储油点

[问题描述]

一辆重型卡车欲穿过1000公里的沙漠，卡车耗油为1升/公里，卡车总载油能力为500公升。

显然卡车装一次油是过不了沙漠的。

因此司机必须设法在沿途建立几个贮油点，使卡车能顺利穿越沙漠，试问司机如何建立这些贮油点？

每一贮油点应存多少汽油，才能使卡车以消耗最少汽油的代价通过沙漠？

编程计算及打印建立的贮油点序号，各贮油点距沙漠边沿出发的距离以及存油量。

No．distance（k．m．）oil（litre）

1××××

2××××

3××××

[问题分析]

设dis[i]─第i个贮油点至终点（i=0）的距离；oil[i]─第i个贮油点的存贮油量。

我们可以用倒推法来解决这个问题。

从终点向始点倒推，逐一求出每个贮油点的位置及存油量。

下图表示倒推时的返回点。

终点始点

└───────────┬──┬──────────────┬┘

i=0i=1i=2……i=n

从贮油点i向贮油点i+1倒推的策略是，卡车在点i和点i+1间往返若干次。

卡车每次返回i+1处时正好耗尽500公升汽油，而每次从i+1处出发时又必须装足500公升汽油。

两点之间的距离必须满足在耗油最少的条件下使i点贮足i*500公升汽油的要求（0≤i≤n-1）。

具体地讲，第一个贮油点i=1应距终点i=0处500km且在该处贮藏500公升汽油，这样才能保证卡车能由i=1处到达终点i=0处，这就是说：

dis[1]=500；oil[1]=500。

为了在i=1处贮藏500公升汽油，卡车至少从i=2处开两趟满载油的车至i=1处。

所以i=2处至少存贮2*500公升汽油，即oil[2]=500*2=1000。

另外，再加上从i=1返回至i=2处的一趟空载，合计往返3次。

三次往返路程的耗油量按最省要求只能为500公升，即d1,2=

km。

dis[2]=dis[1]+d1,2=dis[1]+

为了在i=2处贮存1000公升汽油，卡车至少从i=3处开三趟满载油的车至i=2处。

所以i=3处至少存贮3*500公升汽油，即oil[3]=500*3=1500。

加上i=2至i=3处的二趟返程空车，合计5次。

路途耗油量亦应500公升，即d2,3=

km。

dis[3]=dis[2]+d2,3=dis[2]+

依次类推，为了在i=k处贮藏k*500公升汽油，卡车至少从i=k+1处开k趟满载车至i=k处，即oil[k+1]=（k+1）*500=oil[k]+500，加上从i=k返回i=k+1的k-1趟返程空车，合计2*k-1次。

这2*k-1次总耗油量按最省要求为500公升，即dk,k+1=

km。

dis[k+1]=dis[k]+dk,k+1

=dis[k]+

最后，i=n至始点的距离为1000-dis[n]，oil[n]=500*n。

为了在i=n处取得n*500公升汽油，卡车至少从始点开n+1次满载车至i=n，加上从i=n返回始点的n趟返程空车，合计2*n+1次，2*n+1趟的总耗油量应正好为（1000-dis[n]）*（2*n+1），即始点藏油为oil[n]+（1000-dis[n]）*（2*n+1）。

由此得出如下的程序框架（程序略）：

begin

k：

=1；d：

=500；{从i=1处开始向始点倒推}

dis[1]：

=500；oil[1]：

=500；

repeat

k：

=k+1；d：

=d+500/（2*k-1）；

dis[k]：

=d；

oil[k]：

=oil[k-1]+500；

untild>=1000；

dis[k]：

=1000；{置始点至终点的距离值}

d1：

=1000-dis[k-1]；{求贮油点k处至始点的距离}

oil[k]：

=d1*（2*k+1）+oil[k-1]；{求始点藏油量}

fori：

=0tokdo输出第i个贮油点的距离为1000-dis[k-i]，藏油量为oil[k-i]；

end.

程序：

见文件夹。

2.动态规划（2000年初中组3/高中组2:

乘积最大）

[问题描述]

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。

在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。

活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：

312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：

3*12=36

31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：

31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

[输入]

程序的输入共有两行：

第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）

第二行是一个长度为N的数字串。

[输出]

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

[样例输入]

42

1231

[样例输出]

62

[问题分析]

首先，由于问题的规模为6<=N<=40，1<=K<=6，要在长为N的数字串中插入K个乘号使得乘积最大，显然将会超出长整数的范围，所以运算要用高精度乘法。

其次，让我们考虑穷举的方法行不行，由组合数学知识知道：

在长为N的数字串中插入K个乘号的方案有C（N-1,K）种，极限数据等于6500000种插入方案，而高精度本身也很费时间，所以穷举算法肯定会超时。

看来只有找动态规划这样的高效算法了！

！

！

那么如何使用动态规划呢？

分析发现：

问题中只有乘号插入的位置是变化的，取数字串中的任意一段（P1到P2）来考虑，若能求出在其中插入K-1个乘号的最大乘积，则只需穷举第K个乘号的插入位置P（P从初始的P1+K-1开始插入，最多插入到P2-1后）。

该乘号把数字串分成了两段，前半段包含K-1个乘号（其最大值已经算出），将它的值与后半段的值相乘得到第K个乘号在位置P时的最大乘积。

打擂台选出P在各个位置时得到的最大乘积即为问题的解。

依此类推，把K-1的问题归结为K-2的情况，……，直到求在任意一段中插入1个乘号的最大乘积时，需预先算出在任意一段中插入0个乘号时的最大乘积。

而此时的值是已知的（即为该段的数值）。

假设C[p1,p2,K]表示在长为N的数字串中，从第p1个数字到第p2个数字之间插入K个乘号的最大乘积，动态转移方程如下：

p2-1

C[p1,p2,k]=MAX（C[p1,p,k-1]*C[p+1,p2,0]）

P=p1+k-1

假设输入的数字已保存在d[1..n]中（n<=maxn=40），定义三维数组max存放结果，即：

varmax:

array[1..maxn,1..maxn,0..maxn-1]ofbyte;其中max[i,j,0]到max[i,j,maxn-1]存放任意一段的最大乘积。

则，动态规划的初始化工作如下：

fori:

=1ton-1do

forj:

=itondo

begin

form:

=0tomaxn-1domax[I,j,m]:

=0;{清0}

w:

=0;{记录高精度数的有效位数}

form:

=jdowntoIdobegin{高精度数的初始化}

max[I,j,w]:

=d[m];

w:

=w+1;

end;

end;

程序：

见文件夹。

例2.动态规划举例（2001年高中3：

统计单词个数）

[问题描述]

给出一个长度不超过200的由小写英文字母组成的字母串（约定：

该字串以每行20个字母的方式输入，且保证每行一定为20个）。

要求将此字母串分成k份（1

当选用一个单词之后，其第一个字母不能再用。

例如字符串this中可以包含this和is，选用this之后就不能包含th）。

单词在给出的一个不超过6个单词的字典中。

要求输出最大的个数。

[输入格式]

输入数据放在文本文件input3.dat中,其格式如下：

第一行有二个正整数：

（p,k）

p表示字串的行数；

k表示分为k个部分。

接下来的p行，每行均有20个字符。

再接下来有一个正整数s，表示字典中单词个数。

（1≤s≤6）

接下来的s行，每行均有一个单词。

[输出格式]

结果输出至屏幕，每行一个整数，分别对应每组测试数据的相应结果。

[输入输出样例]

输入：

13

thisisabookyouareaoh

4

is

a

ok

sab

输出：

7

[问题分析]

首先,通过分析可以得出下面的结论:

当给定的字符串中以同一个字母开头的单词有多个时,只须选用最短的一个,因为该单词受分段的影响最小,所以可以设数组shortest存储给定的字符串中所有位置上的最短单词的长度,shortest[i]=0表示给定的字符串中从第i个字符开始的一段不包含任何单词,否则表示从该位置起包含的最短的单词的长度。

另外，为了方便处理,可以将所有单词按从短到长的次序重新排序,并引入二维数组pos记录单词在给定的字符串中的分布情况,pos[i,j]=true表示在给定的字符串中从第i个字符开始包含第j个单词。

算法上可以从以下几个方面考虑：

1、贪心法

毎次根据数组shortest选定一个分段位置使得被截断的最短单词最少,将这些被截断的最短单词从数组shortest中去除,重复上述过程,直到将给定的字符串分成k段为止；

2、随机化算法

用随机的方法将给定的字符串分成k段,统计毎一段中包含的单词数,全部段包含的单词总数即为问题的一个解,多次随机直到限定时间用完为止,此时输出最优解；

3、结合以上两种方法；

4、动态规划

substr（b,e）表示给定字符串中从第b个字符到第e个字符为止的子串,用数组most记录给定字符串中从第一个字符到任意一个字符为止的子串被分成i段后包含的最多单词数,如most[i,t]表示子串substr（1,t）分成i段后包含的最多单词数,则most[i+1,j]=max（most[i,t]+maxword（substr（t+1,j）））,t=i..j-1,其中maxword为求某字符串中最多单词的函数,程序中没有用二维数组,去掉了第一维,递推时下标要从大往小推,类似于杨辉三角用一维数组递推。

程序：

见文件夹。

3.字符串（1998年高中组2：

连接多位数）

[问题描述]

设有n个正整数（n≤20），将它们联接成一排，组成一个最大的多位整数。

例如：

n=3时，3个整数13，312，343联接成的最大整数为：

34331213

又如：

n=4时，4个整数7，13，4，246联接成的最大整数为：

7424613

程序输入：

n

n个数

程序输出：

联接成的多位数

[问题分析]

举例说明正常的字符串比较缺陷！

如：

A=’321’，B=’32’，按照标准的字符串比较规则因为A>B，所以A+B>B+A，而实际上’32132’<’32321’。

所以，自定义一种字符串的比较规则：

即如果A+B>B+A,则我们认为A>B。

且可以证明：

如果A+B>=B+A,B+C>=C+B,则一定有：

A+C>=C+A。

这样一来，程序就很简单了。

分3步，先把n个数字转换成字符串存储；再按照自定义的规则把n个字符串排序；最后按照从大到小的顺序输出这些字符串。

小结：

有些问题看起来是数学问题，认真分析会发现用字符串处理很简单。

另外，一定要掌握有关字符串的各种函数，以免用到时自己编子程序。

程序：

略。

4.贪心（删数问题）

[问题描述]

键盘输入一个高精度的正整数n（小于等于240位），去掉其中任意s个数字后，剩下的数字按原次序将组成一个新的正整数。

编程对给定的n和s，寻找一种方案，使得剩下的数字组成的新数最小。

[输入格式]

n

s

[输出格式]

顺序列出s个被删去的数字。

[算法分析]

首先，这是一个高精度数。

但是否一定用数组存放这个数呢？

这要看具体的算法实现。

由于正整数n的有效数位为240位，因此我们采用字符串类型存贮n。

为了尽可能逼近目标，我们的“贪心策略”是：

每一步总是选择一个使剩下的数最小的数字删去，即按高位到低位的顺序搜索，若各位数字递增，则删最大（最后）的数字；否则删第一个递减区间的首字符，这样便形成了一个新数串。

然后回到串首，按上述规则删下一个数字，……，依次类推，直到删除了s个数字为止，输出剩余部分即可。

例如：

n=‘178543’s=4

删数过程如下：

n=‘178543’删‘8’

‘17543’删‘7’

‘1543’删‘5’

‘143’删‘4’

‘13’

这样删数问题与“如何寻找递减区间首字符”这样一个简单的问题对应起来。

按贪心策略编制的程序框架为：

begin

输入n,s；

whiles>0do

begin

i：

=1；{从串首开始找}

while（i

=i+1；

delete（n，i，1）；{删除字符串n的第i个字符}

s:

=s-1；

end；

while（length（n）>1）and（n[1]=‘0’）dodelete（n，1，1）；{删去串首的无用零}

输出n；

end.

程序：

略。

例3、贪心举例：

取数游戏

[问题描述]

给出2*n个自然数。

游戏双方分别为A方（计算机方）和B方（对奕的人）。

只允许从数列两头取数。

A先取，然后双方依次轮流取数。

取完时，谁取得的数字总和最大为取胜方；双方和相等，属于A胜。

试问A方可否有必胜的策略

[输入]2*n个自然数

[输出]

前2*n行为游戏经过。

每两行分别为A方所取的数和B方所取的数，其中B方取数时应给予提示，让游戏者选择取哪一头的数（L/R—左端或右端）。

最后一行分别为A方取得的数和和B方取得的数和。

[问题分析]

设自然数列:

79364253

我们设计一种方案，从数大的一头让A、B轮流取两个连续数：

A方：

7345

B方：

9623

由此得出：

A方取得的数和为7+3+4+5=19

B方取得的数和为9+6+2+3=20

按照规则，判定A方输。

虽然A方败给B方，但是我们却发现了一个有趣的事实：

A方取走偶位置的数后，剩下两端数都处于奇位置；反之，若A方取走奇位置的数后，剩下两端数都处于偶位置。

即无论B方如何取法，A方即可以取走奇位置的所有数，亦可以取走偶位置的所有数。

由此萌发一种“贪心策略”：

让A方取走“数和较大的奇（或偶）位置上的所有数”，则A方必胜。

这样，取数问题便对应于一个简单问题：

让A方取奇偶位置中数和较大的一半数。

设j为A取数的奇偶位置标志，则：

设SA，SB分别表示A方取数和，B方取数和（SA≥SB）；a存储2*n个自然数序列；lp，rp为序列