质数与合数含答案.docx

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质数与合数含答案

阿拉伯数字无疑是人类历史上最伟大的发明

其本身蕴含的规律更是数学学科中最璀

知识要点

璨的明珠！

质数和合数的分类产生了哥德巴赫

意非零自然数的倍数。

数

质数。

如果一个质数是某个数的约数，那么就

合数：

除了1和本身，还有其他约数的自然数叫合

质数：

除了1和本身，没有其他约数的自然数叫质

特殊地，1既不是质数也不是合数。

■1

最小的合数是4，最小的质数是2，且2是唯一的

【例1】对7个不同质数求和，和为58，则最大的质数是多少

【分析】七个质数若全部是奇数，则和一定是奇数，而58是偶数，则七个质数中必定含有唯一的偶质数2,

所以最小的质数是2，从2开始，最小的七个连续质数是2，3，5，7，11，13，17，和为58，

所以题中的七个质数只能是从2开始的七个连续质数，最大为17。

【温馨提示】2是唯一的偶质数，是偶数中的“叛徒”，所以质数也经常与奇偶性相结合，主要考察“2”.

【拓展】

已知a、

b、c、d都是质数，且a

130b95c

91d

79，求a、b、

c、d的值。

【分析】

b95

c91

d79，所以

b、c、

d应该都是奇数,

所以

a是唯一的偶质数

2，依此可求得

a2,

b37,

c41,d

53.

【例2】从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12。

这样的数有几组

【分析】考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2;又质数中除了2和5，

其余质数的个位数字只能是1、3、7、9。

若这5个质数中最小的数其个位数字为1,则比它大24

的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3,则比它大12的数个位即为5，也

不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9,因此最小的数只能是5,这5

个数依次是5，17，29，41，53。

这样的数只有一组。

说明：

除了2和5,其余的质数个位数字只能是1，3，7或9。

这是此题的突破口。

老师可以只

推算个位数字就可以否定1、3、7、9,然后剩下个位数字是2和5,就很容易找到5。

【拓展】如果某整数同时具备如下三条性质：

①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是

质数，③这个数除以9所得的余数是5,那么我们称这个整数为幸运数。

求出所有的两位幸运数。

【分析】法一：

由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为

2p，贝Up的所有可能取值为5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47。

于是2p-1

的所有可能取值为9,13,21,25,33,37,45,57,61,73,81,85,93。

根据题目条件①，

2p-1应为质数，因此2p-1只可能为13,37,61或73。

再由条件③知2p-1除以9所得的余数应为4，于是2p-1只可能是13,从而这个幸运数只能是2p=14。

法二：

从条件③入手，符合条件的偶数有：

14,32,50,68,86，再由条件②排除掉32,50,68,

最后由条件①排除掉86，所以这个幸运数是14。

例3】四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少

分析】分解质因数302424337,考虑其中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7的

倍数。

若为7,因3024不含有质因数5,那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10

（10仍含有5,不行）,经检验6、7、8、9恰符合。

温馨提示】根据乘积求因数,是分解质因数的一个重要运用.

【拓展】2004X7X20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少

【分析】首先分解质因数，2004X7X20=2X2X2X2X3X5X7X167,其中最大的质因数是167，所以所

要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数。

165=3X5X11,166=2X83,168=2X2X2X3X7,169=13X13,所以165X166X167,166X167X168,167X168X169都没有4个2,不满足题意。

说明167不可行。

尝试334=167X2,335=5X67,336=2X2X2X2X3X7,334X335

X336=2X2X2X2X2X3X5X7X67X167，包括了2004X7X20中的所有质因数，所以这组符合题意,以此三数之和最小为1005。

拓展】甲数比乙数大5,乙数比丙数大5,三个数的乘积是6384,求这三个数。

【分析】将6384分解质因数，6384=22223719,则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算，19-5=14=2X7,19+5=24=2X2X2X3,恰好14X19X24=6384，所以这三个数即为

14,19,24。

一般象这种类型的题,都是从最大的那个质因数去分析。

如果这道题里19不符合

要求,下一个该考虑38,再下一个该考虑57,依此类推。

例4】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数,它的体积是39270立方厘米,那么这个长方体的表面积是多少平方厘米

【分析】方法一：

39270=2X3X5X7X11X17,为三个连续自然数的乘积，所以33、34、35为满足题意

的长、宽、高•则长方体的表面积为：

2X（长X宽+宽X高+高X长）=2X（33X34+34X35

＋35X33）=6934（平方厘米）．

方法二：

39270=2X3X5X7X11X17,为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17,如果17作为

因数7,与34接近的数32〜36中，只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度.而39270的质因数中只剩下了3和11，所以这个长方体的大小为33X34X35.长方体的表

面积为：

392703927039270

2X（39270+39270+39270）=2X（1190+1155+1122）=2X3467=6934（平方厘米）.

333435

【拓展】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么

这个长方体的体积是多少

【分析】如上图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为acab209.

acaba（cb）209，而2091119.

当a11时，cb19,当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则

cb217;

当a19时，cb11，则cb29,b为9不是质数，所以不满足题意.

所以它们的乘积为11217374.

【例5】4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油.每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：

8,

9,10,11,12,13•已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内

有多少油

【分析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（连瓶）共

重（8+9+10+11+12+13）+3=21（千克）而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，

由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：

（1）油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重

2千克，最重的两瓶内的油为13-1X2=12（千克）.

（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，

2

每只瓶重翌千克，最重的两瓶内的油为13-匹X2=|（千克），这与油重之和2千克矛盾•因此

44

最重的两瓶内共有12千克油.

【例6】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对

两个面的数的和都相等。

将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值

【分析】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19,其中5+19=7+17=11+13。

每个木块掷在地上后

向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是5+5+5=15,最大是19+19+19=57,经试

验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。

【拓展】

【分析】

有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种，那么所有这样的自然数中最小的一个是多少

在所有的质数中，从小到大第13个质数是41,因此在13种分解方法中，质数最大的那一组至少

47。

1136133417301631182919282324因此满足题意的最小自然数是

【练习1】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，

最大的一个是多少

【分析】将360分解质因数得360=2X2X2X3X3X5,它是6个质因数的乘积。

因为题述的四个数中只

有一个是合数，所有该合数必至少为6-3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数,

所以这4个乘数分别为3,3,5,8,所组成的最大四位数是8533。

【练习2】9个连续的自然数，它们都大于80,那么其中质数最多有多少个

【分析】大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只

有5个奇数，它们的个位应该为1,3,5,7,9.但是大于80且个位为5的数一定不是质数,所以最多只有4个数.经验证101,102,103,104,105,106,107,108,109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．也就是大于80的9个连续自然数，其中质数最多能有4个．

练习3】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数

分析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、

4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多组成了2、3、5、41、67、89这6个质数．

练习4】在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家过的。

这五天的日期除一天是合数外，其它四天的日期都是质数。

这四个质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上2减去1，

这个合数乘上2加上1。

问：

小明是哪几天在姥姥家住的

【分析】由题意可知这个合数最大是16，16以内相差2的质数有3和5、5和7、11和13，那么对应合数是4，6，12。

经检验这个合数是6，四个质数分别是5，7，11，13。

练习5】若将17拆成若干个的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少

【分析】根据整数拆分原则：

多拆3，少拆2,不拆1――拆分后乘积最大。

若要使17拆成的不同质数