届二轮复习 集合及其运算学案全国通用.docx

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届二轮复习集合及其运算学案全国通用

考试内容

等级要求

集合及其表示

A

子集

B

交集、并集、补集

B

命题的四种形式

A

充分条件、必要条件、充要条件

B

简单的逻辑联结词

A

全称量词与存在量词

A

1.1　集合及其运算

考情考向分析　集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和Venn图，考查生的数形结合思想和计算推理能力，题型是填空题，低档难度．

1．集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB（或BA）

集合相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

补集

设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合

∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}

知识拓展

1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩（∁UA）＝∅；A∪（∁UA）＝U；∁U（∁UA）＝A.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×　）

（3）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

题组二　教材改编

2．[P18复习T3]已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________.

答案　{x|x是直角}

3．[P13练习T5]已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．

答案　2

解析　集合A表示以（0,0）为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点

，

，则A∩B中有两个元素．

题组三　易错自纠

4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．

答案　3

解析　当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3.

5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x

答案　（3，＋∞）

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，

∵A⊆B，B＝{x|x3.

6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　0或

解析　若a＝0，则A＝

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝

.

综上，a的值为0或

.

题型一　集合的含义

1．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意；

若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性；

若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意；

当a＝－1时，集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不符合题意．

综上可知，a＝0或a＝1.

2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________．

答案　8

解析　当a＝0时，a＋b＝1,2,6；

当a＝2时，a＋b＝3,4,8；当a＝5时，a＋b＝6,7,11.

由集合中元素的互异性，知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素．

题型二　集合的基本关系

典例

（1）（2017·徐州模拟）已知集合A＝{－1,1,2}，B＝{0,1,2,7}，则集合A∪B中元素的个数为________．

答案　5

解析　A∪B＝{－1,0,1,2,7}，∴A∪B中元素个数为5.

（2）已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x

答案　[2018，＋∞）

解析　由x2－2019x＋2018<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

思维升华

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观解决这类问题．

跟踪训练

（1）（2015·江苏）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

答案　5

解析　∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}．故A∪B中元素的个数为5.

（2）已知集合A＝

，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________________________．

答案　

∪

解析　因为y＝

2＋

，x∈

，

所以y∈

.又因为A⊆B，所以1－m2≤

，

解得m≥

或m≤－

.

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

典例

（1）设全集U＝R，A＝{x|2x－10≥0}，B＝{x|x2－5x≤0，且x≠5}．

求：

①∁U（A∪B）；

②（∁UA）∩（∁UB）．

（2）已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，且A∩B＝{－3}，求A∪B.

解　

（1）①A＝{x|x≥5}，B＝{x|0≤x<5}，

则A∪B＝{x|x≥0}，于是∁U（A∪B）＝{x|x<0}．

②∁UA＝{x|x<5}，∁UB＝{x|x<0或x≥5}，

于是（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x<0}．

（2）由A∩B＝{－3}知－3∈B.

又a2＋1≥1，故有a－3＝－3或a－2＝－3.

①当a－3＝－3时，a＝0，

此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}．

由于A∩B≠{－3}，故a＝0舍去．

②当a－2＝－3时，a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}．

满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．

命题点2　利用集合的运算求参数

典例

（1）已知q≠0，集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}．

①当t∈A时，求证：

∈B；

②当A∪B＝

时，求p，q的值．

（2）已知集合A＝

，B＝{x|[x－（a＋1）][x－（a＋4）]<0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围：

①A∩B＝A；

②A∩B≠∅.

（1）①证明　因为t∈A，所以t2＋pt＋q＝0.

由q≠0知t≠0，

从而q

2＋p·

＋1＝

＝0，

即

∈B.

②解　由①可知，集合A与B中的相应元素互为倒数，

故由A∪B＝

，知A＝

或A＝{1,2}．

当A＝

时，

＋1＝－p且

×1＝q，

得p＝－

，q＝

；

当A＝{1,2}时，同理可得p＝－3，q＝2.

综上，p＝－

，q＝

或p＝－3，q＝2.

（2）解　由1－

≥0，得

≤0，

解得－1

①A∩B＝A，即A⊆B，故

得－4

故a的取值范围是（－4，－2]．

②若A∩B≠∅，则

得－5

故a的取值范围是（－5，－1）．

思维升华

（1）一般讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

跟踪训练

（1）（2014·江苏）已知集合A＝{－2，－1,3,4}，B＝{－1,2,3}，则A∩B＝________.

答案　{－1,3}

解析　A∩B＝{－2，－1,3,4}∩{－1,2,3}＝{－1,3}．

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

答案　[－1，＋∞）

解析　由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，

即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．

又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）．

题型四　集合的新定义问题

典例已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则AB中元素的个数为________．

答案　45

解析　如图，

集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{（－3，－3），（－3,3），（3，－3），（3,3）}之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

跟踪训练定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝________.

答案　{x|3≤x≤4}

解析　A＝{x|1

1．（2017·无锡模拟）已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4}，则A∪B＝________.

答案　{1,2,4}

2．（2016·江苏）已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2

答案　{－1,2}

解析　由于B＝{x|－2＜x＜3}．对集合A中的4个元素逐一验证，－1∈B,2∈B,3∉B,6∉B.故A∩B＝{－1,2}．

3．（2017·江苏）已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．

答案　1

解析　∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，

∴1∈B且2∉B.

若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．

又a2＋3≥3≠1，故a＝1.

4．（2017·苏锡常镇一模）已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}，则∁UM＝________.

答案　{6,7}

解析　由M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，可得M＝{1,2,3,4,5}，即∁UM＝{6,7}．

5．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．

答案　{1}

解析　因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．

6．已知复数f（n）＝in（n∈N*），则集合{z|z＝f（n）}中元素的个数是________．

答案　4

解析　复数f（n）＝in（n∈N*），

可得f（n）＝

k∈N.

集合{z|z＝f（n）}中元素的个数是4.

7．（2017·全国Ⅱ改编）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝________.

答案　{1,3}

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．

8．已知集合A＝{x|－1

答案　[0，＋∞）

解析　用数轴表示集合A，B（如图），

由A⊆B，得a≥0.

9．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3（2－x）≤1}，则A∩（∁UB）＝________________.

答案　{x|x<－1或x≥2}

解析　集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，

∵log3（2－x）≤1＝log33，∴0<2－x≤3，

∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，

∴∁UB＝{x|x<－1或x≥2}，

∴A∩（∁UB）＝{x|x<－1或x≥2}．

10．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________．

答案　－

解析　∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

当m＝－

时，m＋2＝

≠3，符合题意，

∴m＝－

.

11．设全集U＝R，集合A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B＝__________.

答案　（－∞，－1]∪（1，＋∞）

解析　因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，

所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．

12．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．

答案　[1，＋∞）

解析　由题意，知A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

13．已知集合A＝{x|1

答案　[0，＋∞）

解析　∵A∩B＝∅，

①若当2m≥1－m，即m≥

时，B＝∅，符合题意；

②若当2m<1－m，即m<

时，

需满足

或

解得0≤m<

或∅，即0≤m<

.

综上，实数m的取值范围是[0，＋∞）．

14．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝______，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案　6

解析　依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．

16．设集合M＝

，N＝

，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．

答案　

解析　由已知，可得

即0≤m≤

；

即

≤n≤1，当集合M∩N的长度取最小值时，M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端．

取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝

，N＝

，所以M∩N＝

∩

＝

，此时集合M∩N的“长度”的最小值为

－

＝

.