市北资优七年级分册 第17章 172 三角形的内角和+唐建军.docx
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市北资优七年级分册第17章172三角形的内角和+唐建军
17.2三角形的内角和
我们在小学里已经知道，三角形的三个内角和等于
，那么你能运用学过的平行线的知识来说明这个结论的正确性吗？
三角形的内角和性质：
三角形的内角和等于
.
由三角形内角和为
，可以发现直角三角形的两个锐角有什么数量关系吗？
为什么？
直角三角形的性质之一：
直角三角形的两个锐角互余.
例1
中，
，求
.
解：
因为
（已知），
所以
.（等式的性质）
又因为
（三角形的内角和等于
）
所以
（等量代换）
所以
（等式的性质）
可得
（等式性质）
所以
例2在
中，
于D，求
.
分析：
要求
，就要先求出
与
，可利用设元列方程求得.
解：
设
，则
.
在
中，
（三角形的内角和等于
）
解得
（等式性质）
所以
（等量代换）
又因为
（已知）
所以
（直角三角形的两个锐角互余）
则
（等式性质）
例3如图17.2.2，直角三角形
中，
于D，说明
的理由.
解：
在
中，
因为
（已知）
所以
（直角的意义）
因为
（已知）
所以
（直角三角形两个锐角互余）
因此
（同角的余角相等）
例4在
中，三个内角的度数均为整数，且
，求
解：
设
，则
由题得
由①得
.③
把③代入②得
解得
又三个内角的度数均为整数，则
为整数，因此
例5若三角形三个内角
的关系满足
，试按角的分类判断这个三角形形状.
分析：
由题意可知角
为最大角，因此只需要判断
的大小即可.
解：
因为
（已知）
又因为
（已知）
所以
（不等式性质）
即
又因为
（已知）
所以
（不等式性质）
即
所以这个三角形是钝角三角形.
练习17.2
（1）
1.一个三角形，若其中一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形一定是______三角形.
2.任意一个三角形至少有_______个钝角.
3.
中，
是最小角，
是最大角，且有
，若
的最大值是m°，最小值是n°，则
______.
4.锐角三角形三个角的度数都是正整数，最小角的度数是最大角的度数的
，那么所有满足此条件的锐角三角形三个角的度数为______.
练习答案：
练习17.2
（1）
1.直角
2.2
3.175.提示：
设
，则
，由
得
4.设锐角三角形最小角的度数为x，最大度数为4x，另一角为y，
则
，解得
故
所有满足此条件的锐角三角形三个角度数为：
20°、80°、80°或21°、75°、84°或22°、70°、88°
17.2三角形的内角和
练习17.2
（1）
1.已知
的三个内角为
，令
，则
中锐角的个数至多（）
A、1个B、2个C、3个D、4个
2.如图，
BO、CO分别平分
，EF过O点且平行于BC，则
的度数为______
3.三角形的三个内角分别为
，且
，则
的取值范围是___________
4.如图，已知E为AC上一点，
说明
的理由
练习17.2
（1）答案
1.A
2.
3.
4.由于
，所以
，则
，由三角形内角和为
，得到
，所以
17.2三角形的内角和
（2）
由三角形的一个内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角.如右图中，
就是
的一个外角.
请在图17.2.3中画出
中其余的外角.
问题1：
三角形中，与一个内角相邻的外角有几个？
问题2：
三角形的一个外角与内角之间有怎样的数量关系？
由此我们知道了三角形外角的两个性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取出一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和.
那么你知道三角形的外角和是多少吗？
三角形的外角和为360°
例1如图17.2.4，在
中，
于D，
于F，
，求
.
分析：
要求
，可通过三角形外角性质先求出
或
而后求得.
解：
因为
于D，
于F（已知）
所以
（垂直的意义）
所以
（直角三角形的两锐角互余）
又
（已知）
所以
（等角的余角相等）
因为
和
都是
的外角（已知）
所以
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
所以
（等式性质）
例2D是
内一点，说明
的理由.
解：
延长BD交AC于点E（如图17.2.5）
因为
（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）
所以
（不等式性质）
例3在五角星ABCDE中，求
.
分析：
关键是要把这个五个角的和转化为一个三角形的三内角之和.
解法一：
因为
是
的外角（已知）
所以
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
同理
在
中，
（三角形的内角和等于
）
所以
（等量代换）
解法二：
在
中，
（三角形的内角和等于
）
因为
是
的外角，
是
的外角（已知）
所以
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
则
（等量代换）
例4如图17.2.7，BD、CD分别是
的内角平分线与外角平分线，试判断
与
之间的数量关系，并说明理由.
解：
因为
是
的外角，
是
的外角（已知）
所以
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
因为BD、CD分别是
的内角平分线与外角平分线（已知）
所以
（角的平分线的意义）
因此
（等式性质）
思考：
如果BD、CD分别是
的两个内角的平分线呢？
如果BD、CD是
的两个外角的平分线所在的直线呢？
结果会如何，试着做一下吧！
练习17.2
（2）
1.
如图，在中，D为三角形内一点，x、y、z、w是如图所示各角的度数，则用y、z和w表示x的式子为_________.
2.如图，
_______
3.在
中，，延长BC到D，
，
与
的平分线相交于
点，
与
的平分线相交于
点，依次类推，
与
平分线相交于
点，则
的大小是______.
练习答案：
练习17.2
（2）
1.
.提示：
延长AD交BC于点E，利用三角形外角性质求解.
2.
.提示：
延长AE交BC于点F，利用三角形外角性质求解.
3.
.提示：
练习17.2
（2）
1.如图，
的为直角，又
，若BD是
的平分线，则
的度数为______.
2.如图，已知O是
的边AB、AC的中垂线的交点，I是
的平分线的交点，且
，那么
的度数为____.
3.
如图，在
中，
于D，AE平分
，则
的度数为_____.
4.
在图中，
的度数为_______.
练习17.2
（2）答案
1.
2.
，
，所以
3.
4.
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