市北资优七年级分册 第17章 172 三角形的内角和+唐建军.docx

1、市北资优七年级分册 第17章 172 三角形的内角和+唐建军17.2三角形的内角和我们在小学里已经知道，三角形的三个内角和等于，那么你能运用学过的平行线的知识来说明这个结论的正确性吗？三角形的内角和性质：三角形的内角和等于.由三角形内角和为，可以发现直角三角形的两个锐角有什么数量关系吗？为什么？直角三角形的性质之一：直角三角形的两个锐角互余.例1 中， ，求 .解：因为（已知），所以 .（等式的性质）又因为 （三角形的内角和等于）所以 （等量代换）所以 （等式的性质）可得 （等式性质）所以 例2 在中， 于D，求 .分析：要求，就要先求出 与 ，可利用设元列方程求得.解：设 ，则 .在中， （

2、三角形的内角和等于）解得 （等式性质）所以 （等量代换）又因为 （已知）所以 （直角三角形的两个锐角互余）则 （等式性质）例3 如图17.2.2，直角三角形 中， 于D，说明 的理由.解：在中，因为 （已知）所以 （直角的意义）因为 （已知）所以 （直角三角形两个锐角互余）因此 （同角的余角相等）例4 在中，三个内角的度数均为整数，且 ，求 解：设 ，则 由题得 由得 .把代入得 解得 又三个内角的度数均为整数，则 为整数，因此 例5 若三角形三个内角 的关系满足 ，试按角的分类判断这个三角形形状.分析：由题意可知角 为最大角，因此只需要判断 的大小即可.解：因为 （已知）又因为 （已知）所以

3、 （不等式性质）即 又因为 （已知）所以 （不等式性质）即 所以这个三角形是钝角三角形.练习17.2（1）1. 一个三角形，若其中一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角形一定是_三角形.2. 任意一个三角形至少有_个钝角.3. 中， 是最小角， 是最大角，且有 ，若 的最大值是m ，最小值是n ，则 _.4. 锐角三角形三个角的度数都是正整数，最小角的度数是最大角的度数的 ，那么所有满足此条件的锐角三角形三个角的度数为_.练习答案：练习17.2（1）1. 直角2. 23. 175.提示：设 ，则 ，由 得 4. 设锐角三角形最小角的度数为x，最大度数为4x，另一角为y，则 ，解得 故 所有

4、满足此条件的锐角三角形三个角度数为：20、80、80 或21、75、 84 或22、70、88 17.2三角形的内角和练习17.2（1）1. 已知 的三个内角为 ，令 ，则 中锐角的个数至多（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2. 如图， ,BO、CO分别平分 ，EF过O点且平行于BC，则 的度数为_3. 三角形的三个内角分别为，且，则的取值范围是_4. 如图，已知E为AC上一点， 说明 的理由练习17.2（1）答案1. A2. 3. 4. 由于 ，所以 ，则 ，由三角形内角和为 ，得到 ，所以 17.2三角形的内角和（2）由三角形的一个内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角

5、形的外角.如右图中， 就是的一个外角.请在图17.2.3中画出中其余的外角.问题1：三角形中，与一个内角相邻的外角有几个？问题2：三角形的一个外角与内角之间有怎样的数量关系？由此我们知道了三角形外角的两个性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取出一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和. 那么你知道三角形的外角和是多少吗？三角形的外角和为360 例1 如图17.2.4，在中， 于D， 于F， ，求.分析：要求，可通过三角形外角性质先求出 或 而后求得.解：因为 于

6、D， 于F（已知）所以 （垂直的意义）所以 （直角三角形的两锐角互余）又 （已知）所以 （等角的余角相等）因为 和 都是 的外角（已知）所以 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）所以 （等式性质）例2 D是 内一点，说明 的理由.解：延长BD交AC于点E（如图17.2.5）因为 （三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）所以 （不等式性质）例3 在五角星ABCDE中，求 .分析：关键是要把这个五个角的和转化为一个三角形的三内角之和.解法一：因为 是 的外角（已知）所以 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）同理 在 中， （三角形的内角和等于 ）所以（等量代换）解法

7、二：在 中， （三角形的内角和等于）因为 是 的外角， 是 的外角（已知）所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）则（等量代换）例4 如图17.2.7，BD、CD分别是 的内角平分线与外角平分线，试判断 与 之间的数量关系，并说明理由.解：因为 是 的外角， 是 的外角（已知）所以 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）因为BD、CD分别是的内角平分线与外角平分线（已知）所以 （角的平分线的意义）因此 （等式性质）思考：如果BD、CD分别是的两个内角的平分线呢？如果BD、CD是的两个外角的平分线所在的直线呢？结果会如何，试着做一下吧！练习17.2（2）1.如图，在中，D为

8、三角形内一点，x、y、z、w是如图所示各角的度数，则用y、z和w表示x的式子为_.2.如图， _3.在中，延长BC到D， ， 与 的平分线相交于 点， 与 的平分线相交于 点，依次类推， 与 平分线相交于 点，则 的大小是_.练习答案：练习17.2（2）1. .提示：延长AD交BC于点E，利用三角形外角性质求解.2. .提示：延长AE交BC于点F，利用三角形外角性质求解.3. .提示： 练习17.2（2）1.如图，的为直角，又 ，若BD是 的平分线，则 的度数为_.2.如图，已知O是的边AB、AC的中垂线的交点，I是 的平分线的交点，且 ，那么 的度数为_.3.如图，在中， 于D，AE平分 ，则 的度数为_.4.在图中，的度数为_.练习17.2（2）答案1. 2. ， ，所以 3. 4.