上海市控江中学学年高一上学期期末数学试题.docx

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上海市控江中学学年高一上学期期末数学试题

上海市控江中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、填空题

1．设实数

满足

，则

=_____

2．方程

的解集为______

3．若两个集合

，满足

，则实数

=____

4．设

，则

的最大值为______

5．如果函数

是幂函数，且图像不经过原点，则实数

___________.

6．已知函数

是奇函数,若当

时，

，则当

时，

=_____

7．设常数

，若函数

在

上是减函数，在

上是增函数，则

=_______

8．函数

在

上的反函数

=________

9．设

，则

的值域为_________

10．若关于

的方程

有实数解，则实数

的取值范围是________

11．若不等式

的解集为

，则实数

的取值范围是_____.

12．已知函数

的定义域为

，若存在区间

使得

：

（Ⅰ）

在

上是单调函数；

（Ⅱ）

在

上的值域是

，

则称区间

为函数

的“倍值区间”．

下列函数中存在“倍值区间”的有______________（填上所有你认为正确的序号）

①

；②

；

③

；④

．

二、单选题

13．

是

的（）

A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

14．已知

，且

，则下列不等式中恒成立的是（）

A．

B．

C．

D．

15．若直角坐标平面内两点

满足：

①

均在函数

的图像上

②

关于原点对称

则称点对

为函数

的一对“匹配点对”（点对

与

视作同一对）

若函数

，则此函数的“匹配点对”共有（）对

A．0B．1C．2D．3

三、解答题

16．已知函数

（1）求函数

的定义域．

（2）若函数

，求

的取值范围．

17．设常数

，函数

．

（1）当

时，判断并证明函数

在

上的单调性．

（2）是否存在实数

，使函数

为奇函数或偶函数？

若存在，求出

的值，并判断相应的

的奇偶性；若不存在，说明理由．

18．设常数

，函数

，

．

（1）当

时，求函数

的值域．

（2）若函数

的最小值为

求

的值．

19．已知函数

，其中

．

（1）若函数

在

上是增函数，求

的取值范围．

（2）若存在

，使得关于

的方程

有三个不相同的实数解，求实数

的取值范围．

参考答案

1．

【分析】

根据换底公式，得到

，即可得出结果.

【详解】

因为

，所以

.

故答案为

【点睛】

本题主要考查对数的运算，熟记换底公式即可，属于基础题型.

2．

【分析】

先由

得

，得出一元二次方程，求解，即可得出结果.

【详解】

因为

，所以

，即

，解得：

；

即方程

的解集为

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则即可，属于基础题型.

3．

【分析】

先由题意得到

，推出

，进而得到

，求解，即可得出结果.

【详解】

因为

，所以

，因此

；

所以只需

，解得

或

（舍），因此

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查由并集的结果求参数的问题，熟记元素与集合的关系，以及集合并集的概念即可，属于基础题型.

4．

【分析】

先由题意求出

，再由基本不等式，得到

，即可得出结果.

【详解】

由

得

；又

，所以

再由

，

当且仅当

，即

时，等号成立.

所以

的最大值为

.

故答案为

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

5．3

【分析】

根据幂函数的概念列式解得

或

然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.

【详解】

因为函数

是幂函数,

所以

即

所以

所以

或

当

时,

其图象不过原点,符合题意;

当

时,

其图象经过原点,不合题意.

综上所述:

.

故答案为3

【点睛】

本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.

6．

【分析】

若

，则

，根据已知解析式，得到

，再根据函数奇偶性，即可得出结果.

【详解】

若

，则

，又当

时，

，

所以

，

因为函数

是奇函数，所以

，

所以

，即

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查由函数奇偶性求解析式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.

7．

【分析】

令

，根据函数

的单调性，结合单调性的定义，分别得到

，

，进而可得出结果.

【详解】

令

，任取

，因为函数

在

上是减函数，

所以

，

因此

，即

，又

，所以

；

任取

，因为函数

在

上是增函数，

所以

，

因此

，即

，又

，所以

，

综上

，所以

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查由函数单调性求参数，熟记函数单调性的定义即可，属于常考题型.

8．

【分析】

先令

，由题意，得到

，化

为

，用求根公式，即可求出结果.

【详解】

令

，因

，

所以

单调递减，且

；

由

得

，

解得：

，因为

，所以

，

因此

，

；

故答案为

【点睛】

本题主要考查求反函数，熟记反函数的概念即可，属于常考题型.

9．

【分析】

先将原式化为

，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果.

【详解】

因为

，所以

，

因此

，

当且仅当

，即

时，等号成立；

所以

的值域为：

；

故答案为

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.

10．

【分析】

先由原方程得到

，由基本不等式求出

的最小值，根据题意得到

，进而可求出结果.

【详解】

因为

可化为

，

又

，

当且仅当

，即

时，取等号；

又关于

的方程

有实数解，

所以只需

，

解得：

.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查根据方程有实根求参数的问题，灵活运用转化与化归的思想，会根据基本不等式求最值即可，属于常考题型.

11．

；

【分析】

分三种情况讨论：

（1）当

等于0时，原不等式变为

，显然成立；

（2）当

时，根据二次函数的图象与性质可知解集为

不可能；

（3）当

时，二次函数开口向下，且与

轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．

【详解】

解：

（1）当

时，得到

，显然不等式的解集为

；

（2）当

时，二次函数

开口向上，函数值

不恒小于0，故解集为

不可能．

（3）当

时，二次函数

开口向下，由不等式的解集为

，

得到二次函数与

轴没有交点，即△

，即

，解得

；

综上，

的取值范围为

．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．

12．①②④

【分析】

函数中存在“倍值区间”，则

在

内是单调函数,

，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．

【详解】

函数中存在“倍值区间”，

则（Ⅰ）

在

，

内是单调函数，（Ⅱ）

，

对①，

，若存在“倍值区间”

，则

，

，存在“倍值区间”

；

对②，

，若存在“倍值区间”

，当

时，

，故只需

即可，故存在；

对③，

；当

时，在区间

，

上单调递减，在区间

，

上单调递增，

若存在“倍值区间”

，

，

不符题意；

若存在“倍值区间”

，

不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；

对④，

，易得

在区间

，

上单调递增，在区间

，

上单调递减，若存在“倍值区间”

，

，

，即存在“倍值区间”

，

；

故答案为：

①②④.

【点睛】

本题考查“倍值区间”的定义，考查学生分析解决问题的能力，涉及函数的单调性和值域问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

13．B

【解析】

【分析】

根据充分条件与必要条件的性质判断即可.

【详解】

由题“

”不能推出“

”,但“

”能推出“

”.故

是

的必要但不充分条件.

故选：

B

【点睛】

本题主要考查了充分与必要条件的判断,属于基础题型.

14．C

【分析】

利用不等式的性质可得出

，

，利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项的正误.

【详解】

，则

，可得

，同理可得

，但

的符号不确定.

对于A选项，若

，则

，A选项错误；

对于B选项，

，

，所以

，B选项错误；

对于C选项，

，

，

，C选项正确；

对于D选项，若

，则

，D选项错误.

故选：

C.

【点睛】

本题考查不等式正误的判断，考查不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于基础题.

15．B

【分析】

先由题意，得到函数

关于原点对称的图像解析式为：

，将“匹配点对”的个数，转化为

与

交点的个数，结合图像，即可得出结果.

【详解】

由题意，易得：

函数

关于原点对称的图像解析式为：

，

因此，

与

交点的个数，即是函数

“匹配点对”的个数，

在同一直角坐标系中画出两函数图像，如图所示：

由图像可得：

交点个数是1个，即此函数的“匹配点对”共有1对.

故选B

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.

16．

（1）

；

（2）

.

【分析】

（1）根据对数函数的定义求出函数的定义域即可；

（2）根据对数函数的性质求出不等式的解集即可．

【详解】

（1）由题意得：

，解得：

，

故函数的定义域是

.

（2）若函数

，即

，即

，解得：

．

∴

得取值范围是

.

【点睛】

本题考查具体函数的定义域求解、对数不等式的求解，考查运算求解能力属于基础题．

17．

（1）证明见解析；

（2）

.

【分析】

（1）当

时，

，利用函数单调性的定义，即可证明结论；

（2）假设存在，利用奇函数的定义，即可得出结论．

【详解】

（1）当

时，

，

任取

，且

，

∴

，

∵

，且

，

∴

，∴

∴

，∴

，

∴

，∴

，

∴函数

在

上单调递增；

（2）∵

，若

，

可得

，

∴

，解得

，

经验证

，使函数

是奇函数．

∴存在

，使函数

是奇函数．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性、单调性的定义证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．

18．

（1）

；

（2）

.

【分析】

（1）根据二次函数的性质求出函数

的单调区间，从而求出

的值域，再求出

的值域即可；

（2）通过讨论

的范围，结合二次函数的性质求出

的最小值，求出

的值即可．

【详解】

（1）

时，

，

令

，

，

，

，

，即

，

，

则

，

，

，

∵

在

，

递增，且

，

∴

，

故

的值域是

.

（2）函数

，

，

，

令

，

，

，

，

，即

，

，

故

，

，

，

当

时，

在