知识梳理与自测人教A版文科数学《53平面向量的数量积》.docx

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知识梳理与自测人教A版文科数学《53平面向量的数量积》

§5.3　平面向量的数量积

最新考纲

考情考向分析

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．

2．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影

|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影

几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

3.向量数量积的运算律

（1）a·b＝b·a.

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．

（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.

4．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.

结论

几何表示

坐标表示

模

|a|＝

|a|＝

夹角

cosθ＝

cosθ＝

a⊥b的充要条件

a·b＝0

x1x2＋y1y2＝0

|a·b|与|a||b|的关系

|a·b|≤|a||b|

|x1x2＋y1y2|≤

概念方法微思考

1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？

提示　不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角．

2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？

提示　不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．（　√　）

（2）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．（　√　）

（3）由a·b＝0可得a＝0或b＝0.（　×　）

（4）（a·b）c＝a（b·c）．（　×　）

（5）两个向量的夹角的范围是.（　×　）

（6）若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．（　×　）

题组二　教材改编

2．[P105例4]已知向量a＝（2,1），b＝（－1，k），a·（2a－b）＝0，则k＝________.

答案　12

解析　∵2a－b＝（4,2）－（－1，k）＝（5,2－k），

由a·（2a－b）＝0，得（2,1）·（5,2－k）＝0，

∴10＋2－k＝0，解得k＝12.

3．[P106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．

答案　－2

解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.

题组三　易错自纠

4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

答案　2

解析　方法一　|a＋2b|＝

＝

＝

＝＝2.

方法二　（数形结合法）

由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.

又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.

5．已知点A（－1,1），B（1,2），C（－2，－1），D（3,4），则向量在方向上的投影为________．

答案　

解析　＝（2,1），＝（5,5），

由定义知，在方向上的投影为

＝＝.

6．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.

答案　－

解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，

∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，

∴a·b＋b·c＋a·c＝－.

题型一　平面向量数量积的基本运算

1．（2019·百校联盟联考）已知a＝（x,1），b＝（－2,4），若（a＋b）⊥b，则x等于（　　）

A．8B．10C．11D．12

答案　D

解析　∵a＝（x,1），b＝（－2,4），

∴a＋b＝（x－2,5），

又（a＋b）⊥b，

∴（x－2）×（－2）＋20＝0，

∴x＝12.

2．（2018·全国Ⅱ）已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）等于（　　）

A．4B．3C．2D．0

答案　B

解析　a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.

∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.

3．（2019·上饶模拟）设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　如图，

||＝||＝2，〈，〉＝60°，

∵D，E是边BC的两个三等分点，

∴·＝·＝·

＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.

思维升华平面向量数量积的三种运算方法

（1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.

（3）利用数量积的几何意义求解．

题型二　平面向量数量积的应用

命题点1　求向量的模

例1

（1）（2019·永州模拟）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　如图所示，

设＝k，所以＝－＝k－，

所以·＝·（k－）

＝k2－·

＝25k－5×6×

＝25k－15＝－5，

解得k＝，所以||＝||＝3.

（2）如果＝2，＝3，a·b＝4，则的值是（　　）

A．24B．2

C．－24D．－2

答案　B

解析　由＝2，＝3，a·b＝4，

得＝＝

＝＝2.

命题点2　求向量的夹角

例2

（1）（2018·泉州质检）设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·（a－b）＝3，则a与b的夹角为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　由题意得a·（a－b）＝a2－a·b

＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，

∴cosα＝，∵0≤α≤π，∴α＝.

（2）已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

答案　

解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，

|e1－e2|＝

＝

＝＝2.

同理|e1＋λe2|＝.

所以cos60°＝

＝

＝＝，

解得λ＝.

思维升华

（1）求解平面向量模的方法

①利用公式|a|＝.

②利用|a|＝.

（2）求平面向量的夹角的方法

①定义法：

cosθ＝，θ的取值范围为[0，π]．

②坐标法：

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则cosθ＝.

③解三角形法：

把两向量的夹角放到三角形中．

跟踪训练1

（1）（2019·郑州模拟）已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.

答案　

解析　∵|2a－b|＝1，

∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1，

∴4－4|b|cos30°＋b2＝1，

整理得|b|2－2|b|＋3＝（|b|－）2＝0，

解得|b|＝.

（2）已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥（a－b），则向量a与向量b的夹角为（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　∵a⊥（a－b），

∴a·（a－b）＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，

∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.

题型三　平面向量与三角函数

例3已知向量a＝，b＝，且x∈.

（1）求a·b及|a＋b|；

（2）若f（x）＝a·b－|a＋b|，求f（x）的最大值和最小值．

解　

（1）a·b＝coscos－sin·sin＝cos2x.

∵a＋b＝，

∴|a＋b|＝

＝＝2|cosx|.

∵x∈，

∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.

（2）f（x）＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1

＝22－.

∵x∈，∴≤cosx≤1，

∴当cosx＝时，f（x）取得最小值－；

当cosx＝1时，f（x）取得最大值－1.

思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

（1）题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．

（2）给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．

跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈.

（1）若m⊥n，求tanx的值；

（2）若m与n的夹角为，求x的值．

解　

（1）因为m＝，n＝（sinx，cosx），m⊥n.

所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，

所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.

（2）因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，

即sinx－cosx＝，

所以sin＝，

因为0

所以x－＝，即x＝.

1．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　根据向量数量积的定义式可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.

2．（2019·西北师大附中冲刺诊断）已知向量a＝（1,1），b＝（2，－3），若ka－2b与a垂直，则实数k的值为（　　）

A．1B．－1

C．2D．－2

答案　B

解析　向量a＝（1,1），b＝（2，－3），

则ka－2b＝.

若ka－2b与a垂直，则k－4＋k＋6＝0，

解得k＝－1.故选B.

3．（2018·华中师大一附中模拟）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝（，），则|2a－b|等于（　　）

A．2B.

C.D．2

答案　A

解析　根据题意，|a－b|＝＝，

则（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，

可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，

可得（2a－b）2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，

则＝2，故选A.

4．（2018·东三省三校模拟）非零向量a，b满足：

|a－b|＝|a|，a·（a－b）＝0，则a－b与b夹角θ的大小为（　　）

A．135°B．120°

C．60°D．45°

答案　A

解析　∵非零向量a，b满足a·（a－b）＝0，

∴a2＝a·b，由|a－b|＝|a|可得，

a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝|a|，

∴cosθ＝＝

＝＝－，

∴θ＝135°，故选A.

5．（2019·咸阳模拟）已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的投影为（　　）

A．－1B．1

C．－D.

答案　D

解析　由题意可得|a|＝|b|＝1，

且a·b＝|a|×|b|×cos60°＝，

a·（a－b）＝a2－a·b＝1－＝，

则向量a－b在向量a方向上的投影为

＝＝.故选D.

6．（2018·钦州质检）已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则·的取值范围是（　　）

A．[－1,0]B．[－1,2]

C．[－1,3]D．[－1,4]

答案　C

解析　如图所示，

由题意可得，点M所在区域的不等式表示为（x－1）2＋（y－1）2≤1（0≤x≤2,0≤y≤2）．

可设点M（x，y），

A（0,0），B（2,0）．

∴·＝（－x，－y）·（2－x，－y）

＝－x（2－x）＋y2＝（x－1）2＋y2－1，

由∈[0,2]，

∴·∈[－1,3]，故选C.

7．（2018·烟台模拟）若平面向量a，b满足·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________．

答案　

解析　∵（a＋b）·b＝a·b＋b2＝7，

∴a·b＝7－b2＝3.

设向量a与b的夹角为α，

则cosα＝＝＝.

又0≤α≤π，∴α＝，

即向量a与b的夹角为.

8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影为________．

答案　－

解析　向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，

∴|a＋b|＝

＝＝＝，

解得a·b＝－1.

a在b方向上的投影为＝＝－.

9.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则·的值为________．

答案　－17

解析　如图，建立平面直角坐标系，

则C（0,0），A（3,0），B（0,4），D（0,2）．

则＝（3，－4），＝（－3,2）．

∴·＝3×（－3）－4×2＝－17.

10.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________.

答案　－

解析　利用向量的加减法法则可知，

·＝（＋）·（－＋）

＝（－2＋2）＝－.

11．已知|a|＝4，|b|＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61.

（1）求a与b的夹角θ；

（2）求|a＋b|；

（3）若＝a，＝b，求△ABC的面积．

解　

（1）因为（2a－3b）·（2a＋b）＝61，

所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，

所以64－4a·b－27＝61，

所以a·b＝－6，

所以cosθ＝＝＝－.

又0≤θ≤π，所以θ＝.

（2）|a＋b|2＝（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2

＝42＋2×（－6）＋32＝13，

所以|a＋b|＝.

（3）因为与的夹角θ＝，

所以∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

所以S△ABC＝||||·sin∠ABC

＝×4×3×＝3.

12．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求·（＋）的最小值．

解　方法一　设BC的中点为D，AD的中点为E，

则有＋＝2，

则·（＋）＝2·

＝2（＋）·（－）

＝2（2－2）．

而2＝2＝，

当P与E重合时，2有最小值0，

故此时·（＋）取最小值，

最小值为－22＝－2×＝－.

方法二　以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，

则A（－1,0），B（1,0），C（0，），

设P（x，y），取BC的中点D，

则D.

·（＋）＝2·

＝2（－1－x，－y）·

＝2

＝2.

因此，当x＝－，y＝时，

·（＋）取最小值，为2×＝－.

13．（2018·南宁摸底）已知O是△ABC内部一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　∵＋＋＝0，

∴＋＝－，

∴O为三角形的重心，

∴△OBC的面积为△ABC面积的，

∵·＝2，

∴||||cos∠BAC＝2，

∵∠BAC＝60°，∴||||＝4，

△ABC的面积为||||sin∠BAC＝，

∴△OBC的面积为，故选A.

14．（2019·衡阳模拟）在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　设BC的中点为D，

因为点G是△ABC的重心，

所以＝＝×（＋）＝（＋），

再令||＝c，||＝b，

则·＝bccos120°＝－3，所以bc＝6，

所以||2＝（||2＋2·＋||2）

＝（c2＋b2－6）≥（2bc－6）＝，

所以||≥，

当且仅当b＝c＝时取等号，故选B.

15.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝，BC＝2，点E为AB的中点，若·＝－2，则向量在向量上的投影为________．

答案　－

解析　如图，以BC，BA为x，y轴建立平面直角坐标系，则C（2,0），B（0,0），A（0，），E.

设AD＝a，则D（a，），

则＝，＝（a，），

∴·＝－2a＋1＝－2，a＝，＝，

∴·＝·（2,0）＝－1，

∴在方向上的投影是－.

16.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求·的最大值．

解　设∠OBC＝θ，

则B，C，

A，

M，

·＝×

＋2sin×sin

＝4cos2θ＋2cos2－6cosθcos＋

2sin2

＝2＋4cos2θ－6cosθcos

＝2＋4cos2θ－6cosθ

＝2＋cos2θ＋3sinθcosθ

＝＋cos2θ＋sin2θ

＝＋sin.

∴·的最大值为＋.