贵州省凯里市第一中学届高三上学期开学考试数学理试题.docx
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贵州省凯里市第一中学届高三上学期开学考试数学理试题
凯里一中2019届高三上学期开学考试
理科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．集合，B＝{x|x2+x﹣2＞0}，则A∩∁UB＝（ ）
A．（0，2）B．（0，1]C．（0，1）D．[0，2]
2．已知（2+i）y＝x+yi，x，y∈R，则（ ）
A．B．C．2D．
3．在公差不为0的等差数列{an}中，4a3+a11﹣3a5＝10，则a4＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
4．如图
（1）为某省2016年快递业务量统计表，图
（2）某省2016年快递业务收入统计表，对统计图下列理解错误的是（ ）
A．2016年1～4月业务量最高3月最低2月，差值接近2000万件
B．2016年1～4月业务量同比增长率均超过50%，在3月最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关
C．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务的收入变化高度一致
D．从1～4月来看，业务量与业务收入量有波动，但整体保持高速增长
5．m，n是两不同直线，α是平面，n⊥α，则m∥α是m⊥n的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
6．现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能全在同一组，则不同的派遣方法有（ ）
A．24B．54C．36D．60
7．某几何体三视图如图，则该几何体体积为（ ）
A．B．C．1D．
8．如图为程序框图，则输出结果为（ ）
A．105B．315C．35D．5
9．设x，y满足，则z的范围（ ）
A．B．C．D．
10．已知在Rt△ABC中，A，AB＝3，AC＝4，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设ab，则a+b的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知椭圆与双曲线有公共焦点，F1，F2，F1为左焦点，F2为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，且∠F1PF2，设e1，e2分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为（ ）
A．B．2C．3D．4
12．f（x）有唯一零点，则m＝（ ）
A．3B．2C．D．
二、填空題（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设随机变量X～B（6，），则P（2＜X≤4）＝ ．
14．展开式中x4的系数为
15．f（x）的最小正周期为 ．
16．已知球内接三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1，a1＝1且n∈N．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设anbn，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：
Tn（n∈N*）．
18．四棱锥P﹣ABCD中平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，M为AD中点，PA＝PD，AD＝AB＝2CD＝2．
（1）求证：
平面PMB⊥平面PAC；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
19．越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如表
周数x
6
5
4
3
2
1
正常值y
55
63
72
80
90
99
其中，xiyi＝1452，xi2＝91，
（1）作出散点图；
（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程yx（精确到0.01）；
（3）根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及以上为重度焦虑．若为中度焦虑及以上，则要进行心理疏导．若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？
20．已知定点R（1，0），圆S：
x2+y2+2x﹣15＝0，过R点的直线L1交圆于M，N两点，过R点作直线L2∥SN交SM于Q点．
（1）求Q点的轨迹方程；
（2）若A，B为Q的轨迹与x轴的左右交点，P（x0，y0）（y0≠0）为该轨迹上任一动点，设直线AP，BP分别交直线l：
x＝6于点M，N，判断以MN为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由．
21．已知函数f（x）＝ax﹣axlnx﹣1（a∈R，a≠0）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x＞1时，求证：
e1
选考题；共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若C1，C2交于A，B两点，P点极坐标为，求的值．
23．[选修4-5：
不等式选讲]
已知f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|，g（x）＝|x﹣a|﹣|x+a+1|．
（1）解不等式f（x）＞4；
（2）若对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x2）＝g（x1），求实数a的范围．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．B
2．D
3．C
4．D
5．A
6．C
7．B
8．B
9．C
10．C
11．B
12．C
二、填空題（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．．
14．132．
15．f（x）•
（1）═4sin（x）
则函数的周期为T2π，
16．设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则V球πR3，故R＝2，
设M为△ABC的中心，N为AB的中点，则OM⊥平面ABC，且OC＝2，
NC，MC＝1，
∴OM，
∵PA⊥平面ABC，故PA＝2OM＝2，且PA⊥CN，
∴PN，又CN⊥AB，AB∩PA＝A，
∴CN⊥平面PAB，PC，
∴cos∠NPC．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
17．
（1）由，
得（2n﹣1）an+1＝4Sn﹣1，
可得（2n﹣3）an＝4Sn﹣1﹣1，
相减得（2n+1）an＝（2n﹣1）an+1，即．
又a2＝3，可得，
∴，
∴{}为常数列，
∴，即an＝2n﹣1．
（2）由an＝2n﹣1，得，
∴，
当n＝1时，成立，
当n≥2时，．
∴Tn1．
18．
（1）证明：
∵PA＝PD，M为AD中点，∴PM⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PM⊥平面ABCD，
由已知可得，tan，∴∠ABM＝∠DAC，
又∵，∴，
∴MB⊥AC，得BM⊥平面PAC，又BM⊂平面PMB，
∴平面PMB⊥平面PAC；
（2）解：
以M为坐标原点，分别以MD，MP为x轴与z轴建立空间直角坐标系．
则A（﹣1，0，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2）．
设平面PAC的一个法向量为．
，．
由，令z1＝1，得；
设平面PDC的一个法向量，
，，
由，取z2＝1，得．
设所求二面角为θ，则cosθ．
19．
解：
（1）散点图如图，
（2）依题意3.5.76.5，
所以8.83，76.5+8.83×3.5≈107.41．
所以回归方程为：
8.83x+107.41．
（3）由
（2）得，当x＝2时，8.83×2+107.41＝89.75．
1015，该学生为中度焦虑，需要进行心理疏导．
20．
（1）圆S：
x2+y2+2x﹣15＝0，化为：
（x+1）2+y2＝16．
可得半径r＝4，圆心S（﹣1，0）．
如图所示，
∵直线L2∥SN，∴，
又MS＝SN，∴QR＝MQ．
∴QS+QR＝MS＝4．
∴Q点的轨迹为椭圆，
设标准方程为：
1（a＞b＞0）．
可得：
a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．
∴Q点的轨迹方程为：
1．
（2）直线AP，BP点方程分别为：
y（x+2），y（x﹣2），
令x＝6，可得yM，yN．
∴M（6，），N（6，）．
∵1，∴．
∴圆的方程为：
（x﹣6）2+（y）（y）＝0．
方程化为：
（x﹣6）2．
令x0＝0，y0，可得圆的方程为：
（x﹣6）227．
令y＝0，可得x＝6．
则以MN为直径的圆过定点（6，0）．
证明：
由（x﹣6）2，
令y＝0，可得：
由（x﹣6）224，
解得：
x＝6．
∴以MN为直径的圆过定点（6，0）．
21．
（1）f'（x）＝﹣alnx，
当a＞0时，令f'（x）＞0可得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上单调递增；令f'（x）＜0可得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减；
当a＜0时，令f'（x）＞0可得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；令f'（x）＜0可得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上单调递减．
（2）构造函数g（x）＝lnx﹣1（x＞0），
则g'（x），
令g'（x）＞0可得x＞1；令g'（x）＜0可得0＜x＜1．
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
因此g（x）在x＝1处取得唯一极小值即最小值g
（1）＝0，
所以lnx≥1（x＞0），
进一步lnu≥1（u＞1），
令1（x＞1），
所以，
因此．
原不等式得证．
选考题；共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]
（1）曲线C1的参数方程为（t为参数）．消去参数t可得普通方程：
4x﹣3y+6＝0．
曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，可得ρ2＝4ρcosθ，可得直角坐标方程：
x2+y2﹣4x＝0．
（2）点P的极坐标为，可得直角坐标P（﹣2，﹣2）．
直线C1的参数方程化为标准方程：
（t为参数）．
代入方程：
x2+y2﹣4x＝0．可得：
5t2﹣16t+80＝0，
∴t1+t2，t1t2．
∴．
23．[选修4-5：
不等式选讲]
（1）f（x）
∴f（x）＞4⇔或或，
解得x或x＞7，
所以不等式f（x）＞4的解集为{x|x或x＞7}
（2）由f（x）的单调性可知x时f（x）取得最小值，所以f（x）的值域为[，+∞）；
根据绝对值不等式的性质可得||x﹣a|﹣|x+a+1||≤|（x﹣a）﹣（x+a+1）|＝|﹣2a﹣1|＝|2a+1|，
﹣|2a+1|∴≤g（x）≤|2a+1|，即g（x）的值域为[﹣|2a+1|，|2a+1|]，
对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x2）＝g（x1）⇔[﹣|2a+1|，[|2a+1|]⊆[，+∞），
∴﹣|2a+1|，∴|2a+1|，解得a．
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