高等代数教案 (1).doc
《高等代数教案 (1).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数教案 (1).doc（208页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
《高等代数》课程教学总体安排
一、课程名称：
高等代数
二、课程性质与类型：
专业必修课，理论课
三、课程总学时及学分：
150学时，学分
四、教学目的与要求：
教学目的：
高等代数是数学与应用数学专业必修基础课，也是一门重要主干课程，是中学代数的提高，也是近代数学的基础。
通过本课程的教学，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，适当地了解代数的一些历史，一些背景，以加深对中学数学的理解，获得独立分析和解决有关的理论和实际问题的能力，并为进一步学习其他后继课程：
近世代数、微分方程、泛函分析等，以及将来从事教学，科研及其他实际工作打下基础。
教学基本要求：
基本掌握全书的基本概念；能独立处理书后的绝大部分习题；通过本书抽象理论的学习，提高自学能力，数学思维，专业素质，以便阅读较深的文献。
五、教材及参考书目
教材：
张禾瑞,郝炳新著，高等代数，高等教育出版社，2007年6月第四版，ISBN:
7-04-021465-9，
主要参考书：
[1]北京大学数学系，高等代数，高等教育出版社，2003年7月第三版ISBN:
7-04-011915-3
[2]李师正等编，高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，2004年2月版ISBN:
7-04-012942-6
[3]徐仲,陆全,张凯院，高等代数考研教案，西北工业大学出版社，2006年6月出版，ISBN:
7-5612-2088-X
六、考核方式及成绩计算方法
期末进行闭卷考试，综合平时学习态度、课堂表现、平时作业确定学生学习成绩。
具体计算方法为：
学科成绩=期末考试成绩×90%+平时成绩×10%
七、课程教学日历
课程名称：
高等代数（上）
周次
章节及教学内容安排
累计学时
一至三
新生入学、军训
四
第一章基本概念§1.5数环数域第二章多项式
§2.1多项式的定义及运算
4
五
国庆节放假
六
§2.2多项式整除性§2.3最大公因式
（1）
8
七
§2.3最大公因式
（2）§1.1-1.3习题课
§2.4多项式因式分解
14
八
§2.5重因式
§2.6多项式函数根
（1）
18
九
§2.6多项式函数根
（2）§2.4-2.6习题课
§2.7C、R上的多项式
24
十
§2.8有理数域上多项式第二章小结
28
十一
第三章行列式
§3.1方程组排列
（1）§3.2排列
（2）
§3.3n阶行列式
（1）
34
十二
§3.3n阶行列式
（2）§3.4行列式依行列展开
38
十三
§3.5克莱默法则第三章小节
第四章线性方程组§4.1线性方程组消元法
（1）
44
十四
§4.1线性方程组消元法
（2）
§4.2矩阵的秩方程组解的判别法
48
十五
§4.3线性方程组公式解第四章小结
第五章矩阵§5.1矩阵运算
（1）
54
十六
§5.1矩阵运算
（2）§5.2可逆矩阵
（1）
58
十七
§5.2可逆矩阵
（2）§5.3分块矩阵
§5.1-5.3习题课
64
十八
第五章小结总复习
68
课程名称：
高等代数（下）
周次
章节及教学内容安排
累计学时
一
第六章向量空间
§6.1向量空间的定义§6.2子空间
§6.3向量的线性相关性
（一）
6
二
§6.3向量的线性相关性
（二）；习题课
10
三
§6.4基和维数
（一）§6.4基和维数
（二）
§6.5坐标
16
四
习题课；§6.6向量空间的同构
20
五
§6.7矩阵的秩，解空间
（一）
§6.7矩阵的秩，解空间
（二）
小结
26
六
第七章线性变换
§7.1线性映射§7.2线性变换的运算
30
七
§7.3线性变换与矩阵
（一）
§7.3线性变换与矩阵
（二）；习题课
36
八
§7.4不变子空间
§7.5本征值及本征向量
（一）
40
九
§7.5本征值及本征向量
（二）§7.6可对角化矩阵
46
十
习题课小结
50
十一
第八章欧式空间
§8.1欧式空间定义§8.2标准正交基
（一）
56
十二
§8.2标准正交基
（二）§8.3正交变换
（一）
60
十三
§8.3正交变换
（二）；习题课§8.4对称变换
66
十四
习题课小结
70
十五
第九章二次型
§9.1二次型及标准型§9.2C和R上的二次型
76
十六
§9.3正定二次型；习题课
80
第一章基本概念
教学安排说明
章节题目：
§1.5数环数域
学时分配：
2学时。
教学时数为2学时
本章教学目的与要求：
掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。
其它：
本章以自学为主，只讲授第五节
课堂教学方案
§1.5数环数域
课程名称：
§1.5数环数域
授课时数：
2学时
授课类型:
理论课
教学方法与手段：
讲授法
教学目的与要求：
掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。
教学重点、难点：
数域的基本概念；判定数的集合是否是一个数域
教学内容
§5数环和数域
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.
定义1设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果中任意两个数的和、差、积仍然是中的数，那么就称为一个数环.
显然整数集、全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数环。
这四个数环分别用字母Z、Q、R、C来代表。
例1取定一个数a，是一个数环
定义2设是一个数环，如果：
（1）含有一个不等于0的数
（2）如果
那么就称是一个数域
又可定义为：
设是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么就称为一个数域.
显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q、R、C来代表.全体整数组成的集合就不是数域.
如果数的集合中任意两个数作某一种运算的结果都仍在中，就说数集对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么就称为一个数域.
例2所有可以表成形式
的数组成一数域，其中为任意非负整数，是整数.
例3所有具有形式
的数（其中是任何有理数），构成一个数域.通常用来表示这个数域.
例4所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.
定理：
所有的数域都包含有理数域Q.
课后作业：
P282，4，5
第二章多项式
教学安排说明
章节题目：
§2.1一元多项式的定义及运算，§2.2多项式整除性，§2.3最大公因式，§2.4多项式因式分解，§2.5重因式，§2.6多项式函数与根，§2.7C、R上的多项式，§2.8有理数域上多项式
学时分配：
30学时。
§1一元多项式（2学时）；
§2整除（2学时）；
§3最大公因式（4学时）；
§4因式分解（3学时）；
§5重因式（2学时）；
§6多项式函数（4学时）；
§7复数域、实数域上多项式（3学时）；
§8有理系数多项式（3学时）；
习题课及讨论（7学时）
本章教学目的与要求：
1）．掌握一元多项式的定义及运算律；理解并掌握多项式的次数及次数定理；
2）．理解并掌握多项式的整除概念和性质，掌握带余除法及其应用；
3）．理解最大公因式的存在性，掌握其求法及表示法；
4）．掌握多项式的互素概念及性质；
5）．掌握不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理，了解标准分解式及应用；
6）．理解多项式导数的定义，求法及重因式概念，掌握多项式重因式的判别法；
7）．掌握多项式函数余式定理，理解多项式相等与多项式函数相等的关系；
8）．掌握复数域、实数域上多项式因式分解定理及不可约多项式的类型。
9）．掌握有理数域上多项式的可约性及有理根的求法，掌握高斯引理的应用。
课堂教学方案
§1一元多项式
课程名称：
§1一元多项式
授课时数：
2学时
授课类型：
理论课
教学方法与手段：
讲授法
教学目的与要求：
掌握一元多项式的定义，运算及运算律；理解并掌握多项式的次数及次数定理；
教学重点、难点：
多项式的形式定义
教学内容
§1一元多项式的定义和运算
我们将在一个数环R上来讨论多项式
一、一元多项式的定义
定义1设是一非负整数，形式表达式
（1）
其中全属于数域R，称为系数在数域R中的一元多项式，或者简称为数域R上的一元多项式.
在多项式
（1）中，称为次项，称为次项的系数.以后用或等来表示多项式.
注意：
这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.
定义2如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么与就称为相等，记为.
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.
在
（1）中，如果，那么称为多项式
（1）的首项，称为首项系数，称为多项式
（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式的次数记为.
二、多项式的运算
设
是数域R上两个多项式，那么可以写成
在表示多项式与的和时，如，为了方便起见，在中令，那么与的和为
而与的乘积为
其中次项的系数是
所以可表成
.
显然，数域R上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域R上的多项式.
多项式的运算满足以下的一些规律：
1.加法交换律：
.
2.加法结合律：
3.乘法交换律：
.
4.乘法结合律：
5.乘法对加法的分配律：
6.乘法消去律：
若且，则.
定理2.1.1
（1）对于多项式的加减法，当时，有
.
（2）对于多项式的乘法，若，则，并且
由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.
显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.
推论2.1.2当且仅当和至少有一个是零多项式
推论2.1.3若是，且，那么
定义所有系数在数域R中的一元多项式的全体，称为数域R上的一元多项式环，记为，R称为的系数域.
课后作业：
P311，3
课堂教学方案
课程名称：
§2多项式的整除性
授课时数：
2学时
授课类型：
理论课
教学方法与手段：
讲授法
教学目的与要求：
理解并掌握多项式的整除概念和性质，掌握带余除法及其应用；
教学重点、难点：
带余除法
教学内容
§2多项式的整除
在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.
以下限于讨论一个数域上一元多项式的整除性
设是一个数域，是上的一元多项式环
一、整除的概念
定义数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式
成立.用“”表示整
升级会员 