a[i]+b[i]:
a[i])+carry;
a[i]=r%10;
carry=r/10;
}
if(carry)a[++m]=carry;
}
free(b);
a[0]=m;
}
voidwrite(int*a,intk)
{inti;
printf(“%4d!
=”,k);
for(i=a[0];i>0;i--)
printf(“%d”,a[i]);
printf(“\n\n”);
}
voidmain()
{inta[MAXN],n,k;
printf(“Enterthenumbern:
“);
scanf(“%d”,&n);
a[0]=1;
a[1]=1;
write(a,1);
for(k=2;k<=n;k++)
{pnext(a,k);
write(a,k);
getchar();
}
}
四、递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:
为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。
特别地,当规模N=1时,能直接得解。
【问题】编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。
斐波那契数列为:
0、1、1、2、3、……,即:
fib(0)=0;
fib
(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)(当n>1时)。
写成递归函数有:
intfib(intn)
{if(n==0)return0;
if(n==1)return1;
if(n>1)returnfib(n-1)+fib(n-2);
}
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。
在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。
例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。
也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。
依次类推,直至计算fib
(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。
在递推阶段,必须要有终止递归的情况。
例如在函数fib中,当n为1和0的情况。
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib
(1)和fib(0)后,返回得到fib
(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。
在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。
当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。
例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。
【问题】组合问题
问题描述:
找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5,r=3的所有组合为:
(1)5、4、3
(2)5、4、2(3)5、4、1
(4)5、3、2(5)5、3、1(6)5、2、1
(7)4、3、2(8)4、3、1(9)4、2、1
(10)3、2、1
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。
设函数为voidcomb(intm,intk)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。
当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。
这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。
设函数引入工作数组a[]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[]中的一个组合输出。
第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。
细节见以下程序中的函数comb。
【程序】
#include
#defineMAXN100
inta[MAXN];
voidcomb(intm,intk)
{inti,j;
for(i=m;i>=k;i--)
{a[k]=i;
if(k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{for(j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}
voidmain()
{a[0]=3;
comb(5,3);
}
【问题】背包问题
问题描述:
有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。
采用递归寻找物品的选择方案。
设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[],该方案的总价值存于变量maxv。
当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[]。
假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。
算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。
因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。
对于第i件物品的选择考虑有两种可能:
(1)考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。
选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。
(2)考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。
按以上思想写出递归算法如下:
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv)
{/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{将物品i包含在当前方案中;
if(itry(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
恢复物品i不包含状态;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if(不包含物品i仅是可男考虑的)
if(itry(i+1,tw,tv-物品i的价值);
else
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
}
为了理解上述算法,特举以下实例。
设有4件物品,它们的重量和价值见表:
物品
0
1
2
3
重量
5
3
2
1
价值
4
4
3
1
并设限制重量为7。
则按以上算法,下图表示找解过程。
由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。
如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。
按上述算法编写函数和程序如下:
【程序】
#include
#defineN100
doublelimitW,totV,maxV;
intoption[N],cop[N];
struct{doubleweight;
doublevalue;
}a[N];
intn;
voidfind(inti,doubletw,doubletv)
{intk;
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if(tw+a[i].weight<=limitW)
{cop[i]=1;
if(ielse
{for(k=0;koption[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop[i]=0;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if(tv-a[i].value>maxV)
if(ielse
{for(k=0;koption[k]=cop[k];
maxv=tv-a[i].value;
}
}
voidmain()
{intk;
doublew,v;
printf(“输入物品种数\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
for(totv=0.0,k=0;k{scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“输入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for(k=0;kfind(0,0.0,totV);
for(k=0;kif(option[k])printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
}
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。
为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成