清华大学一元微积分期中考题.doc

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一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！

）

1.已知，则。

2.。

3.设，则。

4.已知时，为的5阶无穷小量，则。

5.。

6.。

7.。

8.。

9.，则。

10.，则。

11.函数的不可导点的个数为。

12.曲线当时的渐近线方程为。

13.设，则。

14.已知函数由确定，则曲线在点处的切线方程

为。

15.函数的反函数的导数。

二．计算题（每题10分，共40分）

1.已知，求。

2.写出函数在处的带有Lagrange余项的阶泰勒公式。

3.根据的奇数偶数不同情况分别讨论函数（为正整数）的单调性，求

它在实数范围的最值并画出其图像。

4.已知为上的连续可导函数，，

（I）求证：

为上的可导函数；

（II）计算。

三．证明题

1.（8分）设，，且当时，存在且单调增，证明：

当时，单调增。

2.（7分）设函数在内二阶可导，且其图像在内有三个点满足关系，

（I）证明必然存在一个点，使得；

（II）写出此命题的一个推广命题。