十微分方程高等数学.docx
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十微分方程高等数学
第十一章微分方程
一、内容分析及教学建议
微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。
实际上微分方程问题，
早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。
在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。
（一）微分方程的概念
从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注意：
1通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的；
2微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。
例如：
函数是微分方程的解，
此解不是通解，也不是特解。
（二）一阶微分方程的解法
1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方法求解；
如，改写为（关于的一阶线性微分方程等）；
2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生复习不定积分的基本内容；
3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如，即可；
4、关于一阶线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础；
5、对于全微分方程求解，涉及到“曲线积分”内容，通常有三种解法（见“曲线积分”一章注解），关于积分因子，主要取决于微分的熟练，但教学中要求不高；
6、关于贝努利方程，注意：
，这里可放宽到任意实数仍成立。
（三）可降阶的高阶微分方程
1、三种常见的类型：
，，共同的思路是通过变量代换进行降阶，教学中注意形式上的比较及变量代换的作用，尤其是讲清中为什么用而不用；
2、形如的方程，既属于型，又属于型，求解时，应选择较为简单的方法；
3、如果可降阶的高阶微分方程是常系数线性微分方程，则可用求特征方程根的代数方法求解，尽量不用降阶法，可避免求解积分的繁复计算；
（四）高阶线性微分方程
1、关于解的性质，首先要引入线性相关与无关的概念，如果未学线性代数，则主要是以解释为主；
2、一定要让学生明白解的结构，为后面具体求解奠定基础；
3、基础较好的班级可选讲二阶线性非齐次方程的常数变易法；
4、对于二阶常系数非齐次方程特解的求解，讲课时由易到难，由简单到复杂，先从开始，再讨论，最后再介绍一般的类型
，循序渐进，逐一讨论，易于接受。
（五）微分方程的应用问题
应用微分方程解决实际问题，是数学建模的一个重要组成部分，另外在近几年的考研命题中比重有所加大，教学中予以重视，这类问题一般按以下步骤求解。
ⅰ）对实际问题作出简化假设；
ⅱ）根据题意，建立微分方程，列出初始条件；
ⅲ）应用适当的变量代换化微分方程为标准的可解方程，然后求解。
当然，教学的基本要求是应用解决一些简单的几何和物理问题，关键仍是教学生解决此类问题的分析思路。
（六）通过具体例子讲述微分方程的级数解，使学生会处理一些简单的级数解法。
二、补充例题
例1求解下列微分方程
①，
②
解①:
令，则，于是，
，，
由初值问题，故所给方程特解.
2原方程可改写为,.
令，则有：
，，
原方程通解为.
例2.设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，
其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求.
解：
由题设及高斯公式得：
其中为围成的有界闭区域，当有向曲面的法向量指向外侧时，取“+”号，当有向曲面的法向量指向内侧时，取“-”号，由的任意性知
，
即，
这是一阶线性非齐次方程，由通解公式有
由于，故必有：
，即，从而
例3.设方程的一个特解为，试确定，，的值，并求该方程通解.
解：
把代入方程整理得
解得：
，，
原方程为：
对应齐次方程通解为，
由于为方程的特解，而是对应齐次方程的解，因此为原方程的特解，所以方程的通解为.
另一解法：
因为特解中含有项，表明1为对应齐次方程的一个特征根，特解中含有项，知2是另
一特征根，特征方程为：
，
原方程为，，，
由于对应齐次方程的通解为，知为方程的特解，代入方程得：
方程的通解为.
例4.设，其中连续，求.
解：
等式两端对求导得：
再求导得：
令,得
在中令，从而和初始条件，,得初值问题
对应齐次方程通解为
设原方程的特解为
代入方程化简，解得，,即
方程的通解为
由初始条件得，
得初值问题的解
例5.假设对任意，曲线点处切线在轴上截距为，求的一般表达式.
解：
曲线在点处切线方程
令，得截距
由题意：
即
上式两端对2求导，化简得：
即，，（，为任意常数）.
例6.已知函数具有二阶连续导数且，，已知曲线积分
与路径无关，求.
解：
曲线积分与路径无关，，故
即
即
对应齐次方程特征方程为
齐次方程通解为
由于是特征根，故设
代入方程，
所以方程通解为
再由得，可定出
所求函数为.
例7.已知，若把成因变量，看作自变量，则方程化为为什么形式？
并求此方程的通解.
解：
对，两边关于求导得
代入原方程得：
通解为：
.
例8.某湖泊的水量为，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含污染物A的的水量为，流出湖泊水量为，已知1999年底湖中A的含量为5，超过了国家规定标准，为了治理污染，从2000年起限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过/V,问至少经过多少年，湖泊中污染物A的含量将降至以内?
（注：
设湖水中A的浓度是均匀的。
）
解：
设从2000年起，令此时开始，第年湖泊中污染物A的含量为，浓度为，则在时间间隔内排入湖泊中A的量为，流出湖泊的水中A的量为，因而在此时间之隔内湖泊中污染物A的浓度量为
由初始条件，可得，于是
令，得，即至少需经过年时间湖泊中污染物A的含量才降至以内。
例9.位于坐标原点的我舰向位于轴上距原点1个单位的A点处的敌舰发射制导鱼雷，且鱼雷永远对准敌舰，设敌舰以最大速度到于轴的直线行驶，又设鱼雷的速度是敌舰的5倍，求鱼雷的轨迹曲线及敌舰行驶多远时，将被鱼雷击中？
解：
作出草图，设鱼雷的轨迹曲线是，经过时间，鱼雷位于，敌舰位于由于鱼雷始终对准敌舰，故有
①
又鱼雷的速度是敌舰速度的5倍，故有
即②
由①，代入②式有
两边关于，求导得：
③
初始条件，
令，代入③
分离变量得：
即④
由初始条件，得
在④式两边同乘以
式相加得：
两边积分，
再由，
当时，，
可知当敌舰行个单位距离时，将被鱼雷击中。
例10.设有一高度为，（–为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面面积成正比例（比例系数为0.9），问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？
解：
设为雪堆体积，为雪堆的侧面积，则
由题意知s
所以，
由
令，得（小时）
因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。
三、补充练习
1求下列微分方程的通解
①②
（①，②）
2求微分方程满足初始条件的特解
（）
3用适当的变量代换求解方程
4求微分方程的通解
5已知，确定，使曲线积分
与路径无关，当，分别为，时，求曲线积分的值
6求微分方程的通解
7求下列微分方程的通解
①②
（①②）
8、求方程满足初始条件的特解.
9、已知曲线上任上点处切线从切点到轴交点的长度，等于该切线在轴上截距的绝对值（即交点到原点的距离），且曲线过点，求此曲线方程.
10、设火车经过提速后，以30m/s（相当于108km/h）的速度在平直的轨道上行驶，当制动（刹车）时获得加速-0.6m/s2，问开始制动后经过多少时间火车才能停住？
又在这段时间内火车行驶了多少路程?
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