解析版中考数学常考易错点61《统计》原创.docx
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解析版中考数学常考易错点61《统计》原创
6.1统计
易错清单
1.对统计相关概念的理解不当导致出错.
【例1】 (2014·四川巴中)今年我市有4万名学生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中,下列说法:
①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;
②每个考生是个体;
③2000名考生是总体的一个样本;
④样本容量是2000.
其中说法正确的有( ).
A.4个B.3个
C.2个D.1个
【解析】 总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量,这四个概念时,首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量.
这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;每个考生的数学中考成绩是个体;2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本,样本容量是2000.故正确的是①④.
【答案】 C
【误区纠错】 从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,而样本中个体的数目叫做样本容量.对“样本”与“样本容量”这两个概念的混淆,是较为常见的错误.
2.涉及有关统计量的计算问题,因计算方法不当导致出错.
【例2】 (2014·湖南怀化)某中学随机调查了15名学生,了解他们一周在校参加体育锻炼时间,列表如下:
锻炼时间(小时)
5
6
7
8
人数
2
6
5
2
则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是( )
A.6,7B.7,7
C.7,6D.6,6
【解析】 此题考查了中位数和众数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数.
∵ 共有15个数,最中间的数是第8个数,
∴ 这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是6.
6出现的次数最多,出现了6次,则众数是6.
【答案】 D
【误区纠错】 求一组数据的中位数时,千万别忘了先将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列.
3.求加权平均数失误.
【例3】 (2014·山东临沂)某中学随机抽查了50名学生,了解他们一周的课外阅读时间,结果如下表所示:
时间(小时)
4
5
6
7
人数
10
20
15
5
则这50名学生一周的平均课外阅读时间是 小时.
【解析】 平均数的计算方法是求出所有数据的和,然后除以数据的总个数.
该组数据的平均数为(4×10+5×20+6×15+7×5)÷50=265÷50=5.3(小时).
【答案】 5.3
【误区纠错】 一般的,如果一组数据x1,x2…,xn的权分别为w1,w2…,wn,那么
为这n个数的加权平均数.本题易出现的错误是求4,5,6,7这四个数的平均数,对平均数的理解不正确.
4.统计图的综合使用时方法不当导致出错.
【例4】 (2014·山东枣庄)一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球,小球除颜色外完全相同,为估计该口袋中四种颜色的小球数量,每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回,重复多次试验,汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图.
根据以上信息解答下列问题:
(1)求实验总次数,并补全条形统计图;
(2)扇形统计图中,摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度?
(3)已知该口袋中有10个红球,请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量.
【解析】
(1)用摸到红色球的次数除以占的百分比即是实验总次数,用总次数减去红、黄、绿球的次数和即为摸蓝球的次数,再补全条形统计图即可;
(2)用摸到黄色小球次数除以实验总次数,再乘以360°即可得摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数;
(3)先得出摸到绿色小球次数所占的百分比,再用口袋中有10个红球除以红球所占的百分比得出口袋中小球的总数,最后乘以绿色小球所占的百分比即可.
【答案】
(1)50÷25%=200(次),
所以实验总次数为200次.
补全条形统计图如下:
故口袋中绿球有2个.
【误区纠错】 本题主要考查了条形统计图,用样本估计总体,弄清题意读懂图是解本题的关键.
名师点拨
1.牢固掌握概念,并能掌握概念间的区别和联系,以及在实际问题中的应用.
2.统计是与数据打交道,解题时计算较繁琐,所以要有意识培养认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.
3.要关注统计知识与方程、不等式相结合的综合性试题,会读频数分布直方图,会分析图表.注重能力的培养,加大训练力度.
4.在统计中数据的集中趋势与离散程度是中考热点,应分清众数、中位数、平均数的区别,分清方差、极差、标准差的联系,例如众数一定存在于一组数据中,众数不唯一;中位数不一定存在一组数据中,中位数唯一;能用统计数据来解决生产生活中的问题.
提分策略
1.统计的方法.
(1)下面的情形常采用抽样调查:
①当受客观条件限制,无法对所有个体进行普查时,如考查某市中学生的视力.②当调查具有破坏性,不允许普查时,如考查某批灯泡的使用寿命是抽样调查.③当总体的容量较大,个体分布较广时,考查多受客观条件限制,宜用抽样调查.
(2)抽样调查的要求:
①抽查的样本要有代表性;②抽查样本的数目不能太少.
【例1】 为了了解某市120000名初中学生的视力情况,某校数学兴趣小组,并进行整理分析.
(1)小明在眼镜店调查了1000名初中学生的视力,小刚在邻居中调查了20名初中学生的视力,他们的抽样是否合理?
并说明理由;
(2)该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了1000名学生进行调查,整理他们的视力情况数据,得到如下的折线统计图.
某市七、八、九年级各抽取的
1000名学生视力不良率折线图
请你根据抽样调查的结果,估计该市120000名初中学生视力不良的人数是多少?
【解析】
(1)根据学生全部在眼镜店抽取,不具有代表性;只抽取20名初中学生,样本的容量过小,样本不具有广泛性;
(2)用120000乘以初中学生视力不良的人数所占的百分比,即可得出答案.
【答案】
(1)他们的抽样都不合理.
因为如果1000名初中学生全部在眼镜店抽取,那么该市每个学生被抽到的机会不相等,样本不具有代表性,
如果只抽取20名初中学生,那么样本的容量过小,样本不具有广泛性.
(2)根据题意,得
故该市120000名初中学生视力不良的人数约是72000名.
2.统计图的特点.
【例2】 (2014·湖南张家界)要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势,宜采用( )
A.条形统计图
B.扇形统计图
C.折线统计图
D.频数分布统计图
【解析】 根据统计图的特点进行分析可得:
扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比,但一般不能直接从图中得到具体的数据;折线统计图表示的是事物的变化情况;条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.
【答案】 据题意,得要求直观反映台州市一周内每天的最高气温的变化情况,结合统计图各自的特点,应选择折线统计图.故选C.
3.条形统计图、折线统计图、扇形统计图的应用.
【例3】 “中国梦”是中华民族每一个人的梦,也是每一个中小学生的梦,各中小学开展经典诵读活动,无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符,学校在经典诵读活动中,对全校学生用A,B,C,D四个等级进行评价,现从中抽取若干个学生进行调查,绘制出了两幅不完整的统计图,请你根据图中信息解答下列问题:
(1)共抽取了多少个学生进行调查?
(2)将图甲中的折线统计图补充完整;
(3)求出图乙中B等级所占圆心角的度数.
甲
乙
【解析】
(1)用C等级的人数除以C等级所占的百分比即可得到抽取的总人数;
(2)先用总数分别减去A,C,D等级的人数得到B等级的人数,然后画出折线统计图;
(3)用360°乘以B等级所占的百分比即可得到B等级所占圆心角的度数.
【答案】
(1)10÷20%=50,
所以抽取了50个学生进行调查.
(2)B等级的人数为50-15-10-5=20(人),
补充折线统计图如图.
(3)图乙中B等级所占圆心角的度数为
4.方差与标准差的计算.
【例4】 我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛,组织了选拔测试,两人分别进行了五次射击,成绩(单位:
环)如下:
甲
10
9
8
9
9
乙
10
8
9
8
10
则应选择 运动员参加省运动会比赛.
【解析】 先分别计算出甲和乙的平均数,再利用方差公式求出甲和乙的方差,最后根据方差的大小进行判断即可.
甲的平均数是(10+9+8+9+9)=9,
乙的平均数是(10+8+9+8+10)=9,
甲的方差=
[(10-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(9-9)2]=0.4;
乙的方差=
[(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(10-9)2+(9-9)2]=0.8.
∵
∴ 甲的成绩稳定.
∴ 应选择甲运动员参加省运动会比赛.
【答案】 甲
5.利用样本估计总体.
统计的核心思想是用样本去估计总体,本题的命题就体现了这一思想.对于一组数据来说,出现次数最多的那个数据就是这组数据的众数;按从小到大(或从大到小)的顺序排列后,处于最中间的一个数(共有奇数个数据)或中间两个数的平均数(共有偶数个数据)就是这组数据的中位数;极差是这组数据中最大数与最小数的差;平均数是所有数据的和除以数据个数.当然,本题求平均数的方法是利用加权平均数的计算公式进行计算的.
【例5】 为提高居民的节水意识,向阳小区开展了“建设节水型社区,保障用水安全”为主题的节水宣传活动,小莹同学积极参与小区的宣传活动,并对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查,他在300户家庭中,随机调查了50户家庭5月份的用水量情况,结果如图所示.
(1)试估计该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比;
(2)把图中每组用水量的值用该组的中间值(如0~6的中间值为3)来替代,估计该小区5月份的用水量.
【解析】
(1)用用水量不高于12t的户数除以抽查的总的户数即可求出该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比;
(2)用该组的中间值乘以户数,求出总的用水量,再除以抽查的户数求出每户的平均用水量,最后乘以该小区总的户数即可得出答案.
【答案】
(1)根据题意,得
×100%=52%.
故该小区5月份用水量不高于12t的户数占小区总户数的百分比是52%.
(2)根据题意,得300×(3×6+9×20+15×12+21×7+27×5)÷50=3960(t).
故估计该小区5月份的用水量是3960t.
专项训练
一、选择题
1.(2014·四川峨眉山二模)某班对全体同学上学的方式作一个调查,画出乘车、步行、骑车人数分布的条形统计图和扇形统计图(两图均不完整),如图,则下列结论中错误的是( ).
(第1题)
A.该班总人数为50人
B.骑车人数占总人数的20%
C.乘车人数是骑车人数的2.5倍
D.步行人数为30人
2.(2014·湖北襄阳模拟)我区某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统计结果如下表,对于这组统计数据,下列说法中正确的是( ).
班级
1班
2班
3班
4班
5班
6班
人数
52
60
62
54
58
62
A.平均数是60B.中位数是59
C.极差是40D.众数是58
3.(2014·江苏常州模拟)为了帮助本市一名患“白血病”的高中生,某班15名同学积极捐款,他们捐款数额如下表:
捐款的数额/元
5
10
20
50
100
人数/人
2
4
5
3
1
关于这15名学生所捐款的数额,下列说法正确的是( ).
A.众数是100B.平均数是30
C.极差是20D.中位数是20
4.(2014·江苏南通海安县模拟)一组数据按从小到大排列为2,4,8,x,10,14.若这组数据的中位数为9,则这组数据的众数为( ).
A.6B.8
C.9D.10
5.(2014·四川简阳模拟)某校九年级一、二班学生参加同一次数学测验,经统计计算后得到下表:
班级
参加人数
中位数
方差
平均数
一班
55
78
135
75
二班
55
81
126
75
小亮根据上表分析得出如下结论:
①一、二两班学生的平均水平相同;②二班的优秀人数多于一班的优秀人数(成绩≥80分为优秀);③一班成绩波动情况比二班成绩波动大.上述结论正确的是( ).
A.①②③B.①②
C.①③D.②③
6.(2013·河南西华县王营中学一模)某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下:
年龄(岁)
12
13
14
15
16
人数
1
4
3
2
2
则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是( ).
A.15,16B.13,15
C.13,14D.14,14
7.(2013·浙江温州一模)在50,20,50,30,50,25,35这组数据中,众数和中位数分别是( ).
A.50,20B.50,30
C.50,35D.35,50
8.(2013·河北三模)以下四种说法:
①为检测酸奶的质量,应采用抽查的方式;
②甲、乙两人打靶比赛,平均各中5环,方差分别为0.15,0.17,所以甲稳定;
③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形;
④举办校运会期间的每一天都是晴天是必然事件.
其中正确的个数是( ).
A.4B.3
C.2D.1
二、填空题
9.(2014·江苏常熟二模)九
(1)班同学为了解2012年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据整理如下:
月均用水量x(t)
频数(户)
频率
06
0.12
50.24
1016
0.32
1510
0.20
204
252
0.04
(第9题)
若该小区有1000户家庭,根据调查数据估计,则该小区月均用水量超过20t的家庭大约有 户.
10.(2014·江苏句容一模)中国跳水队的奥运选拔赛中,甲、乙、丙、丁四名运动员的平均成绩与标准差S如下表,则要从中选一名参赛,应选择 .
甲
乙
丙
丁
8
9
9
8
S
1
1
1.2
1.3
11.(2014·上海长宁区二模)为了解某区高三学生的身体发育状况,抽查了该区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图,从图中可知,这100名学生中体重不小于55.5kg且小于65.5kg的学生人数是 .
(第11题)
12.(2013·山西模拟)某家电商场近来一个月卖出不同功率的空调总数见下表:
功率(匹)
1
1.5
2
3
销量(台)
80
78
90
25
那么这一个月卖出空调的众数是 .
13.(2013·浙江温州一模)在“感恩一日捐”捐赠活动中,某班40位同学捐款金额统计如下,则在这次活动中,该班同学捐款金额的平均数是 元.
金额(元)
20
30
36
50
100
学生数(人)
3
7
5
15
10
三、解答题
14.(2014·山东济南二模)某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养,随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查(每人从中只能选一项),并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图,请你结合图中信息解答问题.
喜欢种类活动的
学生人数条形图
(1) 女生中喜欢各类活动
的人数扇形统计图
(2)
(第14题)
(1)将条形统计图补充完整;
(2)本次抽样调查的样本容量是 ;
(3)已知该校有1200名学生,请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.
15.(2013·吉林模拟)小丽学完统计知识后,随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄,将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图:
(第15题)
请根据以上不完整的统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)小丽同学共调查了 名居民的年龄,扇形统计图中a= ,b= ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该辖区年龄在0~14岁的居民约有3500人,请估计年龄在15~59岁的居民的人数.
参考答案与解析
1.D 2.B 3.D 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C
9.120 10.乙 11.35 12.2 13.55
14.
(1)∵ 根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%,利用条形图中喜欢武术的女生有10人,
∴ 女生总人数为10÷20%=50(人),
∴ 女生中喜欢舞蹈的人数为50-10-16=24(人).
补充条形统计图,如图所示:
(第14题)
(2)100
(3)∵ 样本中喜欢剪纸的人数为30人,样本容量为100,
∴ 估计全校学生中喜欢剪纸的人数为
360(人).
15.
(1)500 20% 12%
(2)41~59岁人数为500×22%=110(人).
补全条形统计图如图所示.
(第15题)
(3)3500÷20%×(46%+22%)=11900(人).
故年龄在15~59岁的居民约有11900人.