函数图象上所有点的横坐标的全体就是函数自变量的取值范围,所有点的纵坐标的全体就是函数值的全体.
<2)自变量、函数值的变化范围与函数图象的位置关系.
自变量、函数值的变化范围直接影响着函数图象在坐标平面中的位置.
当自变量x>0,函数值y>0时,则图象在第一象限;若图象经过第三象限,则说明此时自变量与函数值均取负值.如果图象或它的一部分在x轴的上方,表示此时的函数值为正;如果图象或它的一部分在x轴的下方,表示此时的函数值为负.图象与x轴交点的横坐标,表示当自变量等于这个值时,函数值为0;图象与y轴交点的纵坐标,表示当自变量等于0时对应的函数值.图象经过原点,表示自变量等于0时,函数值也等于0.
<3)函数的增减性与函数图象的升降关系.
如果函数值y在某一变化范围内,随着x的增大而增大,表示函数的图象在这个变化范围内自左向右是上升的;如果函数值y在某一变化范围内,随着自变量x的增大而减小,表示函数的图象在这个变化范围内自左向右是下降的.
函数的增减性是一个局部概念,可以在自变量的整个取值范围内考虑,也可以在自变量某一个较小的变化范围内考虑.反映在图象上,可以观察整个图象的升降情况,也可以观察某一段图象的升降情况.只要函数的某段图象是上升的,就说明函数在这一段图象所对应的自变量变化范围内,y随x的增大而增大;只要函数的某段图象是下降的,就说明函数在这段图象所对应的自变量变化范围内,y随x的增大而减小.
<4)函数的最大值、最小值与函数图象上最高点、最低点间的关系.
如果函数图象有最高点,那么最高点的纵坐标就是这个函数的最大值,最高点的横坐标就是函数达到最大值时的自变量的值.
如果函数图象有最低点,那么最低点的纵坐标就是这个函数的最小值,最低点的横坐标就是函数达到最小值时的自变量的值.
如果函数图象无最高点也无最低点,那么这个函数就既没有最大值也没有最小值.
如抛物线
上的最低点是<1,3),则函数
当x=1时达到最小值3.
抛物线
上的最高点是
则函数
时达到最大值
直线y=2x-1的图象既无最高点又无最低点,所以函数y=2x-1既无最大值也无最小值.
要注意,函数是否有最大值和最小值,是在自变量的整个取值范围内考虑的.最值问题是一个整体概念,要观察整个图象是否存在最高点和最低点.
例右图所示的是某个函数的图象.根据图象分析函数的单调性及最大值最小值.
教师在讲解时要引导学生去观察图象变化趋势,从而得出结论:
函数不存在最大值,也不存在最小值.这是因为函数的图象在第一象限向上方无限延伸,在第三象限向下方无限延伸,无最高点也无最低点.有的同学可能认为点<1,1)是图象的最高点,点<3,-1)是图象的最低点,这是错误的.
但是,函数的增减性是存在的.因为函数的增减性不必在自变量的整个变化范围内考虑.由图象知:
当x≤1或者x≥3时,图象是上升的.说明函数分别在这两个范围内,y随x的增大而增大;当1≤x≤3时,图象是下降的,说明函数在这个范围内,y随x的增大而减小.
有关函数的图象和性质,在初中阶段只是做一初步了解,更高层次的讨论,有待于在高中阶段进行.
<三)怎样突破函数图象与性质教案中的难点
1.函数图象的变换与解读式变化之间的关系:
随着函数解读式的形式或其中系数的变化,函数的图象随之会发生变化.例如一次函数中的k,b,反比例函数中的k,二次函数中的a,b,c等.
例1.若反比例函数
,当x>0,y随x的增大而增大,则一次函数y=kx-k的图象经过第几象限<)
A、一、二、三
B、一、二、四
C、一、三、四
D、二、三、四
讲解本题时,要引导学生入手点,需要抓住什么量去思考?
根据题的条件可知要判断y=kx-k的位置,需知道k的符号,由已知
当x>0时,y随x的增大而增大,所以k<0.这里要讲解清楚反比例函数的增减性要注意分象限考虑的.
∴一次函数y=kx-k的图象过一、二、四,故选B.
例2.在图中,函数y=-ax2与y=ax+b的图象可能是(>
这是非常典型的问题,教师可以引导学生思考两个函数的联系,让学生思考在同一坐标系中两个图象的关系,通过系数a来联系两个函数.通过本例,可以让学生更加理解一次函数和二次函数解读式中参数的作用.
例3.如下图,在同一直角坐标系中,正比例函数y=的图象的大体位置不可能是<)
要判断直线和双曲线的位置关系,借助于它们的字母系数的符号,如何对字母系数进行讨论给予学生方法上的指导,本题要对字母系数m-1与4m的符号进行讨论,进而选择合理答案,而本题选择了排除法解决,这也是解决选择题常用的方法.
因不确定其符号,所以分两种情况进行讨论,当m-1>0时,4m>0,故A对,D不对;当m-1<0又有两种情况:
00,故B对,后者又4m<0,故C对.
2.函数的变化趋势<单调性)
函数的变化趋势,即单调性,只是在初中我们没有提及单调性的概念.函数的变化趋势在求最大<小)值,比较函数值的大小,判断函数图象等方面起着关键的作用.
例1.如下图是反比例函数
的图象的一支,根据图象回答下列问题:
<1)图象的另一支在哪个象限?
常数m的取值范围是什么
<2)如图的图象上任取点Aa′,那么b和b′有怎样的大小关系?
问题<1)需要教师交代清反比例函数的图象的分布只有两种可能,分布在第一、三象限,或者分布在第二、四象限.由条件知这个函数的图象的一支在第一象限,则另一支必在第三象限.因此这个函数的图象分布在第一、三象限,可以引导学生利用所学过的不等式的知识可以求出m的取值范围,即m-5>0,解得m>5.
问题<2)的讲解,要交给学生由图看数的方法,即由函数的图象可知,在双曲线的一支上,y随x的增大而减小.所以当a>a′时,b
例2.设0<k<1,且k为常数,自变量为x的一次函数
,当1≤x≤2时的最大值是k.
教师在教案中注意给学生分析清楚,此题不要盲目的把x=2代进去求值.
因为最大值与最小值在何时取得,与函数的单调性息息相关.而一次函数的单调性与x的一次项系数有关,所以解决本题的关键是先整理一次函数的解读式,得到一次项系数,并判断其正负,确定单调性,就可以知道最大值在哪里取得.让学生理解两者的关系,
例3.若点
是二次函数
的图象上的三点,则
的大小关系是
.
同例2教师在教案中注意给学生分析清楚,此题不要盲目的把x代进去求值.
因为二次函数的函数值的比较大小,可以通过对称性把自变量放在对称轴的同一侧,再使用增减性进行比较;也可以根据点到对称轴的距离来确定,开口向下,离对称轴越远,则函数值越小,结合图象让学生理解.
<四)怎样分析函数图象与性质同相关知识的联系及解题策略
1.结合函数图象求多边形的面积
求与函数图象有关的多边形的面积是常见的问题,关键是如何确定三角形的底或高,如何把不规则的多边形分割成一些面积比较好求的三角形或四边形.尤其是反比例函数图象中的三角形和矩形面积的不变性,也就是面积与反比例系数的关系,应该让学生灵活掌握.
例1.如图,过反比例函数
A.S1>S