年高考文科数学试题分类汇编立体几何详细解答.docx

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年高考文科数学试题分类汇编立体几何详细解答

2014年高考文科数学试卷分类汇编：

立体几何详细解答

1、选择题：

1、某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为（）

A．B．C．D．

【解读】：

本题考查两个方面的内容：

一、三视图；二、立体图形的体积计算；

1、三视图：

1、如果三个三视图中有两个三角形，这个立体图形一定是椎体，另一个三视图用来说明其为锥体的那一种；

2、如果三个三视图中有两个矩形，这个立体图形一定是柱体，另一个三视图用来说明其为柱体的那一种；

3、如果三个三视图中有两个梯形，这个立体图形一定是台体，另一个三视图用来说明其为台体的那一种；

2、立体图形的体积计算：

1、锥体的体积计算：

底面积高

2、柱体的体积计算：

底面积高

3、台体的体积计算：

大椎体体积小椎体体积

解：

本题目是由两个立体图形组成的一个组合图形，一般情况下，我们需要分为两个部分各自处理。

上半部分：

三视图为三个矩形，说明这个立体图形为四棱柱。

底面积高=

下半部分：

三视图为两个矩形一个半圆，说明这个立体图形为圆柱的一半。

所以：

该组合立体图形的体积为。

2、已知正四棱锥中，,则与平面所成角的正弦值等于（　　）

A．B．C．D．

【解读】本题考查线与面的夹角计算，线与面的夹角计算有两种方法：

方法一：

第一步：

线中两个端点一般情况下一个在平面上，一个在平面，由不在平面上的点找到在该平面上的投影点。

（该点和投影点之间的连线垂直于该平面）

第二步：

连接线重在平面的端点和投影点，形成一个直角三角形。

第三步：

三角形中在平面的边与该直线之间的夹角就是线与面的夹角。

第四步：

在直角三角形中利用三角函数求该角的三角函数值。

如图所示：

其中为直线和平面的夹角，在中计算的三角函数值。

方法二：

利用法向量计算：

第一步：

建立空间坐标系；

第二步：

计算与面和线有关的点的坐标；

第三步：

计算法向量和线的向量坐标；

第四步：

求法向量和线的向量之间的夹角余弦值；

第五步：

因为线与面的夹角和法向量与线向量之间的夹角互余求线与面夹角的余弦值。

解：

方法一：

如图所示：

过做平面的投影点，连接，得到直角三角形，其中为线与面的夹角。

根据三棱锥顶点转换求到平面的距离：

设底面边长为，根据

在三棱锥中，根据顶点转换得到：

在中：

在中：

，

所以：

在直角三角形中：

方法二：

建立坐标系，利用法向量求解。

如下图所示：

设底面的边长为，测棱的长度为。

下列点的坐标分别为：

在平面中：

，

设平面的法向量为

得到方程组：

所以法向量

向量

设之间的夹角为

所以：

线与面的夹角为

所以：

3、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（　　）

A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台

【解读】本题考查的是三视图与立体图形之间的对应关系，在第1道选择题中已经讲过。

题目中出现了两个梯形，说明该立体图形为台体，俯视图是两个同心圆，所以该立体图形为圆台。

4、已知某几何体的三视图（单位:

cm）如图所示,则该几何体的体积是（）

A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3

5、如下图,在正方体中,为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

6、某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的体积是（）

A．B．C．D．

7、已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于（　　）

A．B．1C．D．

8、设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面（）

A．若m∥α,n∥α,则m∥nB．若m∥α,m∥β,则α∥β

C．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β

9、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,

则球的半径为（　　）

A．B．C．D．

10、设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）

A．若,,则B．若,,则

C．若,,则D．若,,则

11、一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正（主）视图如下图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）

A．B．C．D．8,8

12、一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）

A．200+9πB．200+18πC．140+9πD．140+18π

二、填空题：

13、已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.

14、我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:

在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.

（注:

①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积。

②一尺等于十寸）

15、已知是球的直径上一点,,平面,为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.

16、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.

17、某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________

18、已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,且圆与圆所在的平面所成角为60°，则球的表面积等于______.

19、已知圆柱的母线长为,底面半径为,是上地面圆心,、是下底面圆周上两个不同的点,是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则________.

20、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为______.

21、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.

22、如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

23、如图,正方体的棱长为1,为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.

①当时,为四边形。

②当时,为等腰梯形。

③当时,与的交点满足。

④当时,为六边形。

⑤当时,的面积为.

三、解答题：

24、如图,是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点，

（1）求证:

平面。

（2）设为的中点,为的重心，求证：

//平面.

25、如图,在在四棱锥中,⊥面,==2,==,=,

∠=120°,为线段上的点.

（1）证明:

⊥面。

（2）若是的中点,求与所成的角的正切值。

（3）若满足⊥面,求的值.

26、如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.

（1）证明:

A1BD//平面CD1B1。

（2）求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.

27、如图,在四棱锥中,,,,,,,

.

（1）当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.（要求标出尺寸,并画出演算过程）。

（2）若为的中点,求证:

//面。

（3）求三棱锥的体积.

28、如图1,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图2所示的三棱锥,其中.

（1）证明:

//平面。

（2）证明:

平面。

（3）当时,求三棱锥的体积.

29、如图所示.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.

（1）证明:

AD⊥C1E。

（2）当异面直线AC,C1E所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.

30、如图,在四棱锥中,,,,平面底面,

，和分别是和的中点,求证:

（1）底面。

（2）平面。

（3）平面平面

31、如图,三棱柱中,,,.

（1）证明:

。

（2）若,,求三棱柱的体积.

32、如图,四棱锥中,,,分别为的中点

（1）求证:

//平面。

（2）求证:

平面平面

33、如图,在三棱柱中,侧棱底面,,,

分别是线段的中点,是线段上异于端点的点.

（1）在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面。

（2）设

（1）中的直线交于点,求三棱锥的体积.（锥体体积公式:

其中为底面面积,为高）

34、如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为,,且.过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.

（1）证明:

中截面是梯形。

（2）在△ABC中,记,BC边上的高为,面积为.在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时,可用近似公式来估算.已知,试判断与V的大小关系,并加以证明.

35、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.

（1）证明:

BC1//平面A1CD。

（2）设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C一A1DE的体积.

36、如图,四棱锥都是边长为的等边三角形.

（1）证明:

（2）求点到平面的距离；

37、如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,.已知

（1）证明:

（2）若为的中点,求三菱锥的体积.

38、如图,正三棱锥底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.

39、如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.

（1）证明EF//平面A1CD。

（2）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1。

（3）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

40、如图,四棱锥中,⊥底面,,,

.

（1）求证:

⊥平面。

（2）若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.

41、如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3

（1）证明:

BE⊥平面BB1C1C。

（2）求点B1到平面EA1C1的距离