幂函数导学案1.docx
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幂函数导学案1
§2.3幂函数
学习目标
1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质；
2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
学习过程
任务一、课前准备
（预习教材P77~P79，找出疑惑之处）
复习1：
求证
在R上为奇函数且为增函数.
复习2：
1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：
（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；
（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．
任务二、新课导学
探究任务一：
幂函数的概念
问题：
分析以下五个函数，它们有什么共同特征？
（1）边长为
的正方形面积
，
是
的函数；
（2）面积为
的正方形边长
，
是
的函数；
（3）边长为
的立方体体积
，
是
的函数；
（4）某人
内骑车行进了1
，则他骑车的平均速度
，这里
是
的函数；
（5）购买每本1元的练习本
本，则需支付
元，这里
是
的函数.
新知
1、幂函数的概念：
一般地，形如
的函数称为幂函数，其中
为常数.
试一试：
判断下列函数哪些是幂函数.
1
；②
；③
；④
.
探究任务二：
幂函数的图象与性质
问题：
作出下列函数的图象：
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
；（5）
．
从图象分析出幂函数所具有的性质.
观察图象，总结填写下表：
常见幂函数的性质
例1、已知幂函数
，求
的值
例2、已知函数
为何值时，
是：
（1）正比例函数
（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数
例3．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
；（5）
；（6）
．
2、幂函数的定义域和值域
所有幂函数
的定义域和值域的求法分为五种情况
（1）
时，
的定义域为
，值域为
（2）
为正整数时，
的定义域为
，
为偶数时，值域为
为奇数时，值域为
（3）
为负整数时，
的定义域为
，
为偶数时，值域为
，
为奇数时，值域为
（4）当
为正分数
时，化为
，根据
的奇偶性求解
（5）当
为负分数
时，化为
，根据
的的奇偶性求解
例4、
（1）函数
的定义域是，值域是；
（2）函数
的定义域是，值域是；
练1
（1）函数
的定义域是，值域是；
（2）函数
的定义域是，值域是；
练2、幂函数①
，②
，③
，④
，⑤
，其中定义域为
的是（）
A．①②B．②③C．②④D．④⑤
例5．设α∈{－1,1，
，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为（ ）
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
3、幂函数的单调性和奇偶性
（1）幂函数的单调性：
在区间
上，当
时，
是增函数；当
时，
是减函数
（2）幂函数的奇偶性：
令
（其中
、
互质，
、
）
当
为奇数，则
的奇偶性取决于
是奇数还是偶数.当
是奇数时，则
是奇函数；当
是偶数时，则
是偶函数
当
为偶数，则
必是奇数，此时
既不是奇函数，也不是偶函数
例6、若当
时，幂函数
为减函数，则实数
的值为（）
A．
B．
C．
或
D．
例7、已知函数
为偶函数，且
（1）求
的值，并确定
的解析式
（2）若
在
上为增函数，求实数
的取值范围
例8、已知幂函数
为偶函数，且在区间
上市减函数
（1）求函数
的解析式
（2）讨论
的奇偶性
练3、下列说法正确的是（）
A．
是奇函数B．
是奇函数
C．
是非奇非偶函数D．
是非奇非偶函数
构造幂函数比较两个幂值得大小
比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较
例9、比较下列各组数大小：
（1）
（2）
（3）
练4、比较下列各组数大小：
（1）
（2）
（3）
，
，
练5、若
，则下列不等式成立的是（）
A．
B．
C．
D．
任务三、课后作业
第一题、选择题
1．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：
选B.y＝x2与y＝x0是幂函数．
2．若幂函数
在
上是增函数，则（）.
A．
>0B．
<0
C．
=0D．不能确定
3．函数f（x）＝（m2－m－1）xm2－2m－3是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上是减函数，则实数m＝（ ）
A．2B．3
C．4D．5
4．使（3－2x－x2）－
有意义的x的取值范围是（ ）
A．RB．x≠1且x≠3
C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1
解析：
选C.（3－2x－x2）－
＝
，
∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0，
解得－3＜x＜1.
解析：
选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3＜0，经检验得m＝2.
5.若
，那么下列不等式成立的是（）.
A．
B．1<
<
C．
D．1<
<
6．函数
的图象是（）.
A.B.C.D.
7．函数y＝（x＋4）2的递减区间是（ ）
A．（－∞，－4）B．（－4，＋∞）
C．（4，＋∞）D．（－∞，4）
解析：
选A.y＝（x＋4）2开口向上，关于x＝－4对称，在（－∞，－4）递减．
8．给出四个说法：
①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；
②幂函数的图象都经过点（0,0），（1,1）；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限；
④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n＜0.
其中正确的说法个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解析：
选B.显然①错误；②中如y＝x－
的图象就不过点（0,0）．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.
第二题、填空题
9.已知幂函数
的图象过点
，则它的解析式为.
10．比较下列两组数的大小：
（1）
；
（2）
.
11．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．
解析：
∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在（0，＋∞）为减函数．
答案：
α＜0
第三题、解答题
12．求函数y＝（x－1）－
的单调区间．
解：
y＝（x－1）－
＝
＝
，定义域为x≠1.令t＝x－1，则y＝t－
，t≠0为偶函数．
因为α＝－
＜0，所以y＝t－
在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增．又t＝x－1单调递增，故y＝（x－1）－
在（1，＋∞）上单调递减，在（－∞，1）上单调递增．
13．已知（m＋4）－
＜（3－2m）－
，求m的取值范围．
解：
∵y＝x－
的定义域为（0，＋∞），且为减函数．
∴原不等式化为
，
解得－
＜m＜
.
∴m的取值范围是（－
，
）．
14．已知幂函数y＝xm2＋2m－3（m∈Z）在（0，＋∞）上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．
解：
由幂函数的性质可知
m2＋2m－3＜0⇒（m－1）（m＋3）＜0⇒－3＜m＜1，
又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.
当m＝0或m＝－2时，y＝x－3，
定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．
∵－3＜0，
∴y＝x－3在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，
又∵f（－x）＝（－x）－3＝－x－3＝－f（x），
∴y＝x－3是奇函数．
当m＝－1时，y＝x－4，定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．
∵f（－x）＝（－x）－4＝
＝
＝x－4＝f（x），
∴函数y＝x－4是偶函数．
∵－4＜0，∴y＝x－4在（0，＋∞）上是减函数，
又∵y＝x－4是偶函数，
∴y＝x－4在（－∞，0）上是增函数．
任务四、巩固训练
第一题、选择题
1．已知幂函数f（x）的图象经过点（2，
），则f（4）的值为（ ）
A．16B.
C.
D．2
解析：
选C.设f（x）＝xn，则有2n＝
，解得n＝－
，
即f（x）＝x－
，所以f（4）＝4－
＝
.
2．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是（ ）
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x－
D．y＝x－
解析：
选D.A.y＝x
＝
，x∈R；B.y＝x
＝
，x≥0；C.y＝x－
＝
，x≠0；D.y＝x－
＝
，x＞0.
3．函数
和
图象满足（）
A．关于原点对称B．关于
轴对称C．关于
轴对称D．关于直线
对称
4．函数
在区间
上的最大值是（）
A．
B．
C．
D．
5．设T1＝
，T2＝
，T3＝
，则下列关系式正确的是（ ）
A．T1
6.幂函数
在第一象限内的图象依次是图中的曲线（）
A.
B.
C.
D.
7.下列函数在
上为减函数的是（）
A.
B.
C.
D.
答案：
Ｂ
8．幂函数f（x）＝xα满足x＞1时f（x）＞1，则α满足条件（ ）
A．α＞1B．0＜α＜1
C．α＞0D．α＞0且α≠1
解析：
选A.当x＞1时f（x）＞1，即f（x）＞f
（1），f（x）＝xα为增函数，且α＞1.
解析：
选D.y＝x
＝
，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同．
9.当x∈（1，＋∞）时，函数）y＝
的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是（ A ）
A、a＜1B、0＜a＜1C、a＞0D、a＜0
10．若点
在幂函数
的图象上，则下列结论中不能成立的是（B）
A．
B．
Ｃ．
D．
第二题、填空题
11．函数
的定义域为________．
解析：
，∴x<1.
答案：
（－∞，1）
12．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若
n>
n，则n＝____－1,2____.
13．
是偶函数，且在
是减函数，则整数
的值是5.
14．设x∈（0,1）时，y＝xp（p∈R）的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．
解析：
结合幂函数的图象性质可知p<1.
答案：
p<1
15．已知函数f（x）＝xα（0＜α＜1）,对于下列命题：
①若x＞1,则f（x）＞1；②若0＜x＜1,则0＜f（x）＜1;
③若f（x1）＞f（x2）,则x1＞x2；
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