届甘肃省高三第一次模拟考试数学理试题word版含答案.docx
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届甘肃省高三第一次模拟考试数学理试题word版含答案
2018届甘肃省高三第一次模拟考试
数学（理）试题
一、选择题：
本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|（x＋1）（x－2）<0，x∈Z}，则A∪B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}
2．设复数z满足
＝i，则|z|＝（ ）
A．1 B.
C.
D．2
3.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（ ）
A．y＝
B．y＝|x|－1
C．y＝lgxD．y＝
4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝（ ）
A．0B．2C．4D．14
5．已知cos（π－α）＝
，且α为第三象限角，则tan2α的值等于（ ）
A.
B．－
C－
D．.
6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
＋
πB.
＋
π
C.
＋
πD．1＋
π
7．已知实数x，y满足
如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
8．若等比数列{an}的各项均为正数，
＝（ ）
A.
B.
C.
D.
9．若函数f（x）＝sin
（ω>0）的图象相邻两个对称中心之间的距离为
，则f（x）的一个单调递增区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
10．过抛物线
（p>0）的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若圆
上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是（ ）
A．（4,6）B．[4,6]C．[4,6）D．（4,6]
12．已知g（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g（x）＝－ln（1－x），函数f（x）＝
若f（2－x2）>f（x），则x的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（1，＋∞）B．（－∞，1）∪（2，＋∞）
C．（－2，1）D．（1，2）
二．填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知m∈R，向量a＝（m，1），b＝（2，－6），且a⊥b，则|a－b|＝________.
14．若随机变量服从正态分布ξ～N（2,1），且P（ξ>3）＝0.1587，则P（ξ>1）＝________.
15．若
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是________．
16．.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）．一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为________．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.
①求C；
②若c＝
，△ABC的面积为
，求△ABC的周长．
18.（本题满分12分）
某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：
组号
第一组
第二组
第二组
第四组
分组
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
频数
6
4
22
20
频率
0.06
0.04
0.22
0.20
组号
第五组
第六组
第七组
第八组
分组
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150]
频数
18
a
10
5
频率
b
0.15
0.10
0.05
（1）若频数的总和为c，试求a，b，c的值；
（2）为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）估计该校本次考试的数学平均分．
19.（本题满分12分）
如图，三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝
.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝
，CE＝2EB＝2.
（1）证明：
DE⊥平面PCD；
（2）求二面角APDC的余弦值．
20.（本题满分12分）
已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于
，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
.直线l：
y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若
，求m2的取值范围．
21.（本题满分12分）
设函数f（x）＝
＋2lnx.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）如果对所有的x≥1，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
选考题（请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评分。
）
22.（本题满分10分）（选修4－4）：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－2cosθ.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|·|PB|的值．
23.（本题满分10分）（选修4－5）：
不等式选讲
设f（x）＝|ax－1|.
（1）若f（x）≤2的解集为[－6，2]，求实数a的值；
（2）当a＝2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x＋1）－f（x－1）≤7－3m成立，求实数m的取值范围．
2018届甘肃省高三第一次模拟考试
数学（理）试题答案
1、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
B
D
C
B
C
A
A
A
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.答案：
5
14.答案：
0.841315.答案2116.答案
17.（本题满分12分）
[解] ①由已知及正弦定理得
2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，
即2cosCsin（A＋B）＝sinC，
故2sinCcosC＝sinC.
可得cosC＝
，所以C＝
...............................................6分
②由已知得
absinC＝
.
又C＝
，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，
故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
所以△ABC的周长为5＋
.……………………..12分
18.（本题满分12分）
解：
（1）因为频率和为1，所以b＝0.18，
又因为频率＝
，所以c＝100，a＝15.………………4分
（2）第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，则每个学生被抽中的概率均为
.
所以从第七组中抽取的样本数为
×10＝2.
所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2.
P（ξ＝0）＝
＝
；P（ξ＝1）＝
＝
；
P（ξ＝2）＝
＝
.
随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
所以E（ξ）＝0×
＋1×
＋2×
＝
.………………..10分
（3）根据频率分布表估计该校本次考试的数学平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110……12分
19.（本题满分12分）
解：
（1）证明：
由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，
得PC⊥DE.
由CE＝2，CD＝DE＝
，得△CDE为等腰直角三角形，
故CD⊥DE.
由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，
故DE⊥平面PCD.……………………6分
（2）由
（1）知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝
.
如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1.
又已知EB＝1，故FB＝2.
由∠ACB＝
，
得DF∥AC，
＝
＝
，
故AC＝
DF＝
.
以C为坐标原点，分别以
，
，
的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0,0,0），P（0,0,3），A
，E（0,2,0），D（1,1,0），
＝（1，－1，0），
＝（－1，－1,3），
＝
.
设平面PAD的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
由n1·
＝0，n1·
＝0，
得
故可取n1＝（2,1,1）．
由
（1）可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为
，即n2＝（1，－1,0），
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝
＝
，
故所求二面角APDC的余弦值为
.………………………12分
20.（本题满分12分）
解：
（1）根据已知设椭圆E的方程为
＋
＝1（a>b>0），焦距为2c，
由已知得
＝
，∴c＝
a，b2＝a2－c2＝
.
∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
，
∴4
＝2
a＝4
，
∴a＝2，b＝1.
∴椭圆E的方程为
＋x2＝1.…………………….4分
（2）根据已知得P（0，m），设A（x1，kx1＋m），B（x2，kx2＋m），
由
得，（k2＋4）x2＋2mkx＋m2－4＝0.
由已知得Δ＝4m2k2－4（k2＋4）（m2－4）>0，
即k2－m2＋4>0，
且x1＋x2＝
，x1x2＝
.
由
得x1＝－3x2.
∴3（x1＋x2）2＋4x1x2＝12x
－12x
＝0.
∴
＋
＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.…………..8分
当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，
∴k2＝
.
∵k2－m2＋4>0，
∴
－m2＋4>0，即
>0.
∴1∴m2的取值范围为（1，4）．……………………12分
21.（本题满分12分）
解：
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝
，
所以当0时，f′（x）<0，当x>
时，f′（x）>0，
故函数f（x）在
上单调递减，在
上单调递增．………..4分
（2）当x≥1时，f（x）≤ax⇔a≥
＋
，
令h（x）＝
＋
（x≥1），
则h′（x）＝
－
＝
，
令m（x）＝x－xlnx－1（x≥1），则m′（x）＝－lnx，
当x≥1时，m′（x）≤0，所以m（x）在[1，＋∞）上为减函数，
所以m（x）≤m
（1）＝0，因此h′（x）≤0，于是h（x）在[1，＋∞）上为减函数，
所以当x＝1时
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