必修一数学定义域值域解析式求法例题习题附答案解析.docx

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必修一数学定义域值域解析式求法例题习题附答案解析

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函数的定义域

（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合

（2）求函数定义域的注意事项

☉分式分母不为零；☉偶次根式的被开方数大于等于零；

☉零次幂的底数不为零；☉实际问题对自变量的限制

若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。

（3）抽象复合函数定义域的求法

☉已知y=f（x）的定义域是A，求y=f（g（x））的定义域，可通过解关于g（x）∈A的不等

式，求出x的范围

☉已知y=f（g（x））的定义域是A，求y=f（x）的定义域，可由x∈A，求g（x）的取值范

围（即y=g（x）的值域）。

例1．函数4

fx

x

x

1

的定义域为（）

A.（－∞，4）B.[4，＋∞）C.（－∞，4]D.（－∞，1）∪（1,4]

【答案】D【解析】要使解析式有意义需满足：

{

4x0

x10

，即x4且x1

所以函数4

fx

x

x

1

的定义域为（－∞，1）∪（1,4]故选：

D

例2．函数

2112

yxx的定义域为（）

A.{x|x1或x1}B.{x|1x1}C.{1}D.{-1,1}

【答案】D【解析】函数

2112

yxx可知:

{

2

x

10

2

1x0

解得：

x1.

函数

2112

yxx的定义域为{-1,1}.故选D.

例3．已知函数

21

yfx的定义域为2,2，函数fx定义域为__________.

【答案】1,3【解析】由函数

21

yfx的的定义域为（-2,2），得：

2

1x13，

故函数f（x）的定义域是1,3.

例4．若函数yfx的定义域为0,2,则函数

gx

f2x

x1

的定义域是（）

A.0,1B.0,1C.0,11,4D.0,1

【答案】A函数yfx的定义域是0,2，

{

02x2

x10

，解不等式组：

0x1，故选A.

例5．已知函数yfx1的定义域是2,3，则

2

yfx的定义域是（）

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A.1,4B.0,16C.2,2D.1,4

【答案】C【解析】解：

由条件知：

fx1的定义域是2,3，则1x14，

所以

2

1x4，得x2,2

例6．已知函数yf（x1）定义域是[2，3]，则yf（2x1）的定义域是（）

5

A．[0，]B.[1，4]C.[5，5]D.[3，7]

2

【答案】A【解析】23,114,1214,05

xxxx

2

例7．函数

2

y12xx的定义域为___________．

【答案】3,4【解析】要使函数有意义，则12xx20，即x2x120，即3x4，故函

数的定义域为3,4，故答案为3,4.

函数值域

定义：

对于函数y=f（x），x∈A的值相对应的y值叫函数值，函数值得集合{f（x）|x∈A}叫

做函数的值域。

（2）求函数值域的常用方法

☉观察法：

通过解析式的简单变形和观察（数形结合），利用熟知的基本初等函数的值域，求

出函数的值域。

☉配方法：

若函数是二次函数形式，即可化为y=ax

2+bx+c（a=0）型的函数，则可通过配方再结

合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值得求法（可结合图像）。

☉换元法:

通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而

利用基本函数的取值范围求函数的值域。

☉分离常数法：

此方法主要是针对有理分式，即将有理分数转化为“反比例函数”的形式，

便于求值域。

y=型y=值域：

{y|y≠}

☉判别式法：

它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求

值域问题。

但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而容易出错。

☉充分利用函数的单调性，对单调性未知的，应该先判断其单调性。

在通过定义域进行判断

其函数取值范围。

注意：

值域对基础函数、不等式、开方，绝对值等的要求较高，学生需要注意这些方面的掌

握。

例1．函数

24

fxx的值域为（）

A.,4B.,4C.4,D.4,

【答案】D

244

fxx，故函数的值域为4,，故选D.

例2．若函数

2

yx3x4的定义域为0,m，值域为

25

4

4

，则m的取值范围是（）

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A．0,4B．

25

4

4

C．

3

2

3

D．

3

2

【答案】C【解析】试题分析：

函数

3

234

yxx对称轴为x，当

2

3

x时

2

25

y，当x0时y0，

4

所以结合二次函数图像可知m的取值范围是3,3

2

例3．函数

29

yx的值域为（）

A.{x|x3}B.{x|0x3}C.{x|x3}D.{x|x3}

【答案】B【解析】试题分析：

由于

2

0x99，所以

2

0x93，故选B.

例4．函数

y

2

x

1

2

的值域是_________.

【答案】0,1

2

【解析】由

y

2

x

1

2

，得

211

x2,xR,20

yy

，解之得

0

1

y。

2

例5．已知

f

x3

（x）,则f（x）的值域为________________

5x

【答案】{y|y≠-1}【解析】主要考查函数值域的求法。

由

f

x3

（x）=

5x

（x5）8

x5

=－1－

8

x5

，因

为8

x

5

≠0，所以

f

x3

（x）≠－1，故f（x）的值域为{y|y≠-1}。

5x

2

2x1

y

2

x1

例6．求函数的值域。

【解析】思路分析：

1）题意分析：

这是求分式型函数的值域，而且分子、分母是同次幂。

2）解题思路：

分离出常数，使问题简化。

2

2x13

y2

22

x1x1解：

分离常数，得。

3

0≤3

1≤y21，2211

2

x≥

x1

由，得，即有.所以函数的值域是。

解题后的思考：

该方法适用于分式型函数，且分子、分母是同次幂，这时可以通过多项式的除法，分离出

常数，使问题简化。

例7求函数

2

xx1

y的值域。

2

2x2x3

2yxy

解原式变形为（21）（21）（31）0

yx（*）

（1）当

1

y时，方程（*）无解；

2

（2）当

1

2yy

y时，∵xR，∴（2y1）4（21）（31）0，解得

2

3

10

1

y。

2

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31

由

（1）、

（2）得，此函数的值域为）

[,

102

例8求函数yxx1的值域。

2

解令tx1，则t0，得1

xt，

2

13

2tt

yt1，

24

2

2t

13

又t0，y1，故原函数的值域为y1,

t10

24

函数解析式的表达方式

☉待定系数法：

若已知函数模型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法求解。

☉换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，但此时要注意换元法之后自变量

的组织范围。

☉解方程组法:

已知函数f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，外出现其他

1

未知量，如f（-x），f（）等，必须根据已知等式（如用-x或者

1

替换x）再构造其他等式

组成方程组，通过解方程组求f（x）的解析式。

例1．已知f（x）是一次函数，且3f

（1）2f

（2）5，2f（0）f

（1）1，则f（x）的解析式为（）

A．f（x）3x2B．f（x）3x2C．f（x）2x3D．f（x）2x3

【答案】A试题分析：

设一次函数fxkxb，依题意有3kb22kb5，2bkb1，

联立方程组，解得k3,b2，所以f（x）3x2.考点：

待定系数法求解析式.

例2．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x1）2x17,则f（x）

22

A.x5B.x1C.2x3D.2x5

33

【答案】A【解析】因为f（x）是一次函数，且满足f（x）axb,3f（x1）3a（x1）b2x17,则

2

f（x）x5，选A

3

例3．已知fx1x1，则函数f（x）的解析式为（）

A.

2

f（x）xB.

2

f（x）x1x1

C.

2

f（x）x2x2x1D.

2

f（x）x2xx1

【答案】C【解析】试题分析：

设x1t则

2

xt1,（t1）

代入已知可得

2

2

ftt11t2t2（t1）

函数f（x）的解析式为

2

f（x）x2x2x1

考点：

函数的解析式

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例4．若f[g（x）]6x3,且g（x）2x1,则f（x）的解析式为（）

A．3B．3xC．3（2x1）D．6x1

【答案】B试题：

令tg（x）2x1，则

练习题

t1t1

x，所以f（t）63=3t，故f（x）3x，选B.

22

1．函数f（x）=的定义域是（）

A.{x|－1≤x≤}B.{x|－1≤x<0或0

【答案】C【解析】由题设可得0

0

10，应选答案C。

2．函数的定义域是（）

A．B．C．D．

【答案】C【解析】试题分析：

x

x

1

0

0

，解得：

xx1且x0}，故选C.考点：

函数的定义域

3．如果函数yfx的值域为a,b，则fx1的值域为（）

A.a1,b1B.a1,b1C.a,bD.a,b

【答案】C【解析】函数yfx的值域为a,b,

而函数yfx1是把函数yfx向左平移1个单位得到的,纵坐标不变,

fx1的值域为a,b.所以C选项是正确的.

4．函数y＝x

2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为（）

A.{－1,0,3}B.{0,1,2,3}C.{y|－1≤y≤3}D.{y|0≤y≤3}

【答案】A【解析】把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x，即y＝0，－1,3.

5．定义在R上的函数yf（x）的值域为[a,b]，则函数yf（x1）的值域为（）

A．；B．；C．；D．无法确定

[a1,b1][a,b][a1,b1]

【答案】B【解析】函数yf（x1）的图象可以视为函数yf（x）的图象向右平移一个单位而得到，所

以，它们的值域是一样的

2

6．函数y2x4x的值域是（）

[2,2][1,2][0,2][2,2]A.B.C.D.

【答案】C

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