第十八届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案.docx

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第十八届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案

第十八届全国中学生物理竞赛复赛试卷、参考答案

全卷共六题，总分140分。

一、（22分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率ｎ＝1.5，中心轴线长Ｌ＝45cm，一端是半径为Ｒ1＝10ｃｍ的凸球面．1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？

2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度φ１时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度φ２，求φ２／φ１（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．

解：

1．对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图18－2－6所示，图中Ｃ1为左端球面的球心．

图18－2－6

　由正弦定理、折射定律和小角度近似得

　（

－Ｒ１）／Ｒ１＝ｓｉｎｒ１／ｓｉｎ（ｉ１－ｒ１）≈ｒ１／（ｉ１－ｒ１）

　　＝1／（（ｉ１／ｒ１）－1）≈1／（ｎ－1），　　　①

即　　（

／Ｒ１）－1＝1／（ｎ－1）．　　　②

　光线ＰＦ１射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心Ｃ２一定在端面顶点Ｂ的左方，Ｃ２Ｂ等于球面的半径Ｒ２，如图18－2－6所示．

　仿照上面对左端球面上折射的关系可得

　（

／Ｒ２）－1＝1／（ｎ－1），　　　③

又有

＝Ｌ－

，④

由②、③、④式并代入数值可得

　Ｒ２＝5ｃｍ．

　则右端为半径等于5ｃｍ的向外凸的球面．

图18－2－7

　2．设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过Ｃ１，②过Ａ，如图18－2－7所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点Ｍ，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求Ｍ点的位置，在△ＡＣ１Ｍ中，有

／ｓｉｎ（π－φ１）＝

／ｓｉｎφ１＝Ｒ１／ｓｉｎ（φ１－φ１′），

又　　ｎｓｉｎφ１′＝ｓｉｎφ１，

已知φ１、φ１′均为小角度，则有

／φ１＝Ｒ１／φ１（1－（1／ｎ））．

　与②式比较可知，

≈

，即Ｍ位于过Ｆ１垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过Ｍ点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容易看出，从Ｍ射出Ｃ２的光线将沿原方向射出，这也就是过Ｍ点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向，此方向与主光轴的夹角即为φ２，由图18－2－7可得

　2／φ１＝

／

＝（

－Ｒ１）／（

－Ｒ２），

　由②、③式可得（

－Ｒ１）／（

－Ｒ２）＝Ｒ１／Ｒ２，

　则φ２／φ１＝Ｒ１／Ｒ２＝2．

得分

二、（22分）正确使用压力锅的方法是：

将已盖好密封锅盖的压力锅（如图复18-2-1）加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀Ｓ，此时可以认为锅内只有水的饱和蒸气，空气已全部排除．然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅内即已达到预期温度（即设计时希望达到的温度）．现有一压力锅，在海平面处加热能达到的预期温度为120℃，某人在海拔5000ｍ的高山上使用此压力锅，锅内有足量的水．

1．若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？

2．若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？

3．若未按正确方法使用压力锅，即盖好密封锅盖一段时间后，在点火前就加上压力阀，此时水温为27℃，那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内水的温度是多少？

若继续加热，锅内水的温度最高可达多少？

假设空气不溶于水．

已知：

水的饱和蒸气压ｐＷ（ｔ）与温度ｔ的关系图线如图18-2-2所示．

大气压强ｐ（ｚ）与高度ｚ的关系的简化图线如图18-2-3所示．当ｔ＝27℃时，ｐＷ（27°）＝3.6×10３Ｐａ；ｚ＝0处，ｐ（0）＝1.013×10５Ｐａ．

解：

1．由图18－2－8知在海平面处，大气压强ｐ（0）＝101．3×10３Ｐａ．在ｚ＝5000ｍ时，大气压强为

　ｐ（5000）＝53×10３Ｐａ．

图18－2－8

图18－2－9

　此处水沸腾时的饱和蒸气压ｐＷ应等于此值．由图18－2－9可知，对应的温度即沸点为

　ｔ２＝82℃．

　达到此温度时，锅内水开始沸腾，温度不再升高，故在5000ｍ高山上，若不加盖压力锅，锅内温度最高可达82℃．

　2．由图18－2－9可知，在ｔ＝120℃时，水的饱和蒸气压ｐＷ（120°）＝198×10３Ｐａ，而在海平面处，大气压强ｐ（0）＝101×10３Ｐａ．可见压力阀的附加压强为

　ｐＳ＝ｐＷ（120°）－ｐ（0）

　＝（198×10３－101．3×10３）Ｐａ

　＝96．7×10３Ｐａ．

　在5000ｍ高山上，大气压强与压力阀的附加压强之和为

　ｐ′＝ｐＳ＋ｐ（5000）

　　＝（96．7×10３＋53×10３）Ｐａ

　　＝149．7×103Ｐａ．

若在ｔ＝ｔ２时阀被顶起，则此时的ｐＷ应等于ｐ′，即

　ｐＷ＝ｐ′，

　由图18－2－9可知ｔ２＝112℃．

　此时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故按正确方法使用此压力锅，在5000ｍ高山上锅内水的温度最高可达112℃．

　3．在未按正确方法使用压力锅时，锅内有空气，设加压力阀时，内部水蒸汽已饱和．由图18－2－9可知，在ｔ＝27℃时，题中已给出水的饱和蒸气压ｐＷ（27°）＝3．6×10３Ｐａ，这时锅内空气的压强（用ｐａ表示）为

　ｐａ（27°）＝ｐ（5000）－ｐＷ（27°）

　　＝（53×10３－3．6×10３）Ｐａ

　　＝49．4×10３Ｐａ．

　当温度升高时，锅内空气的压强也随之升高，设在温度为ｔ（℃）时，锅内空气压强为ｐａ（ｔ），则有

　ｐａ（ｔ）／（273＋ｔ）＝ｐａ（27℃）／（273＋27），

　ｐａ（ｔ）＝（164．7ｔ＋45．0×10３）Ｐａ．

若在ｔ＝ｔ′时压力阀刚好开始被顶起，则有

　ｐＷ（ｔ′）＋ｐａ（ｔ′）＝ｐ′，

由此得

　ｐＷ（ｔ′）＝ｐ′－ｐａ（ｔ′）＝（105×10３－164．7ｔ′）Ｐａ，

画出函数ｐ′－ｐａ（ｔ′）的图线，

取ｔ＝0℃，有　　ｐ′－ｐａ（0℃）＝105×10３Ｐａ，

取ｔ＝100℃，有　ｐ′－ｐａ（100℃）＝88．6×10３Ｐａ．

　由此二点便可在图18－2－9上画出此直线，此直线与图18－2－9中的ｐＷ（ｔ）－ｔ曲线的交点为Ａ，Ａ即为所求的满足上式的点，由图可看出与Ａ点对应的温度为

　ｔ′＝97℃．

即在压力阀刚开始被顶起时，锅内水的温度是97℃，若继续加热，压力阀被顶起后，锅内空气随水蒸汽一起被排出，最终空气排净，锅内水温仍可达112℃．

得分

三、（22分）有两个处于基态的氢原子Ａ、Ｂ，Ａ静止，Ｂ以速度ｖ０与之发生碰撞．已知：

碰撞后二者的速度ｖＡ和ｖＢ在一条直线上，碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能级态跃迁，并发出光子．如欲碰后发出一个光子，试论证：

速度ｖ０至少需要多大（以ｍ／ｓ表示）？

已知电子电量ｅ＝1．602×10－19Ｃ，质子质量为ｍｐ＝1．673×10－27ｋｇ，电子质量为ｍｅ＝0．911×10－31ｋｇ，氢原子的基态能量为Ｅ１＝－13．58ｅＶ．

解：

为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是ｎ＝2的第一激发态．已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比．即

　Ｅｎ＝ｋ１／ｎ２，　　　①

又知基态（ｎ＝1）的能量为－13．58ｅＶ，即

　Ｅ１＝ｋ１／1２＝－13．58ｅＶ，

所以　　ｋ＝－13．58ｅＶ．

ｎ＝2的第一激发态的能量为

　Ｅ２＝ｋ１／2２＝－13．58×（1／4）＝－3．39ｅＶ．　　　②

为使基态的氢原子激发到第一激发态所需能量为

　Ｅ内＝Ｅ２－Ｅ１＝（－3．39＋13．58）ｅＶ＝10．19ｅＶ．　　　③

这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量，即

　ｈν＝Ｅ内＝10．19ｅＶ＝10．19×1．602×10－19Ｊ

　　＝1．632×10－18Ｊ．　　　④

式中ν为光子的频率，从开始碰到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有

　ｍｖ０＝ｍｖＡ＋ｍｖＢ＋光子的动量，　　　⑤

　（1／2）ｍｖ０２＝（1／2）ｍ（ｖＡ２＋ｖＢ２）＋ｈν，　　　⑥

　光子的动量ｐν＝ｈν／ｃ．由⑥式可推得ｍｖ０＞2ｈν／ｖ０，因为ｖ０<<ｃ，所以ｍｖ０>>ｈν／ｃ，故⑤式中光子的动量与ｍｖ０相比较可忽略不计．⑤式变为

　ｍｖ０＝ｍｖＡ＋ｍｖＢ＝ｍ（ｖＡ＋ｖＢ），  ⑦

　符合⑥、⑦两式的ｖ0的最小值可推求如下：

由⑥式及⑦式可推得

　（1／2）ｍｖ０２＝（1／2）ｍ（ｖＡ＋ｖＢ）２－ｍｖＡｖＢ＋ｈν

　　＝（1／2）ｍｖ０２－ｍｖＡ（ｖ０－ｖＡ）＋ｈν，

　ｍｖＡ２－ｍｖＡｖ０＋ｈν＝0，

经配方得

　ｍ（ｖＡ－（1／2）ｖ０）２－（1／4）ｍｖ０２＋ｈν＝0，

　（1／4）ｍｖ０２＝ｈν＋ｍ（ｖＡ－（1／2）ｖ０）２，　　　⑧

由⑧式可看出，当ｖＡ＝（1／2）ｖ０时，ｖ０达到最小值ｖ０ｍｉｎ，此时

　ｖＡ＝ｖＢ，

　ｖ０ｍｉｎ＝2

，

代入有关数值，得

　　ｖ０ｍｉｎ＝6．25×10４ｍ／ｓ．

　答：

Ｂ原子的速度至少应为6．25×10４ｍ／ｓ．

四、（22分）如图18-4所示，均匀磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度Ｂ随时间ｔ变化，Ｂ＝Ｂ０－ｋｔ（ｋ为大于零的常数）．现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置，环面处于图中纸面内．圆环的半径为Ｒ，电阻为ｒ，相交点的电接触良好，两个环的接触点Ａ与Ｃ间的劣弧对圆心Ｏ的张角为60°，求ｔ＝ｔ０时，每个环所受的均匀磁场的作用力，不考虑感应电流之间的作用．

解：

1．求网络各支路的电流．因磁感应强度大小随时间减少，考虑到电路的对称性，可设两环各支路的感应电流Ｉ１、Ｉ２的方向如图18－2－10所示，对左环电路ＡＤＣＦＡ，有

图18－2－10

　Ｅ＝Ｉ１ｒＣＦＡ＋Ｉ２ｒＡＤＣ，

因　　ｒＣＦＡ＝5ｒ／6，ｒＡＤＣ＝ｒ／6，Ｅ＝ｋπＲ２，

故　　ｋπＲ２＝Ｉ１（5ｒ／6）＋Ｉ２（ｒ／6）．　　　①

因回路ＡＤＣＥＡ所围的面积为

　2（（2π－3

）／12）Ｒ２，

故对该回路有

　ｋ［2（（2π－3

）／12）Ｒ２］＝2Ｉ２（ｒ／6），

解得　　Ｉ２＝（（2π－3

）Ｒ２／2ｒ）ｋ，

代入①式，得　Ｉ１＝（（10π＋3

）Ｒ２／10ｒ）ｋ．

　2．求每个圆环所受的力．

图18－2－11

　先求左环所受的力，如图18－2－11所示，将圆环分割成很多小圆弧，由左手定则可知，每段圆弧所受的力的方向均为径向，根据对称性分析，因圆弧ＰＭＡ与圆弧ＣＮＱ中的电流方向相反，所以在磁场中受的安培力相互抵消，而弧ＰＱ与弧ＡＣ的电流相对ｘ轴上下是对称的，因而每段载流导体所受的安培力在ｙ方向的合力为零，以载流导体弧ＰＱ上的线段Δｌ′为例，安培力ΔＦ为径向，其ｘ分量的大小表示为

　｜ΔＦｘ｜＝Ｉ１ＢΔｌ′ｃｏｓα，

因　　Δｌ′ｃｏｓα＝Δｌ，

故　　｜ΔＦｘ｜＝Ｉ１ＢΔｌ，

　｜Ｆｘ｜＝ΣＩ１ＢΔｌ＝Ｉ１Ｂ

＝Ｉ１ＢＲ．

由于导体弧ＰＱ在ｙ方向的合力为零，所以在ｔ０时刻所受安培力的合力Ｆ１仅有ｘ分量，即

　Ｆ１＝｜Ｆｘ｜＝Ｉ１ＢＲ＝（（10π＋3

）Ｒ２／10ｒ）ｋＢＲ

　　＝（（10π＋3

）Ｒ２／10ｒ）ｋ（Ｂ０－ｋｔ０）Ｒ，

方向向左．

　同理，载流导体弧ＡＣ在ｔ０时刻所受的安培力为

　Ｆ２＝Ｉ２ＢＲ＝（（2π－3

）Ｒ２／2ｒ）ｋＢＲ