最新人教版高中数学选修22第一章《生活中的优化问题举例》教学设计.docx

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最新人教版高中数学选修22第一章《生活中的优化问题举例》教学设计

教学设计

1．4　生活中的优化问题举例

教材分析　　　　　

本节内容是导数知识的应用，是利用前面所学的导数知识来解决生产生活中的实际问题．要使问题解决达到最优化，首先要建立合适的函数关系，并确定函数的定义域，然后通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，可以利用导数分析函数单调性、极值和最值，从而得出像利润最大、用料最省、效率最高等优化问题的结论．因此，导数是解决生活中优化问题的一个有力工具．

课时分配　　　　　

1课时．

教学目标　　　　　

1．知识与技能目标

会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力．

2．过程与方法目标

在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相关知识，学生通过自主探究，体验数学发现与创造的历程，提高学生的数学素养．

3．情感、态度与价值观

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性．

重点难点　　　　　

重点：

利用导数解决生活中的一些优化问题．

难点：

将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题．

提出问题1：

将一根长为1米的铁丝弯成一个矩形，怎么弯才能使矩形的面积最大？

活动设计：

学生讨论，主动发言，教师评论，提醒学生说明理由．

学情预测：

由于该问题可操作性强，学生积极性应该很高，可以猜想，也可以计算．

活动成果：

弯成正方形时，面积最大．可以用二次函数或平均值不等式来证明．

提出问题2：

一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别为多少？

活动设计：

继续讨论，像问题1一样需要学生说明理由．

学情预测：

除了猜想、证明外，不少学生尝试计算．

活动成果：

两个小正方形边长都是时，其面积和最小．

教师提问：

对于以上两个问题，都是对实际问题中的最优化设计，你对实际生活中的最优化设计有什么办法？

能联系导数知识进行说明吗？

学情预测：

学生会用导数知识重新审视问题1、2，思考之后，部分学生可以答出一些理由．

设计意图

通过几个比较简单的问题，一是激发学生的学习兴趣，二是引出用代数（函数）的方法解决问题．两个问题都可以用二次函数、不等式等知识解决，同样应用导数也能解决，为应用导数知识解决实际问题做铺垫．

提出问题：

如图，在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底边长为多少时，箱子的容积最大？

最大容积是多少？

活动设计：

以小组为单位，研究实施方案，教师巡视、指导．

学情预测：

由于问题相对复杂，学生在猜想无果时，会尝试用函数知识解决．

活动成果：

解法一：

设箱底边长为xcm，则箱高h＝（cm），得箱子容积

V（x）＝x2h＝（0

令V′（x）＝60x－＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝40，

并求得V（40）＝16000.

由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积都很小．经检验可知，16000是最大值．

答：

当箱底边长为40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.

解法二：

设箱高为xcm，则箱底边长为（60－2x）cm，则箱子容积

V（x）＝（60－2x）2·x（0

由题意可知，当x过小或过大时，箱子容积都很小，所以最大值出现在极值点处．

事实上，可导函数V（x）＝x2h＝、V（x）＝（60－2x）2·x在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．

设计意图

对于比较复杂的实际问题，单靠猜想——证明的方法显然不行，这样就更提高了学生用导数知识解决问题的主动性，从而引出本节课的课题，并初步形成解题思路和解题步骤．

求实际应用题的最大（最小）值的一般方法是：

（1）分析问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，建立函数关系式；

（2）确定函数的定义域，并求出极值点；

（3）比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际，确定最值或最值点．

例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？

活动设计：

学生自行设计图形，分组讨论、交流协作．

学情预测：

对于圆柱体的体积公式，学生可能会遗忘，需要教师提示．

解：

设圆柱的高为h，底面半径为R，容积为V，则表面积S＝2πRh＋2πR2.

由V＝πR2h，得h＝.

则S（R）＝2πR＋2πR2＝＋2πR2.

令S′（R）＝－＋4πR＝0，解得R＝，

从而h＝＝＝＝2，即h＝2R.

因为S（R）只有一个极值，所以它是最小值．

答：

当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．

点评：

实际应用问题的最优化，可以转化为函数在指定范围内的最大值问题．因此，恰当设变量，准确构建函数关系式（明确定义域），并用导数法（其他方法也可）求出函数最值是这类问题的基本解题步骤．

例2学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

活动设计：

两名学生板演，其他学生独立完成，最后教师讲评．

学情预测：

如何设变量，准确列出函数表达式，明确函数定义域，多数学生还不够规范．

解：

设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为

S（x）＝（x＋4）（＋2）－128＝2x＋＋8，x>0.

求导数，得S′（x）＝2－.

令S′（x）＝2－＝0，解得x＝16（x＝－16舍去）．所以版心的宽为＝＝8（dm）．

当x∈（0,16）时，S′（x）<0；当x∈（16，＋∞）时，S′（x）>0.

因此，x＝16是函数S（x）的极小值，也是最小值点．所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使海报四周空白面积最小．

答：

当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小．

例3饮料瓶大小对饮料公司利润的影响．

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

你想从数学上知道它的道理吗？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：

cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.

问题：

（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：

由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

y＝f（r）＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π（－r2），0

令f′（r）＝0.8π（r2－2r）＝0，解得r＝2（r＝0舍去）．

当r∈（0,2）时，f′（r）<0；当r∈（2,6）时，f′（r）>0.

因此，当半径r>2时，f′（r）>0，它表示f（r）单调递增，即半径越大，利润越高；

半径r<2时，f′（r）<0，它表示f（r）单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm时，利润最小，这时f

（2）<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

点评：

通过对解答过程的分析，我们可以发现：

当r＝3时，f（3）＝0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值．

当r∈（0,2）时，f′（r）<0，f（r）为减函数，其实际意义为：

瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，当半径为2cm时，利润最小．

巩固练习

一条水渠的断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得四周l＝AB＋BC＋CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

解：

由梯形的面积公式，得S＝（AD＋BC）h，其中AD＝2DE＋BC，DE＝h，BC＝b，

∴AD＝h＋b.∴S＝（h＋2b）h＝（h＋b）h.①

∵CD＝＝h，AB＝CD，∴l＝h×2＋b.②

由①，得b＝－h，代入②，

∴l＝h＋－h＝h＋，

l′＝－＝0.∴h＝.当h<时，l′<0；h>时，l′>0.

∴h＝时，l取最小值，此时b＝2·.

点评：

1.解决优化问题的方法是：

首先要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，创造在闭区间内求函数最值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决．在这个过程中，导数是一个有力的工具．

2．利用导数解决优化问题的基本思路：

变练演编

变式1：

当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使圆柱形饮料罐的容积最大？

变式2：

某厂生产某种产品x件的总成本c（x）＝1200＋x3（万元），又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？

变式3：

已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？

解：

变式1：

S＝2πRh＋2πR2

h＝

V（R）＝πR2＝（S－2πR2）R＝SR－πR3.

V′（R）＝0

S＝6πR2

6πR2＝2πRh＋2πR2

h＝2R.

答：

圆柱形金属饮料罐的高为底面半径的2倍时，才能使其容积最大．

变式2：

设单价为q>0，由题意q2·x＝k.

∵当x＝100时，q＝50，∴502·100＝k，k＝250000.∴q2·x＝250000，即q＝.

∴总利润y＝xq－c（x）＝x·－1200－x3＝500－x3－1200.

令y′＝500·－·3x2＝＝0.∴6250－2x＝0，解得x＝25.

当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.

经检验x＝25时，y有最大值．

答：

产量定为25件时，总利润最大．

变式3：

收入R＝q·p＝q（25－q）＝25q－q2，

利润L＝R－C＝（25q－q2）－（100＋4q）＝－q2＋21q－100（0

L′＝－q＋21.

令L′＝0，即－q＋21＝0，从而求得唯一的极值点q＝84，也是最大值点．

答：

产量为84时，利润L最大．

达标检测

1．江轮逆水行驶300km，水速为v（km/h），船相对于水的速度为x（km/h）．已知行船时每小时的耗油量为cx2（L），即与船相对于水的速度的平方成正比．问x多大时，全程的耗油量最少？

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数关系式可以表示为y＝x3－x＋8（0

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？

最少为多少升？

答案：

1.耗油量关于x的函数为H（x）＝（c>0，v>0，x>v），通过求导运算，可得当x＝2v时，全程的耗油量最少．（本题除了用导数求最小值外，还可以运用均值不等式求解：

H（x）＝＝300c＝300c[x－v＋＋2v]≥1200cv.当且仅当x－v＝，即x＝2v时等号成立．）

2．

（1）当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5（小时），

要耗油（×403－×40＋8）×2.5＝17.5（升）．

答：

当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．

（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，

依题意，得h（x）＝（x3－x＋8）·＝x2＋－（0

h′（x）＝－＝（0

令h′（x）＝0，得x＝80.

当x∈（0,80）时，h′（x）<0，h（x）是减函数；当x∈（80,120）时，h′（x）>0，h（x）是增函数．

∴当x＝80时，h（x）取得极小值h（80）＝11.25，也是h（x）的最小值．

答：

汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为11.25升．

解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．

“生活中的优化问题举例”实际上是求实际问题的最大（小）值，其主要步骤如下：

（1）列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f（x）；

（2）求函数的导函数f′（x），解方程f′（x）＝0；（3）比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．

课本习题1.4A5，B1.

1．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另外两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的长和宽．

2．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

解：

1.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x＞0，y＞0，

则在抛物线上的另一个顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为（－x,0）、（x,0），其中0＜x＜2.则矩形的面积为S（x）＝2x（4－x2），0＜x＜2.

由S′（x）＝8－6x2＝0，得x＝.易知x＝是S（x）在（0,2）上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的长、宽分别为和.

2．假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有

y＝×30＋×40（x>0），y′＝－＋20.

令y′＝0，得x＝15；令y′>0可得x>15；令y′<0可得x<15.

所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，

故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10（次）．

即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

点评：

应用题求解，要正确写出目标函数，并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有极小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．所以，本节课一开始就从同学们比较熟悉的二次函数、平均值不等式等应用问题入手，让学生初步了解用函数的方法解决实际应用问题的思想．由于导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1．与几何有关的最值问题；

2．与物理学有关的最值问题；

3．与利润及其成本有关的最值问题；

4．效率最值问题．

教学中选取了其中一部分内容，一方面扩大学生视野，一方面解决了由于对问题背景陌生造成的审题障碍，从而使题目解答难度过大的问题．教学过程的设计，侧重了师生双边活动，既让学生积极参与问题分析，又让学生独立完成部分题目的解答，最大限度地提升课堂容量，降低问题难度，提高课堂效率．

1．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上．磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区．磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域．磁道上的定长的弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）．

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数．

问题：

现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）?

解：

由题意知，存储量＝磁道数×每磁道的比特数．

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达.所以，磁盘总存储量f（r）＝·＝r（R－r）．

（1）它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断不是r越小，磁盘的存储量越大．

（2）为求f（r）的最大值，计算f′（r）＝0，f′（r）＝（R－2r），

令f′（r）＝0，解得r＝.

当r<时，f′（r）>0；当r>时，f′（r）<0.

因此，当r＝时，磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为·＝.

2．工程建设中的选址最优问题

有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

解：

设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，所需水管总费用为y元，

则y＝500（50－x）＋700＝25000－500x＋700，

y′＝－500＋700×（x2＋1600）－·2x＝－500＋.

令y′＝0，解得x＝.

当x∈[0，）时，y′<0；当x∈[，50）时，y′>0.所以当x＝时，y′取得极小值，也是最小值．

答：

水厂建在距甲距离为（50－）千米时，所需水管总费用最省．

（设计者：

张春生）