完整版高等数学同济版多元函数微分学练习题册doc.docx
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第八章多元函数微分法及其应用
第一作
一、填空:
1.
函数
z
ln(1
2
)
yx
23
x
y
的定义域为
x
1
2.
函数f(x,y,z)
arccos
z
的定义域为
y2
x2
3.设f(x,y)x2
y2,
(x)
cosx,
(x)
sinx,则f[(x),(x)]
.
sinxy
.
4.lim
x
ya
x0
二、():
1.
函数
1
的所有断点是:
sinxsiny
(A)x=y=2nπ(n=1,2,3,⋯);
(B)x=y=nπ(n=1,2,3,⋯);
(C)x=y=mπ(m=0,±1,±2,⋯);
(D)x=nπ,y=mπ(n=0,±1,±2,⋯,m=0,±1,±2,⋯)。
答:
(
)
sin2(x2
y2
x2
y2
0
2.函数f(x,y)
x2
y2
在点(0,0):
2,
x2
y2
0
(A)无定;
(B)无极限;
(C)有极限但不;
(D)。
答:
(
)
三、求lim
2
xy
4.
x
0
xy
y
a
四、明极限lim
x2y2
2不存在。
22
x
0
x
y
(xy)
y
0
71/13
第二节作业
一、填空题:
1
sin(x2y),xy
0
1.设f(x,y)
xy
则fx(0,1)
.
x2
xy
0
2.设f(x,y)
x
(y1)arcsin
x,则fx(x,1)
.
y
二、选择题(单选):
设z2xy2,则zy等于:
(A)y2xy2
ln4;(B)(xy2)2yln4;(C)2y(xy2)exy2;(D)2y4xy2.
答:
(
)
三、试解下列各题:
1.设zlntanx,求z,
z.
2.设z
arctany,求
2z.
y
x
y
x
xy
四、验证r
x2
y2
z2满足
2r
2r
2r
2.
x2
y2
z2
r
第三节作业
一、填空题:
1.
函数
z
y当
x2,y
时的全增量
z
全微分值
x
1,x0.1,y0.2
dz
.
y
2.
设z
ex,则dz
.
二、选择题(单选):
1.函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)两偏导数存在是函数在该点全微分存在的:
(A)充分条件;(B)充要条件;(C)必要条件;(D)无关条件。
答:
()
72/13
2.f(x,y)在(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的:
(A)充分必要条件;(B)必要非充分条件;
(C)充分非必要条件;(D)既非充分亦非必要条件。
答:
()
三、试解下列各题:
1.设zxyx,求dz.2.设uxyz,求du.
y
3.求函数zln(1x2y2)当x1,y2时的全微分.
4.设zarccos
x
求dz.
x2
y2
四、证明:
f(x,)xy在点(0,0)处的偏导数存在,但在点(0,0)处不可微。
第四节作业
一、填空题:
1.设zex2y,而x
sint,yt3,则dz
.
dt
73/13
2.设z
u2lnv,而u
x,v3x2y,则z
.
y
x
3.设z
f(xy,x
y),f可微,则dz
.
二、选择题(单选):
1.设u
(xy)z,而z
x2
y2,则ux
uy等于:
(A)2[z(x
y)z
1
(x
y)(xy)zln(xy)];
(B)2z(x
y)z;
(C)2(x
y)z(x
y)ln(xy);
(D)2(x
y)z1ln(xy).
答:
(
)
2.设z
3xy,而x
f(y)且f可导,则dz等于:
dy
(A)3xy[y
xf'(y)]ln3;
(B)3xy[x
yf'(y)]ln3;
(C)
3xy
[x
yf'(y)];
(D)zxf'(y)
zy3xy[[xyf'(y)]ln3.
ln3
答:
(
)
2
3.设u
f(x
y,xz)有二阶连续偏导数
则
xz
(A)
f2'
xf11"
zf12"
xf12";
(B)xf12"
xf2'
xzf22"
;
(C)xf21"
xzf22"
;
(D)f2'
xf21"
xzf22".
答:
(
)
三、试解下列各题
:
1.设zarctan(xy),而yex,求dz.dx
2.求下列函数的一阶偏导数(其中f具有一阶连续偏导数):
(1)uf(x2y2,exy).
(2)uf(x,xy,xyz).
74/13
3.设xf(x,x),f具有二阶连续偏导数,求2z.
yxy
4.设z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy,其中f具有连续偏导数,求全微分dz。
5.设zf(x,y),且f具有连续的一阶偏导数,而xu,y2vu2,试以u,v为新的自变量交换方程:
yzxz0.
xy
四、设z
y
其中f(u)为可导函数,验证:
1
z
1
z
z.
f(x
2
y2)
x
x
y
y
y2
第五节作业
一、填空题:
1.设lnx2
y2
arctany,则dy
.
xdx
75/13
2.
设
z
由方程
x
2
y
2
z
2
2x
4y
所确定
则
z(x,y)
4z100
z
.
x
3.
设
z
由方程
xz
y
arctany
所确定
则
2z
.
z(x,y)
0
xy
4.
由方程
xyz
x
2
y
2
z
2
2
所确定的函数
z
z(x,y)
在点
处的全微分
(1,0,1)
dz
.
5.
设函数
x
x(u,v)
和
由方程组x
u
yv所确定
则
x
.
y(u,v)
y
v
xu
u
二、选择题(单选):
1.函数y
y(x,z)由方程xyz
exy所确定,则y是:
x
(A)
y(x
1)
(B)
y
;
(C)
yz
y(1
xz)
x(1
;
x(1
1
;
(D)
.
y)
y)
y
x(1
y)
答:
(
)
2.
已知x
y
z
ex,xex
tant,y
cost,则dz
dtt0
1
;
(B)
1
(C)1;
(D)0.
(A)
;
2
2
答:
(
)
三、试解下列各题:
1.设x
lnz,求z及z.
z
y
x
y
2.设z3
3xyza3,求
2z.
xy
76/13
3.设
x
eu
cosv,y
eu
sinv,z
uv,试求
z和
z.
x
y
四、设Φ(u,v)具有连续偏导数,证明由方程Φ(cx-az,cy-bz)=0所确定的函数
z
z
z=f(x,y)
满足
a
b
c.
x
y
第六节作业
一、填空题:
1.
曲线
x
t
t
t在相应于
t
点处的切线与
轴夹角的正弦
ecost,y
esint,z
2e
0
oz
sin
.
2.
曲线y
f(x),z
g(x,y)(其中f(x)和g(x,y)皆可微)上点(x0,y0,z0)处的切线方
程是
.
二、选择题(单选):
1.曲线xyz
2
0
上(2,1,1)点处的一个切向量与
oz轴正向成锐角,则此切向量与oy
x
y
z
轴正向所夹角为
:
(A);
(B)
3
(C)
;
2
;
(D).
4
4
3
3
答:
(
)
2.曲面xy2
z3
12上点(1,
2,2)处的切平面方程是:
(A)x
y
3z
5;
(B)x
y
3z
7;
(C)
x
y
3z
3;
(D)x
y
3z
9.
答:
(
)
3.曲线2x=y2,z=x2在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等,与这一点相应的
x值
等于:
(A)1;
(B)1;
(C)1;
(D)2.
2
3
答:
(
)
77/
13
三、试解下列各题:
1.求曲线xtsint,y1cost,z4sint在点(1,1,22)的切线方程及法平面
22
方程.
2.求椭球面x22y2z21上平行于平面xy2z0的切平面方程.
x2
y2
z2
50
3.求曲线
y2
z2
在(3,4,5)点处的切线方程.
x2
四、试证曲面xyza(a0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和
等于a.
78/13
第七节作业
一、填空题:
1.
函数z=x2+y2在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2
3)的方向导数等于
。
2.
数量场f(x,yz)=x+2y+3z在(-1,2,0)点处的梯度是
。
3.
设f(x,y)=x
2-xy+y2,则f(x,y)在点(1,1)变化率最大方向上的单位向量为
。
二、选择题(单选):
函数yxyz
2yz
3在点(11,1)沿I
2i
2j
k的方向导数等于:
(A)
1
;
(B)
1
;
(C)
1
1
5
5
;
(D).
3
3
答:
(
)
三、试解下列各题:
1.
求函数
x2
y2
在点
(
a
b
处沿曲线x2
y2
在这点的内法线方向的
z1(a2
b2)
2,
2)
a2
b2
1
方向导数.
2.求函数u=xyz在点M(1,1,1)沿从点(1,1,1)到点(2,5,3)的方向的方向导数。
3.设f(x,y,z)=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,求gradf(1,1,1).
79/13
4.设n是曲面2x2
3y2
z2
6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量
求函数
u
6x2
8y2
在点P处沿方向n的方向导数.
z
四、设u,v都是x,y,z的函数,u,v的各偏导数存在且连续,证明:
grad(uv)=vgradu+ugradv.
第八
节作业
一、填空题:
1.
函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极大值为
。
2.
设函数z=z(x,y)由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0
所确定,则函数
z的驻点为
。
3.
函数z=xy在闭区域x≥0,y≥0,x+y≤1上的最大值为
。
二、选择题(单选):
1.zx2y在满足x2y25的条件下的极小值为:
(A)5;(B)5;(C)25;(D)25.
答:
()
2.函数z=x2+y3在(0,0)处:
(A)有极大值;(B)有极小值;(C)没有极值;(D)既有极大值又有极小值。
答:
()
三、试解下列各题:
1.求函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值。
80/13
2.要造一个容积等于k的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可使它的表面积最小。
四、将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,
问矩形的边长各为多少时,
才可使
圆柱体的体积为最大?
第八章综合作业
一、填空题(每小题
4分,共20分):
1.已知u
xy
yz
zx,则gradu(1,2,3)
.
2.设z
xyex2
y2
sinx
则z
.
y2
x
3.设z
arctanx
y,则dz
.
x
y
4.曲面z
x2
3y2在点(1,1,4)处的法线方程是
5.设z
f(x,y)在点(x0,y0)处存在一阶偏导数
且在(x0,y0)处取得极值则必有
成立.
二、选择题(单选)(每小题5分,共20分):
3xy
1.lim
x
0
xy1
1
y
0
(A)3;
(B)6;
(C)不存在;
(D)∞.
答:
()
2.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处:
(A)偏导数存在,则f(x,y)在该点一定可微;
(B)连续,则f(x,y)在该点偏导数一定存在;
(C)有极限,则f(x,y)在该点一定连续;
(D)可微,则f(x,y)在该点连续且偏导数一定存在。
答:
()
81/13
3.曲线x
sint,y
cos2t,z
sintcost在对应于t
处的切线与xoy面的夹角是:
(A)
;
(B)
;
(C);
1
(D)arccos.
2
3
4
3
答:
(
)
4.函数z=2x3-4x2+2xy-y2的极值点为:
(A)(0,0);
(B)(1,1);
(C)(0,0)与(1,1)
(D)无极值点。
答:
(
)
三、试解下列各题(每小题
7分,共28分):
1.设f(x,y,z)z
x,求
df(1,1,1).
2.
设ez
xyz
0,求
2z.
y
xy
2.设ux2
y2
z2,xrsincos,yrsinsin,zrcos,求u,u,u.
r
4.设uf(xyz,x2y2z2),其中f具有二阶连续偏导数,求uxxuyyuzz.
x
y
四、求曲面ez
ez