完整版高等数学同济版多元函数微分学练习题册doc.docx

1、完整版高等数学同济版多元函数微分学练习题册doc第八章 多元函数微分法及其应用第 一 作一、填空 ：1.函数zln(12)y x23xy的定义域为x12.函数 f (x, y, z)arccosz的定义域为y 2x23. 设 f ( x, y) x2y 2 ,(x)cos x,( x)sin x, 则f (x), (x).sin xy.4. limxy ax 0二、 （ ） ：1.函数1的所有 断点是 :sin x sin y(A)x=y=2n （ n=1,2,3,）；(B)x=y=n (n=1,2,3, ) ；(C)x=y=m (m=0, 1， 2， )；(D)x=n ,y=m (n=0,

2、1， 2， m=0, 1, 2, )。答：（）sin 2( x 2y2, x2y 202. 函数 f (x, y)x2y 2在点（ 0， 0） ：2 ,x2y20（ A）无定 ；（B ）无极限；（ C）有极限但不 ；（ D） 。答：（）三、求 lim2xy4 .x0xyya四、 明极限 limx 2 y 22 不存在。2 2x0xy( x y)y071 / 13第 二 节 作 业一、填空题 ：1sin( x 2 y), xy01. 设 f ( x, y)xy,则 f x (0,1).x2,xy02. 设 f (x, y)x( y 1) arcsinx , 则 f x ( x,1).y二、选择题

3、（单选） ：设 z 2x y 2 , 则 zy等于 :( A) y 2 x y2ln 4; (B) (x y 2 ) 2 y ln 4; (C ) 2 y( x y 2 ) ex y 2 ; (D ) 2 y 4 x y2 .答：（）三、试解下列各题 ：1. 设 z ln tan x , 求 z ,z .2. 设 zarctan y , 求2 z .yxyxx y四、验证 rx 2y 2z2 满足2 r2 r2 r2 .x2y 2z2r第 三 节 作 业一、填空题 ：1.函数zy 当x 2, y时的全增量z全微分值x1, x 0.1, y0.2dz.y2.设ze x , 则dz.二、选择题（单

4、选） ：1.函数 z=f(x,y) 在点 P0（ x0,y0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（ A）充分条件； （ B ）充要条件； （ C）必要条件； （ D）无关条件。答：（ ）72 / 132. f(x,y) 在 (x0,y0 )处两个偏导数 f x(x0,y0),f y(x0,y0) 存在是 f(x,y) 在该点连续的：（ A ）充分必要条件； （ B）必要非充分条件；（ C）充分非必要条件； （ D）既非充分亦非必要条件。答：（ ）三、试解下列各题 ：1. 设 z xy x , 求 dz. 2. 设 u x yz ,求 du.y3. 求函数 z ln(1 x2 y 2 )当

5、x 1, y 2时的全微分 .4. 设 z arccosx,求 dz.x 2y 2四、证明： f ( x, ) xy 在点（ 0,0）处的偏导数存在，但在点 (0,0)处不可微。第 四 节 作 业一、填空题 ：1. 设 z ex 2 y , 而xsin t, y t 3 ,则 dz.dt73 / 132. 设zu 2 ln v,而 ux ,v 3x 2 y, 则 z.yx3. 设 zf (x y, xy), f可微 , 则 dz.二、选择题（单选） ：1. 设 u( x y) z ,而 zx2y 2 ,则uxu y等于 :( A) 2 z( xy) z1(xy)( x y) z ln( x y

6、);(B) 2z( xy) z ;(C) 2(xy) z (xy) ln( x y);( D) 2(xy) z 1 ln( x y).答：（）2. 设 z3xy , 而 xf ( y)且 f可导 ,则 dz 等于 :dy( A) 3xy yxf ( y) ln 3;(B) 3xy xyf ( y) ln 3;(C )3xy xyf ( y);( D ) zx f ( y)zy 3xy x yf ( y) ln 3.ln 3答：（）23. 设 uf (xy, xz)有二阶连续偏导数,则x z( A)f 2xf 11zf12xf 12 ;(B) xf12xf 2xzf22;(C ) xf 21xz

7、f 22;(D ) f 2xf 21xzf 22 .答：（）三、试解下列各题：1.设 z arctan(xy), 而 y ex ,求 dz . dx2. 求下列函数的一阶偏导数（其中 f 具有一阶连续偏导数） ：(1) u f ( x2 y 2 , exy ). (2) u f (x, xy, xyz).74 / 133. 设 x f ( x, x ), f具有二阶连续偏导数 ,求 2 z .y x y4. 设 z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy, 其中 f 具有连续偏导数，求全微分 dz。5. 设 z f (x, y), 且f具有连续的一阶偏导数 ,而x u, y2 v u 2 ,

8、试以 u, v为新的自变量交换方程 : y z x z 0.x y四、设 zy,其中 f (u)为可导函数 , 验证 : 1z1zz .f (x2y 2 )xxyyy2第 五 节 作 业一、填空题 ：1. 设 ln x 2y 2arctan y , 则 dy.xdx75 / 132.设z由方程x2y2z22x4 y所确定,则z( x, y)4z 10 0z.x3.设z由方程xzyarctan y所确定,则2 z.z( x, y)0x y4.由方程xyzx2y2z22所确定的函数zz( x, y)在点处的全微分(1,0, 1)dz.5.设函数xx(u, v)和由方程组 xuyv所确定,则x.y(

9、u, v)yvxuu二、选择题（单选） ：1. 函数 yy(x, z)由方程 xyzex y所确定 , 则 y 是 :x( A)y(x1)(B)y;(C )yzy(1xz)x(1;x(11;( D ).y)y)yx(1y)答：（）2.已知 xyzex , xextan t, ycost,则 dzdt t 01;(B)1(C) 1;( D ) 0 .( A);22答：（）三、试解下列各题：1. 设 xln z , 求 z 及 z .zyxy2. 设z33xyz a 3 , 求2 z .x y76 / 133. 设xeucosv, yeusin v, zuv,试求z 和z .xy四、设 (u,v)

10、 具有连续偏导数，证明由方程（ cx-az,cy-bz ） =0 所确定的函数zzz=f(x,y)满足abc.xy第 六 节 作 业一、填空题：1.曲线xttt 在相应于t点处的切线与轴夹角的正弦e cost, ye sin t, z2e0ozsin.2.曲线 yf (x), zg (x, y)(其中 f ( x)和g( x, y)皆可微 )上点 (x0 , y0 , z0 )处的切线方程是.二、选择题（单选） ：1.曲线 xyz20上 (2,1,1)点处的一个切向量与oz轴正向成锐角 ,则此切向量与 oyxyz轴正向所夹角为:( A) ;(B)3(C );2;(D ).4433答：（）2.曲

11、面 xy2z312上点(1,2,2)处的切平面方程是 :( A) xy3z5;( B) xy3z7;(C)xy3z3;(D ) xy3z9.答：（）3. 曲线 2x=y 2,z=x 2 在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的x 值等于：( A) 1;(B) 1 ;(C) 1 ;(D ) 2 .23答：（）77 /13三、试解下列各题：1. 求曲线 x t sin t, y 1 cost , z 4sin t 在点 ( 1,1,2 2)的切线方程及法平面2 2方程 .2. 求椭球面 x2 2 y 2 z2 1上平行于平面 x y 2 z 0的切平面方程 .x2y2z2503.

12、 求曲线y2z2在 (3,4,5)点处的切线方程 .x2四、试证曲面 x y z a (a 0)上任何点处的切平面在 各坐标轴上 的截距之和等于 a.78 / 13第 七 节 作 业一、填空题 ：1.函数 z=x2+y2 在点 (1,2) 处沿从点 (1,2)到点 (2,23) 的方向导数等于。2.数量场 f(x,yz)=x+2y+3z 在 (-1,2,0) 点处的梯度是。3.设 f(x,y)=x2-xy+y 2，则 f(x,y) 在点 (1,1)变化率最大方向上的单位向量为。二、选择题（单选） ：函数 y xyz2 yz3在点(11,1)沿 I2i2 jk的方向导数等于 :( A)1;( B

13、)1;(C )1155;(D ).33答：（）三、试解下列各题 ：1.求函数x2y 2在点(ab处沿曲线 x2y 2在这点的内法线方向的z1 ( a 2b 2 )2 ,2 )a2b21方向导数 .2. 求函数 u=xyz 在点 M(1,1,1) 沿从点 (1,1,1) 到点 (2,5,3) 的方向的方向导数。3. 设 f(x,y,z)=x 2=2y 2+3z2+xy+3x-2y-6z ，求 gradf(1,1,1).79 / 134. 设n是曲面 2x 23y 2z 26在点 P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u6x 28y 2在点 P处沿方向 n的方向导数 .z四、设 u,v 都是

14、 x,y,z 的函数， u,v 的各偏导数存在且连续，证明： grad(uv)=vgradu+ugradv.第 八节 作 业一、填空题 ：1.函数 f(x,y)=4(x-y)-x 2 -y2 的极大值为。2.设函数 z=z(x,y) 由方程 x2+2y2+3z2+xy-z-9=0所确定，则函数z 的驻点为。3.函数 z=xy 在闭区域 x 0，y 0, x+y 1 上的最大值为。二、选择题（单选） ：1. z x 2 y在满足 x2 y 2 5的条件下的极小值为 :( A)5; ( B) 5; (C )2 5; ( D ) 2 5.答：（ ）2.函数 z=x2+y3 在 (0,0)处：（A）有

15、极大值； （B ）有极小值； （ C）没有极值； （ D）既有极大值又有极小值。答：（ ）三、试解下列各题：1. 求函数 f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2)的极值。80 / 132.要造一个容积等于 k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。四、将周长为 2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？第 八 章 综 合 作 业一、填空题（每小题4 分，共 20 分）：1.已知 uxyyzzx, 则 gradu (1,2 ,3).2. 设 zxyex2y2sin x,则 z.y 2x3. 设 zarctan xy

16、 , 则 dz.xy4.曲面 zx 23y 2在点 (1,1,4)处的法线方程是5. 设 zf (x, y)在点 ( x0 , y0 )处存在一阶偏导数, 且在 ( x0 , y0 )处取得极值则必有成立 .二、选择题（单选） （每小题 5 分，共 20 分）：3xy1. limx0xy 11y0（ A ） 3；（B ） 6；（C）不存在；（ D） .答：（ ）2.若函数 f(x,y) 在点 (x0 ,y0 )处：（A ）偏导数存在，则 f(x,y) 在该点一定可微；（B）连续，则 f(x,y) 在该点偏导数一定存在；（C）有极限，则 f(x,y) 在该点一定连续；（D）可微，则 f(x,y)

17、 在该点连续且偏导数一定存在。答：（ ）81 / 133.曲线 xsin t, ycos2 t, zsin t cost在对应于 t处的切线与 xoy面的夹角是 :( A);( B);(C) ;1( D) arccos .2343答：（）4.函数 z=2x3-4x 2+2xy-y 2 的极值点为：（ A）（ 0， 0）；（B）（1， 1）；（ C）（ 0， 0）与（ 1， 1）（D ）无极值点。答：（）三、试解下列各题（每小题7 分，共 28 分）：1. 设 f ( x, y, z) zx ,求df (1,1,1).2.设ezxyz0,求2 z .yx y2. 设u x 2y2z2 , x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,求 u , u , u .r4. 设u f (x y z, x2 y 2 z2 ), 其中 f具有二阶连续偏导数 ,求uxx u yy uzz .xy四、求曲面 e zez