复变函数与积分变换试题.docx
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复变函数与积分变换试题
复变函数与积分变换试题
复变函数与积分变换期末试题
一、填空题
1、
1-i的幅角是
；
2、
2
Ln的主值是
1f=）f，
4、z=0是
ziuy；
f“=ux+ivy；f“=uy+ivx、
C
2、C是正向圆周z=3，如果函数f=，则fdz=0、
333；；；
2z2
n
cz
3、如果级数∑n
n=1
∞
在z=2点收敛，则级数在
z
=-2点条件收敛；z=2i点绝对收敛；
共6页第页
z=1+i点绝对收敛；z=1+2i点一定发散、
４、下列结论正确的是
如果函数f在z0点可导，则f在z0点一定解析；
如果
C
fdz=0，则函数f在C所围成的区域内一定解析；
函数
f=u+iv在区域内解析的充分必要条件是
u、v在该区域内均为调和函数、
5、下列结论不正确的是、
1
∞为sin的可去奇点；∞为sinz的本性奇点；
z
∞为
的孤立奇点sinz
1
三、按要求完成下列各题
、设f=x+axy+by+i是解析函数，求
2
2
2
2
a,b,c,d、
解：
因为f解析，由C-R条件
共6页第页
∂u∂v∂u∂v==-∂x∂y∂y∂x
2x+ay=dx+2yax+2by=-2cx2c,2b=-d,c=-1,b=-1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
ez
dz其中C是正向圆周：
、计算C2
z
解：
本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
ez
因为函数f=在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1，分别以z1,z22
z为圆心画互不相交互不包含的小圆
c1,c2
且位于c内
ez
C2zdz=C1
ezez2dzdz+C22z
ezez
=2πi“+2πi
zz=12
=2πi
z=0
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z15
、dz
z=323
解：
设f在有限复平面内所有奇点均在：
z
共6页第页
z15
z=323dz=-2πiRes
[f,∞]---
11
=2πiRes
[f2]--
zz
11f2=zz
115）
2
zz
1
2z
111f2=有唯一的孤立奇点z=0,zzz23
11111Res
[f2,0]=limzf2=lim=12243
zzzzz→0z→0
z15
∴dz=2πi------
z=323
z32
函数f=在扩充复平面上有什么类型的奇
3
点？
，如果有极点，请指出它的级、解
XXXXX：
z32
f=的奇点为z=k,k=0,±1,±2,±3,，∞3
sinπz）=0的三级零点，z=k,k=0,±1,±2,±3,为z=0
z
3
=3为f的一级极点，
共6页第页
z=2,[]”
z
∞1
]”=[∑nn]”而[
n=0
=∑nnn2-----6分
n=0
∞
当0
111f=2=-2=-2
zzz
n
z∑n=0
∞
共6页第页
=-∑zn------10分
n=0
∞
当1
f=
11
=
z2z3
z
1n∞1
=∑n+3----14分∑n=0zn=0z
∞
1
f=3
z
每步可以酌情给分。
五、用Laplace变换求解常微分方程定解问题：
⎧y““x
⎨
⎩y=1=y“=1
解：
对y的Laplace
变换记做L，依据Laplace变换性质有
1
…s+1
s2L1-511111
…=-++
10615sx5x14x
e+e+e…10615
共6页第页
y=
六、求
f=e
+∞
-βt
的傅立叶变换，并由此证明：
cosωtπ-βt
dω=e22⎰0β+ω
-βt
-iωt
解：
F=⎰ee
-∞
+∞
dt------3分
F=⎰e
-∞
-iωtβt
edt+⎰eβtdt
+∞
+∞
=⎰e
-∞
t
dt+⎰e
-∞
e
-t+∞
F=
112β+=2----4分2
-i+iβ+ω
+∞
1f=
1=⎰
-∞
eiωtFdω------5分
⎰
+∞
-∞
eiωt
2β
dω22
β+ω
=
⎰2β
1
+∞
2
ββ+ω
2
-∞
dω
=
⎰
+∞
cosωti
ω+
β2+ω2βsinωt
⎰-∞β2+ω2ω
+∞
共6页第页
f=
2β
π
⎰
+∞
cosωt
ω，-----6分22
β+ω
+∞
cosωtπ-βt
dω=e22⎰0β+ω
«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准
填空题
；
2、Ln的
）；
3、
f=
1
1+z2
，
f=；
ziuy；
f“=ux+ivy；f“=ux+iuy、
C
2、C是正向圆周z=2，如果函数f=，则fdz=0、
3z3z3
；；、22
z2点条件收敛；z=-2i点绝对收敛；z=1+i点绝对收敛；z=1+2i点一定发散、４、下列结论正确的是
如果函数f在z0点可导，则f在z0点一定解析；
如果fdz=0,其中C复平面内正向封闭曲线,则f在C所围成
C
的区域内一定解析；
函数f在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为zR条件
共6页第页
∂u∂v∂u∂v==-∂x∂y∂y∂x
2x+ay=dx+2yax+2by=-2cx2c,2b=-d,c=-1,b=-1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
、
C
1
dz、其中C是正向圆周z2
z
=2；
解：
本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
1
在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1，分别以z1,z22
z
因为函数f=
为圆心画互不相交互不包含的小圆
c1,c2
且位于c内
1
C2zdz=C1
112dzdz+C22z
11
”=2πi+2πizz=12
1
3z
=0
z=0
ze
dz，其中C是正向圆周z=2；、计算C
解：
设f在有限复平面内所有奇点均在：
z
z=2
fdz=-2πiRes
[f,∞]=2πic----
共6页第页
1
31z21zzeze111111=-=-z223231z2!
z3!
zzzz1-z
=-2232!
3!
z4!
zzzz
811+）
=-32!
3!
cdz=-2πi3
3
函数f=在扩充复平面上有什么类型的奇点？
，如果有3
极点，请指出它的级、
f的奇点为z=k,k=0,±1,±2,±3,，∞
3z=k,k=0,±1,±2,±3,为=0的三级零点，
z=±1,为f的二级极点，z=-2是f的可去奇点，
z=0,2,1n““=n
[]=[]而∑∑n=0n=0
f=∑nn-------6分
n=0∞
当0
11f=2=zz2
∞nnz∑n=0∞
=∑zn----10分
n=0
当1
共6页第页
12
f=11=z2z3
z
1n∞n1=∑∑n+3------14分zzn=0n=0∞1f=3z
五、用Laplace变换求解常微分方程定解问题
⎧y““+2y“x
⎨“y=0,y=1⎩
解：
对y的Laplace变换记做L，依据Laplace变换性质有
1…s+1s2L3L=
整理得
s+2…L=
131y=-ee∞eiωtdt-----2分iω-iωt1=i
-1eeiωω=2sinωω-----4分
1f=2π
=⎰+∞-∞eiωtFdω---------5分π⎰
11+∞-∞eiωtsinωωdω=π⎰2+∞sinω-∞ωdω=π⎰+∞sinωcosωt
0ωω+π⎰i+∞sinωsinωt
-∞ωω
+∞sinωcosωtωdω=π2f⎧πt1⎩
共6页第页
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