微分方程数值解法.doc

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《微分方程数值解法》论文

常微分方程初值问题数值解法的讨论与比较

一、一阶常微分方程的初值问题

科学技术中常常要求解常微分方程的定解问题，这类问题最简单的形式是一阶方程的初值问题

我们知道，只要函数适当光滑，譬如关于满足Lipschitz条件

（1.3）

理论上就可以保证初值问题（1.1）,（1.2）的解存在并且唯一。

虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。

二、欧拉法

我们知道，在平面上，微分方程（1.1）的解称作它的积分曲线。

积分曲线上一点的切线斜率等于函数的值，如果按函数在平面上建立一个方向场，那么，积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向相一致，基于上述几何解释，从初始点出发，先依方向场在该点的方向推进到上一点，然后再从依方向场的方向推进到上一点，循此前进推出一条折线，一般地，设已做出该折线的顶点，过依方向场的方向再推进到，显然两个顶点，的坐标有关系

即

（2.1）

这就是著名的欧拉（Euler）公式。

若初值已知，则依公式（2.1）可逐步算出

例1求解初值问题

解欧拉公式的具体形式为

取步长，计算结果如下表：

表1计算结果对比

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1.1000

1.1918

1.2774

1.3582

1.4351

1.0954

1.1832

1.2649

1.3416

1.4142

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.5090

1.5803

1.6498

1.7178

1.7848

1.4832

1.5492

1.6125

1.6733

1.7321

初值问题（2.2）有解，按这个解析式子算出的准确值同近似值一起列在表1，两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差。

三、改进欧拉法

为得到比欧拉法精度高的计算公式，在等式如果对方程（1.1）从到积分,得

　　　　　　（3.1）

右端积分中若用梯形求积公式近似，并用代替，代替，则得

（3.2）

称为改进欧拉法．

改进欧拉方法是隐式单步法，可用迭代法求解．用欧拉方法提供迭代初值，则改进欧拉法的迭代公式为

　　　（3.3）

为了分析迭代过程的收敛性，将（3.1）式与（3.2）相减，得

，

于是有

，

式中为对满足Lipschitz常数，如果选取充分小，使得

，

则当时有，这说明迭代过程（3.3）是收敛的．

例2　用改进的欧拉方法求解初值问题（1.1）．

解　改进的欧拉公式为

仍取，计算结果见下表．同例１中欧拉法的计算结果比较，改进欧拉法明显改善了精度．

表2计算结果对比

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1.0959

1.1841

1.2662

1.3434

1.4164

1.0954

1.1832

1.2649

1.3416

1.4142

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.4860

1.5525

1.6153

1.6782

1.7379

1.4832

1.5492

1.6125

1.6733

1.7321

四、线性多步法

在逐步推进的求解过程中，计算之前事实上已经求出了一系列的近似值，，如果充分利用前面多步的信息来预测，则可以期望会获得较高的精度．这就是构造所谓线性多步法的基本思想．

构造多步法的主要途径是基于数值积分方法和基于泰勒展开方法，前者可直接由方程（1.1）两端积分后利用插值求积公式得到．一般的线性多步法公式可表示为

，　（4.1）

其中为的近似，，，，为常数，及不全为零，则称（4.1）为线性步法，计算时需先给出前面个近似值，再由（4.1）逐次求出．如果，称（4.1）为显式步尖，这时可直接由（4.1）算出；如果，则（4.1）称为隐式步法，求解时与改进欧拉法相同，要用迭代法方可算出，（4.1）中系数及可根据方法的局部截断误差及阶确定，其定义为：

设是初值问题（1.1）,（1.2）的准确解。

阿当姆斯显式与隐式公式

考虑形如

，　　　　　　　（4.2）

的步法，称为阿当姆斯（Admas）方法．为显式方法，亦称Adams-Bashforth公式；为隐式方法，亦称Adams-Monlton公式，直接由方程（1.1）两端从到积分求得。

例3　积分法导出三步显式阿当姆斯方法．

解　对（1.1）两端从到积分

．

考虑以为节点的二次代数多项式插值，则

．

从而得到

同理得

．

再由积分中值定理也不难得到

，

即的阿当姆斯显式公式为

，　　　　（4.3）

其局部截断误差为

．

例4　用四阶阿当姆斯显式和隐式方法解初值问题

取步长．

解　本题．从四阶阿当姆斯显式公式得到

对于四阶阿当姆斯隐式公式得到

由此可直接解出而不用迭代，得到

．

计算结果如表5，其中显式方法中的及隐式方法中的均用准确解计算得到，对一般方程，可用四阶R-K方法计算初始近似．

表5　例4计算结果

阿当姆斯显式公式

阿当姆斯隐式格式

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.04081822

1.07032005

1.10653066

1.14881164

1.19658530

1.24932896

1.30656966

1.36787944

1.070032292

1.10653548

1.14881841

1.19659340

1.24933816

1.30657962

1.36788996

2.87e-006

4.82e-006

6.77e-006

8.10e-006

9.20e-006

9.96e-006

1.05e-006

1.04081801

1.07031966

1.10653014

1.14881101

1.19658459

1.24932819

1.30656884

1.36787859

2.1e-007

3.9e-007

5.2e-007

6.3e-007

7.1e-007

7.7e-007

8.2e-007

8.5e-007

从以上例子看到同阶的阿当姆斯方法，隐式方法要比显式方法误差小，这可以从两种方法的局部截断误差主项的系数大小得到解释，这里分别为251/720及－19/720．