随机共振 基本理论及其应用.docx
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随机共振基本理论及其应用
随机共振基本理论及其应用
绪论
本章主要简述本文的研究目的和意义，概述随机共振的提出、发展和国内外研究现状，最后是本文研究的主要内容安排和创新之处。
1.1本文研究的目的和意义
噪声常常被认为是一种讨厌的信号，因为它无处不在，常常与有用信号共存，严重影响系统的工作和有用信号的正常测量。
在信号处理中，总是想方设法去除背景噪声以保留有用信号。
所以信号检测，尤其是强噪声背景下的微弱信号检测，从某种意义上来说，是一种专门与噪声作斗争的技术。
现代电子学领域，如通信、控制、广播、遥控遥测或其他电子系统，都存在处理微弱信号和噪声的问题。
为了检测被背景噪声淹没的微弱信号，人们进行了长期的研究工作，分析噪声产生的原因和规律，研究被测信号的特点、相关性以及噪声的统计特性，然后利用电子学手段、信息理论和其他物理、数学方法，来对被噪声淹没的微弱信息进行提取、测量。
微弱信号检测的首要任务是提高信噪比，以便从强噪声中检测出有用的微弱信号，从而满足现代科学研究和技术开发的需要。
由于微弱信号的检测能提高测量灵敏度和可检测下限，因此在物理、化学、生物以及许多工程技术领域都得到了广泛应用。
目前，常采用的微弱信号检测方法大致有以下几类：
（1）窄带化与相干检测技术。
窄带化技术是利用相应的窄带滤波器排除噪声。
因为信号频率是固定的，我们通过窄带滤波器限制了测量系统的带宽，把大量带宽外的噪声排除在外，取得了抑制噪声的效果。
相干检测技术，就是利用信号具有相干性，而噪声无相干性的特性，把相位不同于信号的噪声部分排除掉。
窄带化与相干检测技术适用于频域信号的处理。
（2）时域信号的平均处理技术。
如果弱信号是脉冲波，由于它有很宽的频谱，因此无法用窄带化或相干检测技术进行信号测量。
然而噪声是随机的，它有正有负，有大有小，所以对信号多次测量并进行平均，可排除噪声的影响，从而测出真实的信号值。
这种逐点多次采样求平均的方法，称为平均处理。
（3）离散信号的计数统计。
当被测的信号是一些极窄脉冲信号，且对它的形状不关心，而关心的是单位时间到达的脉冲数时，利用幅度甄别器，大量排除噪声计数，利用信号的统计规律，来决定测量参数，并相应作数据修正。
弱光学信号检测中使用的光子计数器，就是采用这类方法。
在现代信号检测过程中，一般通过A/D转换，对信号离散化后，由计算机系统进行信号处理的。
于是创造了这样一个环境，即在信号检测中原来需要硬件完成的任务，可以用软件来实现。
我们可利用数字示波器、信号判决、信号参量估计、信号谱估计等方法来处理这些受到噪声污染的采样信号，从而得到被测信号。
相关内容包括：
（1）噪声中信号波形的恢复；
（2）噪声中信号的判决；（3）噪声中的信号参量估计；（4）噪声中信号谱的估计。
从文献调查知，当前的微弱信号检测技术可检测到0.1nV电压和10-14A电流
[203]，然而，这样小的信号检测是在一定的条件下测得的。
不同的信号，不同的环境，其检测效果是不同的，不是所有的信号都能检测到那么小。
在强噪声背景下，尤其是当微弱信号的频率非常低的情况下，上述这些方法都存在局限性，可能显得无能为力。
因此，研究新的有效的微弱信号检测方法，是微弱信号检测技术的发展方向之一。
目前在微弱信号检测技术中，无论是电路设计还是信号处理领域，国内外都已形成了相当完整的学科体系，但其目标都是集中在抑制噪声这一点上。
因此，当噪声频谱与信号频谱接近时，在抑制噪声的同时，有用信号也不可避免地受到损害；然而，随机共振理论存在解决上述问题的可能。
随机共振理论指出，当有噪声的系统发生随机共振时，部分噪声能量会转化为有用信号的能量，从而使系统输出信噪比大大提高,即给特定系统加入一定强度的噪声，不但不会阻碍反而会提高信号检测的性能。
这种“反常效应”在微弱信号检测中具有很大的潜力。
随机共振理论为人们在强噪声背景下微弱信号的检测方法研究中开创了新的思路。
本文研究的主要目的，首先从理论上研究几个数学模型中的随机共振现象，然后研究如何利用随机共振现象来达到微弱信号检测的目的。
本文所指的“微弱信号”不仅意味着信号的幅度很小，而且主要是指被噪声淹没的有用信号，所谓的“微弱”是相对于噪声而言的。
1.2随机共振的发展及国内外研究现状
20世纪初，朗之万（P.Langevin）在研究布朗运动时，在描述布朗粒子的牛顿运动方程中引入了随机力（噪声）?
（t），用来表示—种涨落很快、引起粒子无规则运动的力。
这就是第一次在物理学中使用随机微分方程，其后在非平衡统计物理中被广泛应用。
随机共振就是以随机（非）线性微分方程为数学模型，研究物理系统输出与噪声、系统参数以及激励信号之间非单调性的一种非线性现象。
随机共振的概念是由意大利物理学家RobertoBenzi、美国物理学家AlfonsoSutera和意大利物理学家AngeloVulpoiani等人1981年在研究古气象冰川问题时提出的[1]。
他们利用随机共振概念创造性地对第四纪冰川发生的现象做出了科学圆满的解释。
他们认为古气象冰川期和暖和期以大约10万年为一周期交替出现，而地球绕太阳转动的偏心率的变化周期也大约为10万年。
这一变化意味着太阳对地球施加了周期变化的信号。
然而，这一周期信号很小，本身不足以产生地球气候从冰川到暖和期的如此大幅度的变化（粗糙估计的变化幅度为1Co量级，实际变化幅度为10Co量级）。
RobertoBenzi等人提出的气候模型认为，地球处于非线性条件下，这种条件使地球可能取冷态（冰川态）和暖态两种状态。
地球偏心率的周期变化使气候有可能在这两种态之间变动，而地球所受的噪声（比如太阳常数的无规律变化）大大提高了小的周期信号对非线性系统的调制能力。
他们把这种引起地球古气象大幅度周期变动的现象称为“随机共振”（Stochasticresonance）[1]。
同年，在上述基础上，Nicolis[2]又提出了双稳态气候势概念，用于模拟第四纪冰期和暖气候期，建立了描述气候长期变化的随机微分方程，并在绝热近似条件下，进行了解析求解，得到了与RobertoBenzi等人相同的结论。
1983年，由StephanFauve[3-4]领导的一个法国科研小组，在具有双稳态输出特性的斯密特（Schmitt）触发电路系统中，第一次用实验证实了随机共振现象的存在。
他们在电路的输入端输入信号和噪声，测量输出信号的功率谱，并首次把信噪比概念引入到随机共振的理论和实验研究中，实验发现在信噪比与噪声强度的函数曲线上出现了一个最大值，即观察到了“随机共振”现象。
随后，在1988年，美国的物理学家MamaraMcNamara和GautamVemuri[5-6]在光学系统实验中也发现了随机共振现象。
该光学系统实验的双稳态是双向环形氦氖激光器的两个相反方向运动的激光模。
在实验时，他们用声频信号调制模的方向，再加上噪声来改变信号对系统的调制能力。
当固定信号强度，而调节噪声强度时，从实验结果中又一次观察到了与斯密特触发器类似的随机共振现象。
1989年，Gammaitoni、McNamara和Wiesenfeld、Presilla等人[21]，1990年胡岗教授[28,31]先后提出了著名的绝热动力学理论。
1989-1991年，Jung和Hanggi[26]又提出了绝热摄动理论。
此外，Dykman等人[27-28]相继在1990-1993年，用线性响应近似法来刻画随机共振的特性。
在这些研究中，作者们主要利用朗之万方程和福克-普朗克（Fokker-Planck）方程讨论随机共振的各种统计性质，逐步发展形成了随机共振的绝热消去（Adiabaticelimination）理论和线性响应（Linearresponse）理论，其中的绝热近似和本征表象中的微扰展开法是两个最主要的近似方法。
Fox[20]在1989年首次应用本征函数微扰展开方法对福克-普朗克方程进行了随机共振的理论研究，求出了一维双势阱系统的近似解析式，给出了信噪比的近似表达式。
90年代初，Presilla[21]和胡岗[22,25]等人也利用本征函数微扰方法对福克-普朗克方程进行了随机共振的理论研究。
胡岗在仅考虑系统输出对信号的线性响应近似以及某些限制条件的情况下，求出了朗之万方程描述的系统输出功率近似解析表达式。
与此同时，BruceMcNamara[5]在信号幅值、频率和噪声强度远远小于1的条件下，认为双稳态系统的两个吸引域（?
?
0）和（0,?
?
）内达到局域平衡所需的时间远小于两吸引域之间概率整体平衡所需的时间，也远小于系统跟随信号变化所需的时间。
与信号变化和两定态吸引域之间概率交换所需的时间相比，在各吸引域内达到概率平衡的时间非常之小，可以认为是瞬时完成的，这就是所谓的“绝热近似”。
90年代初的几年里，周同[29]、FrankMoss[30]、秦光戎[34-35]等人用电子线路模拟了朗之万方程和杜芬（Duffing）方程。
他们的工作，不仅证实了一些理论研究工作的结果和预言，也给出了理论和实验的偏差，明确了绝热消去理论和线性响应的适用范围。
目前，人们从更多的物理现象和工程应用中去研究随机共振。
按照所研究的数学模型，可以分为线性模型和非线性模型两大类。
在线性模型随机共振研究方面，A.V.Barzykin[157]、V.Berdichevsky[158]、M.Gitterman[158-160]等基于线性系统理论，深入研究了乘性噪声和加性噪声作用下一阶、二阶线性模型统随机共振行为。
对于一阶线性模型，信号调制噪声的情形他们没有研究过。
我们综合考虑了乘性噪声、加性噪声以及信号调制噪声的作用，研究了一阶线性模型输出信噪比的非单调行为，得到了新的结果[161,162]；对于二阶线性模型，M.Gitterman等研究了系统的阻尼系数和固有频率受噪声扰动时的情形，而对于系统的惯性项系数（系统变量二阶导数的系数）受扰动的情形没有研究过。
基于此，我们从实际的RLC电路模型出发，对惯性项系数受乘性噪声作用的情形进行了相关研究，得到了一些与M.Gitterman不同的新结果。
在非线性模型的研究方面，学者们主要集中在光学系统（单模激光器）[233]、阈值系统（高于阈值的系统、比较器阵列）[123]、神经动力学系统（LIF（leakyintegrate-and-fire）模型、FH（FitzHugh）模型、In-Silico神经模型、神经元阵列）[117,119,120,129]和化学系统[212,249]中的随机共振研究。
在电路实验方面，美国摩托罗拉实验室的OOliaei等人最近研究了?
--?
调制器中[224]的随机共振现象。
他们研究的?
--?
调制器如图1-1所示，N个并联比较器的参考电压为相互独立的零均值高斯白噪声?
n,n?
1,?
N。
他们的仿真研究发现，在调制器的输出信噪比与噪声的强度以及信噪比与最大噪声强度的关系曲线上，都出现了随机共振现象。
而且当N>1时，信噪比取最大值时的噪声强度与输入信号的幅度和比较器的个数N都无关。
图1-1?
--?
调制器
在非线性模型的研究中，学者们对双稳模型研究很多，对于单稳系统随机共振的研究，主要考虑加性噪声的情形[192-193]，而对乘性噪声的研究相对较少。
根据绝热消去理论，我们在乘性噪声和加性噪声作用下单稳系统中，也发现了随机共振现象[236]。
随机共振在微弱信号的检测中的应用是目前研究的热点之一[71-84,207-213]。
其基本思路是通过对（非）线性系统施加适当的噪声，或通过调节系统参数等方法，提高系统输出信噪比来检测噪声中的微弱信号。
最初，人们把主要精力放在如何调节噪声使其系统产生随机共振现象，改善信噪比来提取弱周期信号的特征信息。
例如，应用随机共振进行海洋噪声背景下的信号检测；提高神经元对弱触觉信号的检测能力；去检测化学微弱信号等等。
随着随机共振用于测量的进一步研究，人们把注意力放到信号测量中的一些实际问题上去。
一些科研人员正试图设法使超导量子干涉仪（SQUID）中的随机共振最佳化，以便更好地从噪声环境中检测出微弱周期性磁场信号。
工程师们把噪声加到某些系统中去，利用随机共振技术来改善信号质量，这些系统包括音乐光盘、模数转换器和视频图像等。
最近几年，随机共振在微弱信号检测应用方面，在生物学领域的应用研究上中研究取得了不少的成果。
美国密苏里大学的Moss[44]等人，首先成功地利用随机共振提高了鼠脑组织中弱信号的传输率。
另外，该大学的K.D.John[42]在1993年从小龙虾尾部的传感神经元到细胞膜两侧传递信息的信息离子通道发现了随机共振现象。
1996年，Levin和Miller[54]也发现在蟋蟀的毛发细胞中同样存在着随机共振，它能够帮助蟋蟀的机械敏感器官探测到来自食肉动物的小幅值低频率空气信号。
随机共振基本理论
本章介绍几种基本的随机共振理论，它是全文的理论基础。
介绍了几种主要的随机共振理论，以及随机共振的分类方法和度量手段。
如果随机力（噪声）强度很小，人们或许会认为，这种随机力对宏观运动的影响也是很小的，而且可以被看成是消极的干扰。
然而，本世纪70年代以来的非线性科学和统计物理的最新发展告诉我们，一个小的随机力并不仅仅是对原有的确定性方程的结果产生微小的改变，在一定的非线性条件下，它还可以对系统的演化起决定性的作用。
这种随机干扰在一定的条件下，会产生相干运动，对“序”的建立起建设性的创造作用。
其中最典型的就是“随机共振”现象。
在一定的条件下增加系统输入的噪声，会导致输出的信号的增加，降低噪声的输出，即增加输入的无序反而使系统的输出更加有序。
这就是“随机共振”效应。
最初Benzi提出随机共振的概念是用来解释气候模型系统输出的周期性质，即地球的冰川周期，但随着随机共振在各类系统中的发展，科学界对于系统输出的信噪比反而更加关注，即如何利用随机共振现象提高系统的输出信噪比，但处理的信号仅局限于周期信号。
九十年代初，Collins[111]提出了非周期随机共振的理论，使得随机共振与信息理论结合起来，其理论和实际应用得到了实质性的进展。
随机共振理论可以分成经典随机共振理论和非经典随机共振理论。
经典随机共振理论主要建立在双稳态模型基础上，主要有绝热消去理论（AdiabaticEliminationTheory）[112,11]、线性响应理论（LinearResponseTheory）[113,34,114]、驻留时间分布理论（ResidenceTimeDistributionTheory）[35,115-117]以及本征值理论（EigenvalueTheory）[39,32,118,120]；而非周期随机共振（AperiodicStochasticResonance）[121-128]、超阈值随机共振（SuprathresholdStochasticResonance）[129-131]、自适应随机共振（AdaptiveStochasticResonance）[89,132,133,72,73]、单稳态与多稳态随机共振（Mono-stableandmulti-stableStochasticResonance）[134-141]、非马尔可夫随机共振（Non-MarkovianStochasticResonance）[142-144]及参数诱导调节随机共振（Parameter-InducedStochasticResonance）[145-148]等都属于非经典随机共振理论。
值得指出的是这些理论不是截然分开的，有些是融合在一起的，下面简单介绍几种常见的理论。
2.1几种主要的随机共振理论
2.1.1绝热消去理论[112,11]
2.1.1.1一维双势阱之间的概率跃迁
设方程
?
?
?
U?
（x）?
?
（t）（2.1）x
该方程描述了在势场U（x）作用下过阻尼布朗粒子的运动方程。
这一方程也同样适用于描述类似电路、生理等系统在随机力作用下的崩溃过程。
我们假设随机力为高斯白噪声，并且噪声很弱
?
（t）?
0，（t）?
（t1）?
2D?
（t?
t1）（2.2）
其中D?
?
1。
对应朗之万方程（2.1）的福克－普朗克方程是
?
?
（x,t）?
?
2
?
?
[U?
（x）?
（x,t）]?
D2?
（x,t）（2.3）?
t?
x?
x
这里的势函数U（x）具有双稳性质。
令xS1和xS2（其中xS1?
xS2）为势场U（x）的两个极小值（稳态），而xu为U（x）的极大值（非稳态）。
经过初始的弛豫过程，系统已处于准稳态，即在两势阱内达到了局域平衡，分别形成了以两稳态为中心的概率峰。
为了说明在两概率峰之间进行的概率跃迁及从准稳态进入最终定态的时间过程，我们再次作以下假设：
在弱噪声条件下，与从不稳定态到准稳态的时间尺度?
ln（D）相比，从准稳态到稳定态的时间exp（1/D）要长得多。
所以，在准稳态向定态的演化过程中，不稳定点两边势阱内的概率分布总是来得及保持局域的定态分布。
一旦有些概率从一个势谷越过势垒进入另一势谷，它马上就会按局域的定态分布分配到各个部位。
与概率越过势垒的极缓慢的过程相比，概率在一个势阱内的流动可以认为是瞬时完成的。
所以在整个准稳态期间概率分布函数是
?
?
?
（x,t）?
N?
（t）exp[?
U（x）/D],?
（x,t）?
?
?
?
?
（x,t）?
N?
（t）exp[?
U（x）/D],
当x?
xu时当x?
xu时（2.4）
当定态未到达时，两个概率峰之间的概率平衡还未建立。
N?
（t）和N?
（t）会变化，而其他分布函数则保持不变。
由于?
U（x）分别在xS1和xS2取极大值，?
（x,t）在这两个稳态附近有很尖的概率峰，我们可以采用以下的高斯近似
1U（x）?
U（xSi）?
U?
?
（xSi）（x?
xSi）2,i?
1,2（2.5）2
令
p?
?
（t）?
?
x?
u?
（x,t）dx?
N?
（t?
U（xS2）/D]（2.6）p?
?
（t）?
?
x?
?
（x,t）dx?
N?
（t?
U（xS1）/D]（2.7）
u
p?
（t）和p?
（t）分别为xu两边势阱在t时刻所含的概率总量。
显然
p?
（t）?
p?
（t）?
1（2.8）
对方程（2.3）在（?
?
xu）区段积分，可得出p?
（t）的变化率
dp?
（t）
dt?
D?
?
x?
（x,t）|x?
xu（2.9）
显然，变化率只与?
（x,t）在附近的性质有关。
我们首先考察从p?
（t）向p?
（t）的流动。
为此假定t时刻的初始条件为
?
?
?
（x,t）,?
1n（x,t）?
?
?
0,当x?
xu时
当x?
xu时（2.10）
让我们计算在t?
?
t时刻的分布?
（x,t?
?
t）。
由于概率流动发生在x?
xu附近，方程（2.3）可在不稳定点附近线性化，其解为
?
（x,t?
?
t）?
?
0
?
?
?
?
（x,t?
?
t）?
1n（y,t）dy（2.11）
其中
?
（x,t?
?
t）?
?
?
?
[x?
xu2
?
?
?
?
yexp（?
?
t）]?
?
?
?
2D[exp（2?
?
t）?
1]?
（2.12）
?
?
?
?
U?
?
（x
1n（y,t）?
k?
p?
（t）exp?
u）y2
?
?
?
?
（x?
u）
?
2D?
（2.13）
?
k?
?
?
U（xS1）?
U（xu）?
?
?
D?
?
（2.14）
在条件D?
1/2?
?
exp（?
?
t）?
?
1时，（2.11）可积出为
?
（x,t?
?
t）?
p?
（t）k?
?
?
2?
1?
?
（2.15）?
因为只考虑在x?
xu的附近的行为，我们略去了x2及更高次的幂。
令人信服的是，（2.15）式与?
t无关．这类似于当液体通过小孔从大容器里流出时，经过不长的瞬态过程，在小孔附近会达到了稳流，稳流时流速及液体密度分布不再随时间变化。
将（2.15）代入（2.9），并取D的最主要项，可以得到
dp?
（t）?
?
R?
p?
（t）?
R?
p?
（t）（2.16）dt
R?
?
Dk?
U（x）?
U（x）?
（2.17）?
?
?
D?
?
?
U（x）?
U（x）?
（2.18）?
?
D?
?
R?
?
从准稳态到最终定态的概率跃迁过程完全由式（2.17）-（2.18）和（2.6）-（2.7）描述，而式（2.6）-（2.7）中两个势井中的总概率量则由简单的两变量方程
dp?
（t）?
?
R?
p?
（t）?
R?
p?
（t）（2.19）dt
dp?
（t）?
?
R?
p?
（t）?
R?
p?
（t）（2.20）dt
来决定。
式（2.19）-（2.20）有两个本征值
?
0?
0,?
?
1?
R0?
R?
?
R?
（2.21）
前者为福克-普朗克方程（2.3）的定态本征值，后者是福克-普朗克方程（2.3）中除0以外的最大本征值，它反映了势井之间概率交换的福克-普朗克方程的最长时间尺度的演化过程。
而R?
和R?
不是别的，正是从xS1和xS2势阱出发的克莱默斯（Kramers）逃逸速率。
在双稳问题中，平均首通时间是1/?
1：
T1?
?
1?
1?
（R?
?
R?
）?
1（2.22）
2.1.1.2绝热消去理论
现在我们来研究下面的模型
?
?
?
x?
x3?
Acos（?
t）?
?
（t）,x
其中?
（t）是高斯白噪声，其统计特性为?
?
0（2.23）
?
（t）?
0，（t）?
（t1）?
2D?
（t?
t1）（2.24）
当无周期信号和噪声作用时，A?
D?
0，系统的两个稳态在x?
D?
0时存在临界值Ac?
5/2/9。
当A?
Ac时，
运动轨道将在x?
x?
附近进行局域的周期运动；而在A?
Ac时轨道将会绕这两个定态作大范围的运动。
然而，在引入噪声后，即使A?
Ac，甚至A?
?
Ac时，系统也可以在这两个定态之间进行跃迁。
方程（2.23）对应的随机变量x的概率分布函数?
（x,t）满足福克－普朗克方程
?
?
（x,t）?
?
2
3?
?
[（?
x?
x?
Acos（?
t））?
（x,t）]?
D2?
（x,t）（2.25）?
t?
x?
x
当输入信号和噪声强度很小时，
A?
?
1,D?
?
1（2.26）
?
?
?
x?
x3决定。
可以认为系统的吸引域基本上仍然由原自治的确定性方程x这样，
整个x区域可分为两个吸引区域（?
?
0）和（0,?
），
前者为定态解x?
后者为定态解x的吸引域。
在这两个吸引域内的概率总量分别是
0P?
（t）?
?
?
（x,t）dx（2.27）P?
（t）?
?
?
（x,t）dx（2.28）0?
?
?
P?
（t）?
P?
（t）?
1（2.29）
当输入信号频率很低时，
?
?
?
1（2.30）
可以认为系统在各个吸引域达到局域平衡所需的时间远小于两吸引域之间概率整体平衡所需的时间，也远小于系统跟随信号变化所需的时间。
与信号变化和两定态吸引域之间概率交换所需的时间相比，在各个吸引域内达到概率平衡可以认为是瞬时完成的。
这一近似条件就是绝热近似。
在绝热近似条件下，方程（2.25）的长时间演化行为可以简化为P?
（t）和P?
（t）之间概率交换的主方程
?
（t）?
?
R（t）P（t）?
R（t）P（t）P?
?
?
?
?
?
R?
（t）?
[R?
（t）?
R?
（t）]P?
（t）
由（2.31）可得（2.31）
P?
（t）?
Z?
1（t）[P?
（t0）?
?
R?
（t1）Z（t1）dt1]（2.32）t0t
Z（t）?
exp?
?
[R（t）?
R（t）]dt?
（2.33）t
t0?
1?
11
设
R?
（t）?
f（?
?
?
cos（?
t））（2.34）
可展开为
R?
（t）?
1（R0?
R1?
cos（?
t）?
R2?
2cos2（?
t）?
...）（2.35）
其中
由此可得
212（?
），12R（?
1）ndnRf（?
）0?
fn?
n!
dn，?
?
cos（?
t）R?
（t）?
R?
（t）?
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